北师大版高中数学必修第二册4-1同角三角函数的基本关系学案

第三章　三角恒等变换3.1　同角三角函数的基本关系新课程标准学业水平要求1.同角三角函数基本关系式的推导及应用．2．同角三角函数基本关系在解题中的灵活选取及使用公式时由函数值正、负号的选取而导致的角的范围的讨论.1.能根据三角函数的定义，推导出同角三角函数的基本关系；(逻辑推理)2．能正确运用同角三角函数式的求值运算；(数学运算)3．能运用同角三角函数的基本关系求一些三角函数(式)的值，并从中了解一些三角运算的基本技巧；(数学运算、逻辑推理)4．熟练应用同角三角函数的基本关系进行化简、求值，并能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数恒等式的证明．(数学运算、逻辑推理) 课前篇·自主学习预案1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于________．即sin2α＋cos2α＝________.(2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的________．即＝tan α.2.商数关系＝tan α成立的角α的范围是α≠kπ＋(k∈Z)．答案：1.(1)1　1　(2)正切课堂篇·研习讨论导案研习1  应用同角基本关系求值[典例1]　(1)若sin α＝，且α是第二象限角，则tan α等于　(　　)A.－   B.  C．± D．±(2)已知sin θ＝，求cos θ，tan θ的值．[自主记](1)[答案]　A[解析]　由α是第二象限角，直接代入公式计算，即cos α＝－＝－＝－，∴tan α＝＝－.(2)[分析]　→[解]　∵sin θ＝>0，且sin θ≠1，∴θ是第一或第二象限角．当θ为第一象限角时，cos θ＝＝＝，tan θ＝＝＝.当θ为第二象限角时，cos θ＝－＝－.tan θ＝＝＝－.[巧归纳]　根据已知角的正弦、余弦、正切中的一个值，求出其他两个值(简称“知一求二”)．在利用平方关系进行平方时，一定要注意判断角的范围，从而确定正确的符号.[练习1]　1.已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝(　　)A.－ B．－  C.   D.答案：A　解析：∵α是第二象限角，∴cos α<0，又∵sin α＝，∴cos α＝－＝－.2.已知tan α＝，α是第三象限角，求sin α，cos α的值．解：由tan α＝＝，得sin α＝cos α，①又sin2α＋cos2α＝1，②由①②，得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝.又α在第三象限，∴cos α＝－，sin α＝cos α＝－.研习2  基本关系式的变形及应用[典例2]　已知tan α＝3.(1)求的值；(2)求sin2α－3sin αcos α＋1的值．[自主记][分析]　对于(1)，注意到分子分母都是sin α与cos α的一次式，可分子分母同除以cos α化为tan α的表达式；对于(2)，如果把分母视作1，进行1的代换，1＝sin2α＋cos2α，然后运用(1)的方法，分子分母同除以cos2α可化为tan α的表达式，也可以将sin α＝3cos α代入sin2α＋cos2α＝1中，求出cos2α，把待求式消去sin α，也化为cos2α的表达式求解．[解]　(1)∵tan α＝3，∴＝＝.(2)∵tan α＝3，sin2α＋cos2α＝1，∴原式＝＝＝＝＝1.[巧归纳]　1.关于sin α，cos α的齐次式的求值方法(1)sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子，且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，如可化为，再代入求值．(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，如3sin2α－2cos2α可写成，进一步化为，再代入求值．2.sin α＋cos α，sin α·cos α，sin α－cos α之间的关系(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α·cos α；(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2.由以上关系，可知对于sin α＋cos α，sin α·cos α，sin α－cos α可以“知一求二”.[练习2]　已知tan α＝3，则2sin2α＋4sin α·cos α－9cos2α的值为(　　)A.3  B.  C.  D.答案：B研习3  三角函数式的化简与证明[典例3]　(1)若π<α<，＋的化简结果为(　　)A. B．－C. D．－(2)求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2.[自主记](1)[答案]　D[解析]　原式＝＋＝＋＝.∵π<α<，∴原式＝－.(2)[分析]　此等式左、右两边繁简程度差不多，故可考虑从左向右证，也可考虑从右向左证，平方展开、化简，再因式分解．[证明]　证法一：左边＝2(1－sin α＋cos α－sin αcos α)＝1＋(sin2α＋cos2α)－2sin α＋2cos α－2sin αcos α＝(1－2sin α＋sin2α)＋2cos α(1－sin α)＋cos2α＝(1－sin α)2＋2cos α(1－sin α)＋cos2α＝(1－sin α＋cos α)2＝右边．∴原式成立．证法二：右边－左边＝(1－sin α)2＋cos2α＋2cos α(1－sin α)－2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α)2＋(1－sin2α)＋2(1－sin α)·[cos α－(1＋cos α)]＝(1－sin α)2＋(1－sin α)(1＋sin α)－2(1－sin α)＝(1－sin α)[(1－sin α)＋(1＋sin α)－2]＝0.∴左边＝右边，∴原式成立．[巧归纳]　1.三角函数的化简技巧三角函数式化简的关键是公式的灵活运用，要切实分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．2.简单的三角恒等式的证明思路三角恒等式的证明实质是弄清楚等式两边的差异，有目的的化简．(1)证明三角恒等式的基本原则：由繁到简．(2)常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右两边同时证．(3)常用技巧：切化弦、整体代换、“1”的代换等.[练习3]　1.若α为第二象限角，则＝(　　)A.sin α B．－sin αC.cos α D．－cos α答案：B　解析：＝＝＝|sin αcos α|.∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴|sin αcos α|＝－sin αcos α，故原式＝－sin α.2.证明下列三角恒等式：(1)＝；(2)＝.证明：(1)左边＝＝＝＝＝＋＝＋＝＝右边，所以原等式成立．(2)左边＝＝＝＝＝＝右边，所以原等式成立．达标篇·课堂速测演习1.函数y＝＋的值域是(　　)A.{0,2} B．{－2,0}C.{－2,0,2} D．{－2,2}答案：C　解析：化简得y＝＋，当x的终边分别在第一、二、三、四象限时分类讨论符号即可.2.已知α是第四象限角，tan α＝－，则sin α＝(　　)A. B．－C. D．－答案：D　解析：不妨设α对应的锐角为α′，tan α′＝，构造直角三角形如图，则|sin α|＝sin α′＝，∵α为第四象限角，∴sin α<0，∴sin α＝－.3.已知2cos2α＋3cos αsin α－3sin2α＝1，求：(1)tan α；(2).解：(1)2cos2α＋3cos αsin α－3sin 2α＝＝＝1，即4tan2α－3tan α－1＝0.解得tan α＝－或tan α＝1.(2)原式＝＝，当tan α＝－时，原式＝；当tan α＝1时，原式＝.4.求证：＝.证明：左边＝＝＝＝＝＝右边．[误区警示]　忽略角的取值范围造成增根[示例]　已知sin θ＋cos θ＝，且0<θ<π，求tan θ的值．[错解]　∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝，解得sin θcos θ＝－.∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，故sin θ－cos θ＝±.所以＝＝±7，解得tan θ＝－或tan θ＝－.[错因分析]　该解法忽略了角θ的取值范围．根据0<θ<π这一条件，可以确定sin θ－cos θ的符号.[正解]　∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝，解得sin θcos θ＝－.∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝.∵0<θ<π，且sin θcos θ<0，∴sin θ>0，cos θ<0，∴sin θ－cos θ>0，∴sin θ－cos θ＝.所以＝＝7，得tan θ＝－.[防范措施]　在已知sin θcos θ的值求sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值时需开方，因此要根据角的范围确定正负号的选择.