北师大版高中数学必修第二册4-3-1二倍角公式学案

3.3　二倍角的三角函数公式3.3.1　二倍角公式新课程标准学业水平要求能从两角和的正弦公式推导出倍角的正弦、余弦、正切公式1.能利用两角和的正弦、余弦公式、正切公式推导证明倍角公式．(逻辑推理)2．掌握倍角公式及变形，能利用公式解决简单的三角函数式的求值、化简和证明问题．(逻辑推理、数学运算)3．灵活掌握倍角公式，能利用公式进行三角函数式的化简以及解决实际问题．(逻辑推理、数学运算) 课前篇·自主学习预案1.倍角公式(1)sin 2α＝________(S2α)．(2)cos 2α＝________＝________＝1－2sin2α(C2α)．(3)tan 2α＝________(T2α)．2.倍角公式的变换(1)因式分解变换cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．(2)配方变换1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2.(3)升幂缩角变换1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.(4)降幂扩角变换cos2α＝(1＋cos 2α)，sin2α＝(1－cos 2α)，sin αcos α＝sin 2α.答案：1.(1)2sin αcos α　(2)cos2α－sin2α　2cos2α－1　(3)课堂篇·研习讨论导案研习1  利用倍角公式求值(给角求值) [典例1]　(1)4cos 50°－tan 40°＝(　　)A.   B.C. D．2－1(2)求下列各式的值：①coscos；②－cos2；③tan－.[自主记](1)[分析]　先用同角基本关系式将切化弦，再进行通分，然后化简求值．[答案]　C[解析]　4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°－＝＝＝＝＝＝，故选C.(2)[分析]　分析式子结构，然后合理应用公式进行变形，再化简求值．[解]　①原式＝＝＝＝×＝.②原式＝－＝－cos＝－.③原式＝＝＝－2×＝＝－2.[巧归纳]　熟练掌握及应用公式是解题的关键，对公式的应用有三种：(1)公式正用．从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，通过对信息的感知、加工、转换，运用已知条件和推算手段逐步达到目的．(2)公式逆用．意向转换，逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现，应用时要求对公式特点有一个整体感知．主要形式有：2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，cos α＝，cos2α－sin2α＝cos 2α，＝tan 2α.(3)公式的变形用．公式之间有着密切的联系，这要求我们思考时因势利导，融会贯通，有目的地活用公式．主要形式有：1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α，cos2α＝，sin2α＝.[练习1]　1.－的值是(　　)A.－4 B．4  C．2 D．－2答案：B　解析：原式＝＝＝＝＝4，故选B.2.计算：＝________.答案：－4　解析：原式＝＝＝＝－4. 研习2  给值求值[典例2]　(1)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α＝(　　)A.－ B．－  C.   D.(2)若cos＝－，<x<，且x≠π.求的值．[自主记](1)[分析]　将已知条件两边同时平方可利用倍角公式进行整体化简求值.[答案]　A[解析]　由(sin α＋cos α)2＝，得2sin αcos α＝－，∵α为第二象限角，∴cos α－sin α＝－＝－，故cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝×＝－，故选A.(2)[分析]　先将所求式子进行化简，再将出现的角视为一个整体，进行转化求值．[解]　＝＝＝sin 2x·＝sin 2xtan＝costan＝tan，∵<x<，∴－<－x<－π.又∵cos＝－，∴sin＝，tan＝－.∴原式＝×＝－.[巧归纳]　先化简，再求值，化简时要注意已知条件和结论中各角之间的相互关系．尽量出现条件中的角，以便能整体代入，减少运算量.[练习2]　1.已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则cos(α－β)的值等于(　　)A.－   B.C.－   D.答案：D　解析：∵α∈，∴2α∈(0，π)．∵cos α＝，∴cos 2α＝2cos2α－1＝－，∴sin 2α＝＝，而α，β∈，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝＝，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝×＋×＝.2.已知α∈，且2sin2α－sin αcos α－3cos2α＝0，则＝________.答案：　解析：∵α∈，且2sin2α－sin αcos α－3cos2α＝0，则(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0，即2sin α＝3cos α，又sin2α＋cos2α＝1，∴cos α＝，∴＝＝.研习3  给值求角[典例3]　已知函数f(x)＝tan.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)设α∈，若f＝2cos 2α，求α的大小．[自主记][分析]　(1)结合正切函数的定义求定义域，利用T＝求周期；(2)结合倍角公式进行化简可确定角的某一个三角函数值，再根据角的取值范围求α的大小．[解]　(1)由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，所以f(x)的定义域为.f(x)的最小正周期为.(2)由f＝2cos 2α，得tan＝2cos 2α，＝2(cos2α－sin2α)，整理，得＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈，所以sin α＋cos α≠0.因此(cos α－sin α)2＝，即sin 2α＝.由α∈，得2α∈，所以2α＝，即α＝.[巧归纳]　给值求角问题的求解一般按如下两个步骤进行：(1)根据题设条件，求角的某个三角函数值；(2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小.[练习3]　已知3sin2α＋2sin2β＝1,3sin 2α－2sin 2β＝0，且α，β都是锐角，求α＋2β的值．解：由3sin2α＋2sin2β＝1，得1－2sin2β＝3sin2α，即cos 2β＝3sin2α.由3sin 2α－2sin 2β＝0，得sin 2β＝sin 2α，∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝cos α·3sin2α－sin α·sin 2α＝3sin2α·cos α－3cos α·sin2α＝0.∵0°<α<90°，0°<β<90°，∴0°<α＋2β<270°.在0°与270°之间只有90°的余弦值为0，故α＋2β＝90°.达标篇·课堂速测演习　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1.若α∈，则＋的值为(　　)A.2cos B．－2cosC.2sin D．－2sin答案：D　解析：∵α∈，∴∈，∴原式＝＋＝－sin－cos－sin＋cos＝－2sin.2.已知cos α＝，则cos 2α＋sin2α的值为(　　)A.  B.  C.  D.答案：A　解析：由cos α＝，得cos 2α＋sin2α＝2cos2α－1＋1－cos2α＝cos2α＝，故选A.3.证明：＝tan x．证明：左边＝·＝sin x·＝sin x·＝＝tan x＝右边．∴原等式成立．4.已知函数f(x)＝.(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间．解：(1)由sin x≠0，得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．因为f(x)＝＝2cos x(sin x－cos x)＝sin 2x－cos 2x－1＝sin－1，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)函数y＝sin x的单调递减区间为(k∈Z)．由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．[综合创新]　二倍角公式的综合应用[示例]　已知函数f(x)＝4cosωxsin(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间上的单调性．[思路点拨]　由式子中含有sin，而又为特殊角，故可考虑利用两角和的正弦公式展开，又因为含有乘积的形式，故可考虑利用倍角公式的形式进行化简，最后再结合三角函数的性质进行求解．[解析]　(1)f(x)＝4cos ωxsin＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋＝2sin＋.因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，从而有＝π，故ω＝1.(2)由(1)，知f(x)＝2sin＋.若0≤x≤，则≤2x＋≤.当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；当≤2x＋≤，即≤x≤时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．[题后反思]　(1)当已知的函数关系式中含有倍角及平方关系时，常采用倍角公式的逆运用，其目的是去异求同，通常是化简为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，最后研究三角函数的相关性质．(2)在解题过程中要灵活运用公式进行化简，并且培养良好的审题意识，把握关键点，找准突破口，不出现无谓失误，合理准确地解决此类问题．