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高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第8章 §8 3 圆的方程课件PPT
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这是一份高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第8章 §8 3 圆的方程课件PPT，共60页。PPT课件主要包含了考试要求，主干梳理基础落实，题型突破核心探究，课时精练，内容索引，题型一圆的方程，引申探究，∴直线与圆C相离，－164等内容，欢迎下载使用。
1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的 标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
ZHUGANSHULI JICHULUOSHI
1.圆的定义和圆的方程
2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|>r⇔M在 ，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在 ，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|
2.写出圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0和两坐标轴都相切的条件.
题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( )(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.( )
(4)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆.( )
题组二 教材改编2.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D.(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析 因为圆心为(1,1)且过原点，
则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
3.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是A.(2,3)，3 B.(－2,3)，C.(－2，－3)，13 D.(2，－3)，
解析 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，
4.(2021·石家庄模拟)圆心在直线x－2y＋7＝0上的圆C与x轴交于两点A(－2,0)，B(－4,0)，则圆C的方程为__________________.
(x＋3)2＋(y－2)2＝5
解析 因为直线AB的中垂线方程为x＝－3，代入直线x－2y＋7＝0，得y＝2，故圆心的坐标为C(－3,2)，
所以圆C的方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝5.
题组三 易错自纠5.方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是
解析 由方程表示圆的条件得a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，即3a2＋4a－4<0，∴－2
解析 x2＋y2－4x－1＝0⇒(x－2)2＋y2＝5，所以圆心的坐标为(2,0).圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心坐标，所以A选项正确；圆是关于直径对称的轴对称图形，直线y＝0过圆心，所以B选项正确；圆是关于直径对称的轴对称图形，直线x＋3y－2＝0过圆心，所以C选项正确；圆是关于直径对称的轴对称图形，直线x－y＋2＝0不过圆心，所以D选项不正确.故选ABC.
TIXINGTUPO HEXINTANJIU
解析 方法一 (待定系数法)设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
方法二 (几何法)因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)，
由题意知圆E的圆心又在x轴上，
2.(2021·潍坊调研)在平面直角坐标系xOy中，以点(0,1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为A.x2＋(y－1)2＝4 B.x2＋(y－1)2＝2C.x2＋(y－1)2＝8 D.x2＋(y－1)2＝16
解析 由直线x－by＋2b＋1＝0可得该直线过定点A(－1,2)，设圆心为B(0,1)，由题意可知要使所求圆的半径最大，
所以半径最大的圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2.故选B.
3.(2020·苏州模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过直线l：x－ y＋2 ＝0与圆C：x2＋y2＝4的两个交点，当圆M的面积最小时，圆M的标准方程为___________________.
当圆M的面积最小时，圆M以AB为直径，
(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.
例1 (1)(2020·保定质检)已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是_______.
题型二 与圆有关的最值问题
解析 因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，
设点A(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，
解 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，
本例(2)中，求x2＋y2的最大值和最小值.
解 x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.
与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解.(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法.①形如u＝ 型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；②形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离的平方的最值问题.
跟踪训练1 已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3).(1)求|MQ|的最大值和最小值；
解 由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.∵直线MQ与圆C有交点，
例2 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0).求：(1)直角顶点C的轨迹方程；
题型三 与圆有关的轨迹方程
解 方法一 设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).
方法二 设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，
由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
解 设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.(3)几何法：利用圆的几何性质列方程.(4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.
跟踪训练2 已知线段AB的端点B的坐标为(8,6)，端点A在圆C：x2＋y2＋4x＝0上运动，求线段AB的中点P的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么.
解 设点P的坐标为(x，y)，点A的坐标为(x0，y0)，由于点B的坐标为(8,6)，且P为线段AB的中点，
∵点A在圆C上运动，∴点A的坐标满足方程x2＋y2＋4x＝0，
∴(2x－8)2＋(2y－6)2＋4(2x－8)＝0，化简整理，得x2＋y2－6x－6y＋17＝0，即(x－3)2＋(y－3)2＝1.故点P的轨迹是以(3,3)为圆心，1为半径的圆.
KESHIJINGLIAN
1.圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为A.(4，－6)，16 B.(2，－3)，4C.(－2,3)，4 D.(2，－3)，16
解析 方法一 易知D＝4，E＝－6，F＝－3，
故圆心坐标为(－2,3)，半径为4.
