北师大版高中数学必修第二册5-2-2复数的乘法与除法5-2-3　复数乘法几何意义初探学案

4.2.2　复数的乘法与除法

4.2.3　复数乘法几何意义初探

1．复数代数形式的乘法法则

(1)乘法法则

已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝________.

(2)复数乘法的运算律

对于任意z1，z2，z3∈C，有

(3)复数范围内正整数指数幂的运算性质

对复数z，z1，z2和正整数m，n，有zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1·z2)n＝z·z.

(4)i的乘方的运算性质

一般地，对任意自然数n，有i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.

(5)互为共轭复数的性质

互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数(或其共轭复数)模的平方．即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·＝|z|2＝||2.

2．复数代数形式的除法法则

(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(c＋di≠0，a，b，c，d∈R)．

答案：1.(1)(ac－bd)＋(ad＋bc)i

(2)z2·z1　z1·(z2·z3)

z1·z2＋z1·z3

研习1  复数的乘除法运算

[典例1]　(1)(2020·大同高二检测)复数z＝－ai，a∈R，且z2＝－i，则a的值为________．

(2)计算或解答下列各题：

①(1－i)2·3；

②(5－29i)÷(7－3i)；

③＋2 010；

④z＝1＋i，求的模．

[自主记]　

(1)[答案]　

[解析]　由z＝－ai，a∈R，得z2＝2－2××ai＋(ai)2＝－a2－ai，因为z2＝－i，

所以解得a＝.

(2)[解]　①原式＝－2i·＝－2i·

＝－2i·1＝－2i.

②(5－29i)÷(7－3i)

＝＝

＝

＝＝5－2i.

③＋2 010＝＋

＝i(1＋i)＋＝－1＋i－i＝－1.

④＝＝＝1－i，

所以的模为.

[巧归纳]　1.两个复数代数形式乘法的一般方法

(1)首先按多项式的乘法展开．

(2)再将i2换成－1.

(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．

2．常用公式

(1)(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)．

(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．

(3)(1±i)2＝±2i.

[练习1]　计算：

(1)－22；

(2)1＋i＋i2＋…＋i100；

(3)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)；

(4)＋－.

解：(1)原式＝－

＝(2＋i)－

＝2＋i－i11＝2＋i－i3

＝2＋i＋i＝2＋2i.

(2)原式＝＝＝1.

(3)原式＝2(4－i)(3－i)＋(7－i)(4－3i)

＝2(12－3i－4i＋i2)＋(28－4i－21i＋3i2)

＝2(11－7i)＋25(1－i)

＝47－39i.

(4)原式＝[(1＋i)2]3·＋[(1－i)2]3·－

＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－

＝8＋8－16－16i＝－16i.

研习2  共轭复数的概念及其应用

[典例2]　(1)若复数z满足|z|－＝，则z＝____________.

(2)把复数z的共轭复数记作，已知(1＋2i)＝4＋3i，求z.

[自主记]　

(1)[答案]　3＋4i

[解析]　设z＝a＋bi，a，b∈R，

则－a＋bi＝2＋4i，

∴∴∴z＝3＋4i.

(2)[解]　设z＝a＋bi(a，b∈R)．由已知得(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，由复数相等的定义知，解得a＝2，b＝1，所以z＝2＋i.

[巧归纳]　共轭复数的求解与应用

(1)若复数z的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出，再进行复数的四则运算．必要时，需通过复数的运算先确定出复数z的代数形式，再根据共轭复数的定义求.

(2)共轭复数应用的另一种常见题型是：已知关于z和的方程，而复数z的代数形式未知，求z，解此类题的常规思路为设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．

[练习2]　(1)(2017·全国卷Ⅱ)＝(　　)

A．1＋2i　　　　　　　　 B．1－2i

C．2＋i    D．2－i

(2)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z为　(　　)

A．3＋5i    B．3－5i

C．－3＋5i    D．－3－5i

答案：(1)D　(2)A　

解析：(1)＝＝＝2－i.

(2)∵z(2－i)＝11＋7i，

∴z＝＝＝＝3＋5i.

研习3  复数的方程问题

[典例3]　在复数范围内解方程|z|2＋(z＋)i＝(i为虚数单位)．

[自主记]　

[解]　原方程化简为|z|2＋(z＋)i＝1－i.

设z＝x＋yi(x，y∈R)，

代入上述方程得x2＋y2＋2xi＝1－i，

所以所以

所以原方程的解是z＝－±i.

[巧归纳]　解关于复数方程问题，一般可设出方程的根的代数形式，代入方程化简后，利用复数相等的充要条件转化为实数问题解决．此类问题的解答过程体现了化归思想的运用．

[练习3]　设方程x2－2x＋k＝0的两个根分别为α，β，且|α－β|＝2，求实数k的值．

解：解法一：Δ＝4－4k，当Δ≥0，即k≤1时，方程两根为实数，

则|α－β|＝＝＝2＝2，解得k＝－1；

当Δ<0，即k>1时，α，β为共轭复数，

即α＝1＋i，β＝1－i，

则|α－β|＝|2 i|＝2＝2，解得k＝3.

综上可知，实数k的值为－1或3.

解法二：∵|α－β|＝2，

∴|α－β|2＝|(α－β)2|＝|(α＋β)2－4αβ|＝8.

由韦达定理，得α＋β＝2，αβ＝k，

∴|4－4k|＝8，即|k－1|＝2，

∴k－1＝±2，即k＝3或k＝－1.

1．设复数z满足关系z＋||＝2＋i，那么z等于(　　)

A．＋i      B．－＋i

C．－－i     D.－i

答案：A　

解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则a＋bi＋＝2＋i，由复数相等的充要条件，得b＝1，a＋＝2，将b＝1代入a＋＝2，得＝2－a，两边同时平方，得a2＋1＝4－4a＋a2，解得a＝.

∴z＝＋i，故选A．

2．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于(　　)

A．第一象限        B．第二象限

C．第三象限        D．第四象限

答案：B　

解析：＋(1＋i)2＝－＋i，在复平面内对应的点的坐标为.故选B．

3．若复数z满足zi＝1－i，则z等于(　　)

A．－1－i        B．1－i

C．－1＋i        D．1＋i

答案：A　

解析：解法一：利用复数的四则运算法则求解．

由zi＝1－i得z＝＝－1＝－1－i.

解法二：利用复数相等的充要条件求解．

设z＝a＋bi(a，b∈R)，由zi＝1－i.

得(a＋bi)i＝1－i，即－b＋ai＝1－i.

由复数相等的充要条件得即

∴z＝－1－i.

4．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a＝________.

答案：　

解析：由题意，＝[3a－8＋(6＋4a)i]，因为是纯虚数，故3a－8＝0，且6＋4a≠0，解得a＝.

5．已知复数z＝3＋bi(b∈R)，且(1＋3i)·z为纯虚数．

(1)求复数z；

(2)若w＝，求复数w的模|w|.

解：(1)(1＋3i)·(3＋bi)＝(3－3b)＋(9＋b)i.

因为(1＋3i)·z为纯虚数，

所以3－3b＝0，且9＋b≠0，

所以b＝1，所以z＝3＋i.

(2)w＝＝＝＝－i，

所以|w|＝＝.