高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第7章 §7 2　空间点、直线、平面之间的位置关系课件PPT

这是一份高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第7章 §7 2　空间点、直线、平面之间的位置关系课件PPT，共60页。PPT课件主要包含了考试要求，主干梳理基础落实，题型突破核心探究，课时精练，内容索引，不在一条直线上，有且只有一条，共面直线，锐角或直角，直线在平面内等内容，欢迎下载使用。
1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单 命题.
ZHUGANSHULI JICHULUOSHI
1.四个公理公理1：如果一条直线上的____在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2：过_______________的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们_____________过该点的公共直线.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相_____.
2.空间中直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类
_____直线_____直线
异面直线：不同在_____一个平面内，没有公共点
(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的____________叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
②范围：______.
3.空间中直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有：_____________、_______________、________________三种情况.4.空间中平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系有_____、_____两种情况.5.等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角___________.
1.分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？
提示　不一定，因为异面直线不同在任何一个平面内.分别在两个不同平面内的两条直线可能平行或相交或异面.
2.平面外的一条直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面的位置关系如何？
题组一　思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有三个公共点的两个平面必重合.(　　)(2)三条两两相交的直线确定一个平面.(　　)(3)若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l⊂α.(　　)(4)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，记作α∩β＝a.(　　)
题组二　教材改编2.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为A.30° B.45°C.60° D.90°
解析　连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角.又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°.
3.如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面β.且α∥β，则a与bA.共面B.平行C.是异面直线D.可能平行，也可能是异面直线
解析　α∥β，说明a与b无公共点，∴a与b可能平行也可能是异面直线.
4.两两平行的三条直线可确定______个平面.
解析　若三条直线在同一平面内，则确定1个平面.若三条直线不共面，则确定3个平面.
题组三　易错自纠5.若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是A.b⊂αB.b∥αC.b⊂α或b∥αD.b与α相交或b⊂α或b∥α
解析　由题意知，b与α的位置关系可能是b∥α，b与α相交或b⊂α.
6.下列关于异面直线的说法正确的是____.(填序号)①若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；②若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；③若a，b不同在平面α内，则a与b异面；④若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面.
解析　①a⊂α，b⊂β，则a与b可能平行，异面或相交.②a与b异面，b与c异面，则a与c平行、相交或异面.③a，b不同在α内，则a与b异面或平行.④由异面直线的定义可知正确.
TIXINGTUPO HEXINTANJIU
例1　如图所示，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；
题型一　平面基本性质的应用
证明　∵EF是△D1B1C1的中位线，∴EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.∴EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．
(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．
证明　在正方体AC1中，设平面A1ACC1为α，平面BDEF为β.∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β，则Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．
共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.
跟踪训练1　如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，G，H分别是CD和AD上的点.若EH与FG相交于点K.
求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点.
证明　因为K∈EH，EH⊂平面ABD，所以K∈平面ABD，同理K∈平面CBD，而平面ABD∩平面CBD＝BD，因此K∈BD，所以EH，BD，FG三条直线相交于同一点.
题型二　判断空间两直线的位置关系
例2　(1)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是A.垂直　　　　B.相交　　　　C.异面　　　　D.平行
解析　依题意，m∩α＝A，n⊂α，∴m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行.
(2)已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，则下列说法正确的是A.直线MN与直线A1B是异面直线B.直线MN与直线DD1相交C.直线MN与直线AC1是异面直线D.直线MN与直线A1C平行
解析　如图，因为M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，所以M，N分别是A1C1，BC1的中点，所以直线MN与直线A1B平行，所以A错误；因为直线MN经过平面BB1D1D内一点M，且点M不在直线DD1上，所以直线MN与直线DD1是异面直线，所以B错误；因为直线MN经过平面ABC1内一点N，且点N不在直线AC1上，所以直线MN与直线AC1是异面直线，所以C正确；因为直线MN经过平面A1CC1内一点M，且点M不在直线A1C上，所以直线MN与直线A1C是异面直线，所以D错误.