方法二 将圆的一般方程化为标准方程得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，则圆心坐标为(－2,3)，半径为4.
2.圆心在x轴上，半径为1，且过点(2,1)的圆的方程是A.(x－2)2＋y2＝1 B.(x＋2)2＋y2＝1C.(x－2)2＋(y－3)2＝1 D.x2＋(y－2)2＝1
解析 设圆的圆心为(a,0)，
所以圆的标准方程是(x－2)2＋y2＝1.故选A.
3.若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是A.(x－2)2＋(y＋3)2＝13B.(x＋2)2＋(y－3)2＝13C.(x－2)2＋(y＋3)2＝52D.(x＋2)2＋(y－3)2＝52
解析 直径两端点的坐标分别为(4,0)，(0，－6)，
所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
4.已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为A.(x＋2)2＋(y－2)2＝4B.(x－2)2＋(y＋2)2＝4C.(x＋2)2＋(y＋2)2＝4D.(x－2)2＋(y－2)2＝4
解析 根据题意，设圆C2的圆心为(a，b)，圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为(－1,1)，半径为2，若圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C1与C2的圆心关于直线x－y－1＝0对称，且圆C2的半径为2，
则圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4.
5.(多选)已知直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于A，B两点，弦AB的中点为M(0，1)，则实数a的取值可以为A.1 B.2 C.3 D.4
解析 圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，故a<5.又因为弦AB的中点为M(0，1)，故M点在圆内，所以(0＋1)2＋(1－2)2<5－a，即a<3.综上a<3.故选AB.
6.(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B.所有圆Ck均不经过点(3,0)C.经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个D.所有圆的面积均为4π
解析 圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4<0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，∴B正确；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8>0，有两个不相等实根，∴经过点(2,2)的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确.
7.已知圆C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1，当m变化时，圆C上的点与原点O的最短距离是_____.
解析 圆C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1表示圆心为C(2，－m＋4)，半径r＝1的圆，
所以当m＝4时，|OC|的最小值为2，故当m变化时，圆C上的点与原点的最短距离是|OC|－r＝2－1＝1.
8.若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上相异两点P，Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为_____.
解析 圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴，已知圆的圆心为(－1,3)，由题设知，直线kx＋2y－4＝0过圆心，则k×(－1)＋2×3－4＝0，解得k＝2.
9.已知P，Q分别为圆M：(x－6)2＋(y－3)2＝4与圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1上的动点，A为x轴上的动点，则|AP|＋|AQ|的最小值为________.
解析 圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1，关于x轴对称的圆为圆N′：(x＋4)2＋(y＋2)2＝1，
10.如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为 的点，则实数a的取值范围是________________.
[－3，－1]∪[1,3]
∴实数a的取值范围是[－3，－1]∪[1,3].
11.已知圆心为C的圆经过点A(－1，1)和B(－2，－2)，且圆心在直线L：x＋y－1＝0上.(1)求圆心为C的圆的标准方程；
解 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，∵圆经过点A(－1，1)和B(－2，－2)，且圆心在直线L：x＋y－1＝0上，
解得a＝3，b＝－2，r＝5，∴圆的标准方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝25.
(2)设点P在圆C上，点Q在直线x－y＋5＝0上，求|PQ|的最小值.
12.已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
解 设点P的坐标为(x，y)，
化简可得(x－5)2＋y2＝16，此方程即为所求.
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值.
解 曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示.
由题意知直线l2是此圆的切线，连接CQ，
当|QM|最小时，|CQ|最小，此时CQ⊥l1，
13.直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是
解析 设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，
综上，△ABP面积的取值范围是[2,6].故选A.
解析 由圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0知，其标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝39，∵圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a>0，b>0)对称，∴该直线经过圆心(－2,6)，即－2a－6b＋6＝0，∴a＋3b＝3(a>0，b>0)，
15.(2020·泰安模拟)已知直线l：3x＋4y＋m＝0，圆C：x2＋y2－4x＋2＝0，则圆C的半径r＝____；若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，则实数m的取值范围是__________.
解析 圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝2，
若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，过P作圆的两条切线PM，PN(M，N为切点)，则由题意得，∠MPN≥90°，而当CP⊥l时，∠MPN最大，只要此最大角≥90°即可，
16.已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程；
解 圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积.
由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.
故l的方程为x＋3y－8＝0.
