高中数学北师大版 (2019)必修 第二册6.3 球的表面积和体积导学案

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册6.3 球的表面积和体积导学案，共8页。
5.6.3　球的表面积和体积新课程标准学业水平要求了解并掌握球的体积和表面积公式.1.通过对球的研究，掌握球的表面积和体积的求法．(直观想象、逻辑推理、数学运算)2．掌握与球有关的切接问题．(直观想象、逻辑推理、数学运算) 课前篇·自主学习预案1.球的相关概念(1)球的大圆球面被经过________的平面截得的圆称为球的大圆．(2)球的小圆球面被不经过________的平面截得的圆称为球的小圆．(3)直线与球相切直线与球有唯一________时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的切点．(4)切线长过球外一点的所有切线的切线长都________.2.球的表面积和体积公式S球面＝________，V球＝________.其中R为球的半径.　答案：1.(1)球心　(2)球心　(3)交点　(4)相等2.4πR2　课堂篇·研习讨论导案研习1   球的体积与表面积[典例1]　球的体积是，则此球的表面积是(　　)A．12π　　　　B．16π　　　　C．　　　　D．[自主记][答案]　B[解析]　设球的半径为R，则由已知，得πR3＝，解得R＝2.故球的表面积S表＝4πR2＝16π.[巧归纳]　求球的体积与表面积的方法(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了. 研习2  球的截面问题[典例2]　如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为(　　)A． cm3     B． cm3C． cm3     D． cm3[自主记][答案]　A[解析]　如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝4(cm)．设球的半径为R cm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，解得R＝5.∴V球＝π×53＝(cm3).  [巧归纳]　球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2. 研习3  球的组合体问题 [典例3]　设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)A．3πa2   B．6πa2  C．12πa2   D．24πa2[答案]　B[解析]　作出图形的轴截面如图所示，点O即为该球的球心，线段AB即为长方体底面的对角线，长度为＝a，线段BC即为长方体的高，长度为a，线段AC即为长方体的体对角线，长度为＝a，则球的半径R＝＝a，所以球的表面积S＝4πR2＝6πa2.[延伸探究]将本例中“长方体”改为“棱长为a的正四面体”，则球的表面积如何求？[自主记]解：如图，过A作AE⊥平面BCD，则E为△BCD的中心，连接BE.∵棱长为a，∴BE＝a×＝a.∴Rt△ABE中，AE＝＝a.设球心为O，半径为R，则(AE－R)2＋BE2＝R2，∴R＝a，∴S球＝4π×2＝πa2.[巧归纳]　1.正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面如图①.2.长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，过球心作长方体的对角线，则球的半径为r2＝，如图②.3.正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝a.达标篇·课堂速测演习　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1.棱长为2的正方体的外接球的表面积是(　　)A．8π   B．4πC．12π   D．16π答案：C　解析：正方体的体对角线长为2，即2R＝2，∴R＝，S＝4πR2＝12π.2.两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径为(　　)A．2   B．C．   D．答案：C　解析：设熔化后的球的半径为R，则其体积是原来小球的体积的2倍，即V＝πR3＝2×π×13，得R＝.3.正方体的内切球与其外接球的体积比为(　　)A．1∶   B．1∶3C．1∶3   D．1∶9答案：C　解析：设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为a，它的外接球的半径为a，故所求的体积比为1∶3.4.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为(　　)A．   B．C．   D．答案：A　解析：由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，则半径为1，其体积是×π×13＝.5.一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．解：当截面在球心的同侧时，如图①所示为球的轴截面，由球的截面性质知AO1∥BO2，且O1，O2为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.设球的半径为R，∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7 cm.同理，得O1A＝20 cm.设OO1＝x cm，则OO2＝(x＋9)cm.在Rt△O1OA中，R2＝x2＋202，①在Rt△OO2B中，R2＝72＋(x＋9)2，②联立①②可得x＝15，R＝25.∴S球＝4πR2＝2 500π(cm2)，故球的表面积为2 500π cm2.当截面在球心的两侧时，如图②所示为球的轴截面，由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥O1A，OO2⊥O2B．设球的半径为R，∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7 cm.∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20 cm.设O1O＝x cm，则OO2＝(9－x)cm.在Rt△OO1A中，R2＝x2＋400.在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋49.∴x2＋400＝(9－x)2＋49，解得x＝－15，不合题意，舍去．综上所述，球的表面积为2 500π cm2. [误区警示]　轴截面未找准而致误[示例]　已知球的内接正方体体积为V，求球的表面积．[错解]　如图①所示，作圆的内接正方形表示正方体截面．设正方体棱长为x，球半径为R，则有解得R＝.∴ S球＝4πR2＝2π.即球的表面积为2π.①　　　　　　　　　　　②[错因分析]　过球内接正方体的一个对角面作球的大圆截面，得到的是一个宽为x，长为x，对角线为x(如图②)的矩形，故错解所做的大圆截面是错误的．[正解]　将错解中的方程②改成x＝2R，得到S球＝3π.[题后反思]　1.解答几何体表面积和体积的问题时要灵活运用方程思想，通过轴截面将量与量间的关系用代数方程的形式得以联系．2．解题时要仔细分析题目条件，找出有关量之间的关系，并选择一个与其他量联系最广的量，并用它表示出其他的量．