北师大版 (2019)必修 第二册1.3 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台导学案及答案

5.1.3　简单旋转体——球、圆柱、圆锥、圆台

课前篇·自主学习预案

(一)球的结构特征

1.定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面，球面所围成的几何体称为球体，简称球．

如图所示，半圆的圆心称为________，连接球心和球面上任意一点的线段称为球的________，连接球面上两点并且过球心的线段称为球的________．

2.表示方法：用表示它球心的字母来表示，图中的球可表示为球O.

3.球的性质：

(1)球面上所有的点到球心的距离都等于球的________；

(2)用任何一个平面去截球面，得到的截面都是________，其中过球心的平面截球面得到的________最大，等于球的半径．

(二)圆柱的结构特征

1.定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体称为圆柱．

在旋转轴上的这条边的长度称为圆柱的________；垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面称为圆柱的________，平行于旋转轴的边旋转而成的曲面称为圆柱的________，无论转到什么位置，这条边都称为圆柱侧面的母线．

2.表示方法：用表示它的旋转轴的字母来表示，如圆柱O1O.

(三)圆锥的结构特征

1.定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体称为圆锥．在旋转轴上的这条边的长度称为圆锥的________；垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面称为圆锥的________，不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面称为圆锥的________，无论转到什么位置，这条边都称为圆锥的母线．

2.表示方法：用表示它的旋转轴的字母来表示，如圆锥SO.

(四)圆台的结构特征

1.定义：以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体称为圆台．在旋转轴上的这条边的长度称为圆台的________；垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面称为圆台的________，不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面称为圆台的________，无论转到什么位置，这条边都称为圆台的母线．

2.表示方法：用表示它的旋转轴的字母来表示，如圆台O1O.

(五)圆柱、圆锥、圆台具有的性质和旋转体定义

1.性质：

(1)平行于圆柱、圆锥、圆台的底面的截面都是圆；

(2)过圆柱、圆锥、圆台旋转轴的截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形．

2.旋转体的定义

一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转一周所形成的曲面称为旋转面，封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体．这条定直线叫作旋转体的轴．球面是旋转面，球、圆柱、圆锥、圆台都是旋转体．

答案：(一)1.球心　半径　直径

3.(1)半径　(2)圆　圆的半径

(二)1.高　底面　侧面

(三)1.高　底面　侧面

(四)1.高　底面　侧面

课堂篇·研习讨论导案

研习1  旋转体的概念

[典例1]　(多项选择题)下列命题中错误的是(　　)

A．以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥

B．以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台

C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆

D.用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台

[答案]　ABCD

[解析]　根据圆柱、圆锥、圆台的概念不难做出判断．

A．以直角三角形的一条直角边为轴旋转才可以得到圆锥；B．以直角梯形垂直于底边的一腰为轴旋转才可以得到圆台；C．它们的底面为圆面；D.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，才可得到一个圆锥和一个圆台．故4个均不正确.

[延伸探究]若本例中(2)改为以直角梯形的各边为轴旋转，得到的几何体是由哪些简单几何体组成的？

[自主记]

解：①以垂直于底边的腰为轴旋转得到圆台；②以较长的底为轴旋转得到的几何体为一圆柱加上一个圆锥；③以较短的底为轴旋转得到的几何体为一圆柱挖去一个同底圆锥；④以斜腰为轴旋转得的几何体为圆锥加上一个圆台挖去一个小圆锥．

[巧归纳]　平面图形旋转形成的几何体的结构特征

圆柱、圆锥、圆台和球都是由平面图形绕着某条轴旋转而成的，平面图形不同，得到的旋转体也不同，即使是同一平面图形，所选轴不同，得到的旋转体也不一样．

判断旋转体，要抓住定义，分清哪条线是轴，什么图形，怎样旋转，旋转后生成什么样的几何体．

研习2  　圆柱的结构特征

[典例2]　用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为(　　)

A．8       B． 

C．   D.

[自主记]

[答案]　B

[解析]　由题意可知，若围成的圆柱底面周长为4，高为2，设圆柱底面圆的半径为r1，则2πr1＝4，∴r1＝，

∴截面为长是2，宽为的矩形，∴截面面积为；若围成的圆柱底面周长为2，高为4，设圆柱底面圆的半径为r2，则2πr2＝2，∴r2＝，∴截面为长是4，宽为的矩形，∴截面面积为.故选B．

[巧归纳]　圆柱的侧面展开图是一个矩形，理解矩形中一条边长对应圆柱的高，另一条边长对应圆柱的底面周长，从而求解圆柱的底面半径r.

研习3　圆锥、圆台的结构特征

[典例3]　如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长．

[自主记]

[解]　设圆台的母线长为l cm，由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r.

过轴SO作截面，如图所示．

则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm.

∴＝.∴＝＝.

解得l＝9，

即圆台OO′的母线长为9 cm.

[巧归纳]　圆锥中的数量关系主要体现于轴截面中，底面半径r，母线长λ，高h；圆台的轴截面中的数量关系有：上、下底面半径r1，r2，高h，母线长l以及它们之间的数量联系.