(1)点、线、面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.(2)对异面直线的判定常用到以下结论：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.
跟踪训练2　(1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是A.平行B.异面C.相交或平行D.平行或异面或相交均有可能
解析　根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况均有可能，
如图可知AB，CD有相交，平行，异面三种情况.
(2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为______.(注：把你认为正确的结论序号都填上)
解析　因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故①错；取DD1中点E，连接AE(图略)，则BN∥AE，但AE与AM相交，故②错；
因为B1与BN都在平面BCC1B1内，M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故③正确；同理④正确，故填③④.
题型三　求两条异面直线所成的角
例3　(2020·青岛模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为
解析　连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，
用平移法求异面直线所成的角的三个步骤(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角.(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角.(3)三求：解三角形，求出所作的角.
跟踪训练3　(2018·全国Ⅱ)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝ ，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为
解析　如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM.
易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成角或其补角.
KESHIJINGLIAN
1.(2020·上海市松江区模拟)给出以下四个命题：①依次首尾相接的四条线段必共面；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；④垂直于同一直线的两条直线必平行.其中正确命题的个数是A.0 　　　　B.1 　　　　C.2 　　　　D.3
解析　①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误.②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确.③中，由空间角的等角定理知，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故③错误.④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面，故④错误.
2.已知平面α，β，γ两两垂直，直线a，b，c满足：a⊂α，b⊂β，c⊂γ，则直线a，b，c不可能满足以下哪种关系A.两两垂直 B.两两平行C.两两相交 D.两两异面
解析　设α∩β＝l，且l与a，b均不重合，假设a∥b∥c，由a∥b可得a∥β，b∥α，又α∩β＝l，可知a∥l，b∥l，又a∥b∥c，可得c∥l，因为α，β，γ两两互相垂直，可知l与γ相交，即l与c相交或异面.若l与a或b重合，同理可得l与c相交或异面，可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行.
解析　由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上.又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.
3.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是A.直线ACB.直线ABC.直线CDD.直线BC
∴四边形BFOE是平行四边形，∴BF∥OE，∵BF⊄平面AD1E，OE⊂平面AD1E，∴BF∥平面AD1E.
4.在如图所示的正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1B，AD的中点，则直线BF与平面AD1E的位置关系是
A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.异面
解析　如图，取AD1的中点O，连接OE，OF，则OF∥BE，OF＝BE，
5.(多选)(2020·全国Ⅱ改编)下列四个命题中是真命题的为A.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B.过空间中任意三点有且仅有一个平面C.若空间两条直线不相交，则这两条直线平行D.若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l
解析　对于A，可设l1与l2相交，这两条直线确定的平面为α；
若l3与l1相交，则交点A在平面α内，同理，l3与l2的交点B也在平面α内，所以，AB⊂α，即l3⊂α，A为真命题；对于B，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，故B为假命题；对于C，两条直线有可能平行也有可能异面，故C为假命题；对于D，若直线m⊥平面α，则m垂直于平面α内所有直线，因为直线l⊂平面α，所以直线m⊥直线l，D为真命题.
6.(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是A.A，M，O三点共线 B.A，M，O，A1共面C.A，M，C，O共面 D.B，B1，O，M共面
解析　∵M∈A1C，A1C⊂平面A1ACC1，∴M∈平面A1ACC1，又∵M∈平面AB1D1，∴M在平面AB1D1与平面A1ACC1的交线AO上，即A，M，O三点共线，∴A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面，∵平面BB1D1D∩平面AB1D1＝B1D1，∴M在平面BB1D1D外，即B，B1，O，M不共面，故选A，B，C.
7.如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则直线GH，MN是异面直线的图形有_____.(填序号)
解析　①中GH∥MN；②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此GH，MN是异面直线；③中连接GM，GM∥HN且GM≠HN，所以直线GH与MN必相交；④中，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，因此GH，MN是异面直线.
