北师大版 (2019)必修 第二册3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理导学案

5.3.2　刻画空间点、线、面位置关系的公理(基本事实4、定理)

课前篇·自主学习预案

1.基本事实4

________同一条直线的两条直线互相平行．

用符号表示为⇒a∥c.

2.异面直线

(1)异面直线的定义和理解

①定义：不同在任何一个平面内(不共面)的两条直线称为异面直线．

②特点：异面直线既不相交又不平行，即不同在任何一个平面内．

(2)异面直线的表示

为了表示异面直线a，b不共面的特点，画图时，通常用一个或两个平面衬托．如图：

(3)空间两条直线的位置关系

空间两条直线的位置关系有且只有三种：

3.等角定理

定理：如果空间中两个角的两条边分别________，那么这两个角相等或互补．

4.异面直线所成的角

如图，已知两条异面直线a，b，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，这时a′，b′共面，我们把a′与b′所成的________________的角称为异面直线a，b所成的角(或夹角)．

若两条异面直线a，b所成的角是直角，则称这两条直线________________，记作a⊥b.

答案：1.平行于

3.对应平行

4.不大于90°　互相垂直

课堂篇·研习讨论导案

研习1　两直线位置关系的判定

[典例1]　(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　)

A．l至少与l1，l2中的一条相交

B．l与l1，l2都相交

C．l至多与l1，l2中的一条相交

D.l与l1，l2都不相交

(2)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，

①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；

②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；

③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；

④直线AB与直线B1C的位置关系是________．

[自主记]

(1)[答案]　A

[解析]　l与l1，l2不一定都相交，也一定不能都平行．

(2)[答案]　①平行　②异面　③相交　④异面

[解析]　①在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1綊BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，

∴A1B∥D1C；

②直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内；

③直线D1D与直线D1C相交于点D1；

④直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内.

[巧归纳]　1.判定两条直线平行或相交的方法

判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．

2.判定两条直线是异面直线的方法

(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．

(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．

研习2　平行公理与等角定理的应用

[典例2]　在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点，求证：EE′∥FF′.

[自主记]

[证明]　因为E，E′分别是AB，A′B′的中点，

所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′.

所以四边形EBB′E′是平行四边形，

所以EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′.

所以EE′∥FF′.

[巧归纳]　1.空间两条直线平行的证明

一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线、梯形、平行四边形等关于平行的性质；三是利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．

2.求证角相等

一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．

研习3   异面直线所成的角

[典例3]　如图所示，正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．

[解]　如图所示，

连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，则OG∥B1D，EF∥A1C1.

所以∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．

因为GA1＝GC1，O为A1C1的中点，

所以GO⊥A1C1，

所以异面直线DB1与EF所成的角为90°.

[延伸探究]本题条件不变，求异面直线EF与B1C所成的角．

[自主记]

解：异面直线EF与B1C所成的角为60°.

[巧归纳]　求异面直线所成角的技巧

两直线必须平移相交，平移直线必须在一个平面内实现平移．一种方法是在几何体的表面上，借助面面平行，可以实现把一条直线平移到另一个平面内．另一种方法是：经过一条直线作一个辅助平面，并且此辅助平面必与另一条直线相交，过交点，在辅助面内实现直线的平移．

达标篇·课堂速测演习

1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是(　　)

A．一定平行      B．一定相交

C．一定异面      D．相交或异面

答案：D　

解析：不可能平行，不然的话两直线将会在同一平面内.

2.已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR＝(　　)

A．30°      B．30°或150°

C．150°      D．以上结论都不对

答案：B　

解析：∠ABC的两边与∠PQR的两边分别对应平行，但方向不能确定是否相同．∴∠PQR＝30°或150°.

3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线BA1与CC1所成的角为(　　)

A．30°    B．45°

C．60°    D．90°

答案：B　

解析：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1∥CC1，故∠B1BA1就是异面直线BA1与CC1所成的角，故为45°.

4.空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形的各边中点，所组成的四边形是(　　)

A．梯形      B．矩形

C．平行四边形      D．正方形

答案：D　

解析：如图，因为BD⊥AC，且BD＝AC．又因为E，F，G，H分别为对应边的中点，所以FG綊EH綊BD，HG綊EF綊AC．所以FG⊥HG，且FG＝HG.

所以四边形EFGH为正方形．

5.如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是________．(填序号)

答案：③　

解析：①中PQ∥RS，②中PQ∥RS，④中PQ和RS相交.

6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角为________．

答案：90°　

解析：如图，过点M作ME∥DN交CC1于点E，连接A1E，则∠A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角)．

设正方体的棱长为a，

则A1M＝a，ME＝a，A1E＝a，

所以A1M2＋ME2＝A1E2，所以∠A1ME＝90°，即异面直线A1M与DN所成的角为90°.

7.在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面ABCD是菱形且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，试求AA1.

解：连接CD1，AC，由题意，得

在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，

A1D1∥BC，A1D1＝BC，

所以四边形A1BCD1是平行四边形，

所以A1B∥CD1，

所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角，

因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°，

所以∠AD1C＝90°，

因为在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，

所以△ACD1是等腰直角三角形，

所以AD1＝AC．

因为底面ABCD是菱形且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，所以AC＝2×sin 60°×2＝6，

所以AD1＝AC＝3，

所以AA1＝＝＝.

[误区警示]　应用异面直线所成的角时因考虑不全致误

[示例]　若线段AB⊥BC，BC⊥CD，DE⊥AE，且AB＝BC＝CD，异面直线AB与CD成60°角，求异面直线AD与BC所成的角．

①

[错解]　作DE綊CB，连接AE，BE(如图①)．

∵ BC＝CD，BC⊥CD，

∴ 四边形BCDE为正方形．

∴ BE＝BC＝AB．

∵ AB⊥BC，AB＝BC，AB与CD成60°的角，∴ ∠ABE＝60°，

∴ △ABE是正三角形，

∴ AE＝BE＝DE.

又∵ DE⊥AE，

∴ △ADE是等腰直角三角形，

即∠ADE＝45°，异面直线AD与BC所成的角是45°.

[错因分析]　对与BC都垂直的线段AB，CD夹角为60°，画图应有两种情况，错解只考虑到一种情况，因空间想象能力不强，考虑不周全所致．

②

[正解]　(1)同错解．

(2)对于图②的情形可作DE綊CB，连接AE，BE.

∵ BC＝CD，BC⊥CD，

∴ 四边形BCDE是正方形，

又∵ AB⊥BC，AB＝BC，AB与CD成60°的角，

∴ AB＝BE，∠ABE＝120°，又∵ DE⊥AE，

设AB＝1，则AE＝，

则在Rt△ADE中，∠ADE＝60°，即AD与BC成60°的角．

综合上面两种情况可知，异面直线AD与BC所成的角是60°或45°.

[防范措施]　当我们已知两条直线所成的角而去推断两条相交直线所成的角时，依据等角定理两者可能相等或者互补，所以我们应当考虑两种情况．