研习4　球的结构特征

[典例4]　(1)有下列说法：

①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；

②球的直径是球面上任意两点间的连线；

③用一个平面截一个球，得到的是一个圆．

其中正确说法的序号是________．

(2)一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面圆面积为________cm2.

[自主记]

[答案]　(1)①③　(2)9π

[解析]　(1)球的直径应是球内任意经过球心的弦，故②错误．

(2)球的半径R，截面圆半径r，球心到小圆面的距离d的关系：R2＝r2＋d2，易知r＝3 cm.则截面圆的面积为9π cm2.

[巧归纳]　球的截面中有大圆(过球心的截面)和小圆(不过球心的截面)之分，球中的数量关系主要体现于：R2＝r2＋d2.另：球的内接长方体的体对角线长为球的直径．

研习5  简单的组合体

[典例5]　(1)如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的(　　)

(2)如图所示的平面图形，若将其绕轴l旋转180°后形成一个组合体，则下面说法不正确的是(　　)

A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体

B．该组合体仍然关于轴l对称

C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点

D.该组合体中的球和半球只有一个公共点

(3)观察下图中的几何体，分析它们是由哪些基本几何体组成的．

①　　　　　②　　　　③

(1)[答案]　A

(2)[答案]　A

[解析]　从左至右旋转形成的几何体分别为：圆锥、球、半球、圆柱、圆台，故A错误．

(3)[解]　图①中是正方体和三棱柱；

图②中是四棱锥与正方体；

图③中是圆台与圆锥．

[延伸探究]1.若将本例(1)选项B中的平面图形旋转一周，想象并说出它形成的几何体的结构特征．

2.若将本例(1)选项B中的图形改为以下面的底边所在直线为轴旋转一周，说出它形成的几何体的结构特征．

[自主记]

1.解：①是直角三角形，旋转后形成圆锥；②是直角梯形，旋转后形成圆台；③是矩形，旋转后形成圆柱．所以旋转后形成的几何体如图所示．通过观察可知，该几何体是由一个圆锥、一个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的．

2.解：可把原图看成由①，②两部分构成，即大梯形挖去一个小梯形，则旋转一周后得到一个大圆台挖去一个以大圆台上底面为下底面的小圆台组成的组合体．

[巧归纳]　判断实物是由哪些简单几何体组成的技巧

(1)准确理解简单几何体(柱、锥、台、球)的结构特征．

(2)正确掌握简单组合体构成的两种基本形式．

(3)若用分割的方法，则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面)．

研习6　旋转体的计算问题

[典例6]　一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：

(1)圆台的高；

(2)截得此圆台的圆锥的母线长．

[自主记]

[解]　(1)如图，圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，由已知可得上底面半径O1A＝2 cm，下底面半径OB＝5 cm，又腰长AB＝12 cm，所以圆台的高为AM＝＝3(cm)．

(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO，可得＝，所以l＝20(cm)．故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.

[巧归纳]　旋转体中的计算问题及截面性质

(1)圆柱、圆锥和圆台中的计算问题，一要结合它们的形成过程，分辨清轴、母线及底面半径与旋转前平面图形量的关系；二要切实体现轴截面的作用．解题时，可把轴截面从旋转体中分离出来，以平面图形的计算解决立体问题．

(2)球中的计算应注意一个重要的直角三角形，设球的半径为R，截面圆的半径为r，球心到截面的距离为d，则R2＝d2＋r2.

(3)用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解．

达标篇·课堂速测演习

1.如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是　(　　)

A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体

B．该几何体有12条棱、6个顶点

C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形

D.该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形

答案：D　

解析：几何体中，平面ABCD并不在表面上.

2.已知ABCD为等腰梯形，两底边为AB，CD，且AB＞CD，绕AB所在直线旋转一周，所形成的几何体是由________和________构成的组合体．

答案：圆锥　圆柱　

解析：两端为两个圆锥，中间是一个圆柱.

3.已知圆锥的底面半径为1 cm，高为 cm，其内部有一个内接正方体，则这个内接正方体的棱长为________．

答案： cm　

解析：设正方体的棱长为a，则＝，即a＝.

[误区警示]　对旋转体概念理解不到位致错

[示例]　下列结论中正确的是(　　)

A．半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫球

B．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥

C．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体

D.圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台

[答案]　D

[解析]　半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球面①，球面围成的几何体叫做球，故A错误；

当以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转时②，其余各边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，是由两个同底的圆锥组成的几何体，故B错误；

当两个平行截面不平行于上下两个底面③时，两个平行截面间的几何体不是旋转体，故C错误；

而要将圆锥截得小圆锥，则截面必须与底面平行，因而剩余部分是圆台，故D正确.

[常见误区]

[防范措施]　特殊情况的处理

当直角三角形绕一边旋转时，要注意斜边这一特殊情况；当两个平行截面截圆柱时，要注意截面与上、下底面不平行这种情况，否则会造成不必要的错误.