8.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为____.
解析　取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D垂直于圆柱下底面，所以C1D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，
9.(2020·西安模拟)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直.
以上四个命题中，正确命题的序号是________.
解析　还原成正四面体A-DEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合.易知GH与EF异面，BD与MN异面.又△GMH为等边三角形，∴GH与MN成60°角，易证DE⊥AF，MN∥AF，∴MN⊥DE.因此正确的序号是②③④.
10.已知下列说法：①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；④若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面；⑤若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交.其中正确的序号是______(将你认为正确的序号都填上).
解析　①错.a与b也可能异面.②错.a与b也可能平行.③对.∵α∥β，∴α与β无公共点，又∵a⊂α，b⊂β，∴a与b无公共点.④对.由已知及③知，a与b无公共点，那么a∥b或a与b异面.⑤错.a与β也可能平行.
11.如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝ AD，BE∥AF且BE＝ AF，G，H分别为FA，FD的中点.
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
证明　由已知FG＝GA，FH＝HD，
∴GH綊BC.∴四边形BCHG为平行四边形.
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
∴BE綊FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面.又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面.
所以PQ∥MN，PQ＝MN，所以四边形PQMN是平行四边形.
12.已知空间四边形ABCD的对角线AC＝20，BD＝19，异面直线AC与BD所成角的余弦值为 ，点P，Q，M，N分别是AB，BC，CD，DA的中点.
(1)求证：四边形PQMN是平行四边形；
证明　因为P，Q分别是AB，BC的中点，
(2)求四边形PQMN的面积.
解　因为P，N分别是AB，AD的中点，
又因为PQ∥AC，所以PQ与PN所成的角就是异面直线AC，BD所成的角，
13.(2019·全国Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则A.BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C.BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D.BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
解析　如图，取CD的中点O，连接ON，EO，因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.
所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.过M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，
连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线.
14.已知球O是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)A－BCD的外接球，BC＝3，AB＝ 点E在线段BD上，且BD＝3BE，过点E作球O的截面，则所得的截面中面积最小的截面圆的面积是____．
解析　如图，设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，连接AO1，O1D，OD，O1E，OE，
在Rt△OO1D中，R2＝3＋(3－R)2，解得R＝2，∵BD＝3BE，DE＝2，在△DEO1中，
过点E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的面积最小，
15.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3 ，E，F分别为BC，CD的中点，P是线段A1B上的动点，C1P与平面D1EF的交点Q的轨迹长为
解析　如图所示，连接EF，A1B，连接A1C1，B1D1交于点M，连接B1E，BC1交于点N，
由EF∥B1D1，即E，F，B1，D1共面，由P是线段A1B上的动点，当P重合于A1或B时，C1A1，C1B与平面D1EF的交点分别为M，N，即Q的轨迹为MN，
由A1B＝BC1＝A1C1，得∠A1C1B＝60°，
16.如图1，在边长为4的正三角形ABC中，D，F分别为AB，AC的中点，E为AD的中点.将△BCD与△AEF分别沿CD，EF同侧折起，使得二面角A－EF－D与二面角B－CD－E的大小都等于90°，得到如图2所示的多面体.
(1)在多面体中，求证：A，B，D，E四点共面；
证明　因为二面角A－EF－D的大小等于90°，所以平面AEF⊥平面DEFC，又AE⊥EF，AE⊂平面AEF，平面AEF∩平面DEFC＝EF，所以AE⊥平面DEFC，同理，可得BD⊥平面DEFC，所以AE∥BD，故A，B，D，E四点共面.
(2)求多面体的体积.
解　因为AE⊥平面DEFC，BD⊥平面DEFC，EF∥CD，AE∥BD，DE⊥CD，所以AE是四棱锥A－CDEF的高，点A到平面BCD的距离等于点E到平面BCD的距离，