1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的 标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
ZHUGANSHULI JICHULUOSHI
1.圆的定义和圆的方程
2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|>r⇔M在 ，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在 ，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|
2.写出圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0和两坐标轴都相切的条件.
题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( )(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.( )
(4)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆.( )
题组二 教材改编2.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D.(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析 因为圆心为(1,1)且过原点，
则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
3.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是A.(2,3)，3 B.(－2,3)，C.(－2，－3)，13 D.(2，－3)，
解析 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，
4.(2021·石家庄模拟)圆心在直线x－2y＋7＝0上的圆C与x轴交于两点A(－2,0)，B(－4,0)，则圆C的方程为__________________.
(x＋3)2＋(y－2)2＝5
解析 因为直线AB的中垂线方程为x＝－3，代入直线x－2y＋7＝0，得y＝2，故圆心的坐标为C(－3,2)，
所以圆C的方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝5.
题组三 易错自纠5.方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是
解析 由方程表示圆的条件得a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，即3a2＋4a－4<0，∴－2
解析 x2＋y2－4x－1＝0⇒(x－2)2＋y2＝5，所以圆心的坐标为(2,0).圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心坐标，所以A选项正确；圆是关于直径对称的轴对称图形，直线y＝0过圆心，所以B选项正确；圆是关于直径对称的轴对称图形，直线x＋3y－2＝0过圆心，所以C选项正确；圆是关于直径对称的轴对称图形，直线x－y＋2＝0不过圆心，所以D选项不正确.故选ABC.
TIXINGTUPO HEXINTANJIU
解析 方法一 (待定系数法)设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
方法二 (几何法)因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)，
由题意知圆E的圆心又在x轴上，
2.(2021·潍坊调研)在平面直角坐标系xOy中，以点(0,1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为A.x2＋(y－1)2＝4 B.x2＋(y－1)2＝2C.x2＋(y－1)2＝8 D.x2＋(y－1)2＝16
解析 由直线x－by＋2b＋1＝0可得该直线过定点A(－1,2)，设圆心为B(0,1)，由题意可知要使所求圆的半径最大，
所以半径最大的圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2.故选B.
3.(2020·苏州模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过直线l：x－ y＋2 ＝0与圆C：x2＋y2＝4的两个交点，当圆M的面积最小时，圆M的标准方程为___________________.
当圆M的面积最小时，圆M以AB为直径，
(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.
例1 (1)(2020·保定质检)已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是_______.
题型二 与圆有关的最值问题
解析 因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，
设点A(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，
解 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，
本例(2)中，求x2＋y2的最大值和最小值.
解 x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.
与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解.(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法.①形如u＝ 型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；②形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离的平方的最值问题.
跟踪训练1 已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3).(1)求|MQ|的最大值和最小值；
解 由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.∵直线MQ与圆C有交点，
例2 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0).求：(1)直角顶点C的轨迹方程；
题型三 与圆有关的轨迹方程
解 方法一 设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).
方法二 设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，
由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
解 设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.(3)几何法：利用圆的几何性质列方程.(4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.
跟踪训练2 已知线段AB的端点B的坐标为(8,6)，端点A在圆C：x2＋y2＋4x＝0上运动，求线段AB的中点P的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么.
解 设点P的坐标为(x，y)，点A的坐标为(x0，y0)，由于点B的坐标为(8,6)，且P为线段AB的中点，
∵点A在圆C上运动，∴点A的坐标满足方程x2＋y2＋4x＝0，
∴(2x－8)2＋(2y－6)2＋4(2x－8)＝0，化简整理，得x2＋y2－6x－6y＋17＝0，即(x－3)2＋(y－3)2＝1.故点P的轨迹是以(3,3)为圆心，1为半径的圆.
KESHIJINGLIAN
1.圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为A.(4，－6)，16 B.(2，－3)，4C.(－2,3)，4 D.(2，－3)，16
解析 方法一 易知D＝4，E＝－6，F＝－3，
故圆心坐标为(－2,3)，半径为4.
方法二 将圆的一般方程化为标准方程得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，则圆心坐标为(－2,3)，半径为4.
2.圆心在x轴上，半径为1，且过点(2,1)的圆的方程是A.(x－2)2＋y2＝1 B.(x＋2)2＋y2＝1C.(x－2)2＋(y－3)2＝1 D.x2＋(y－2)2＝1
解析 设圆的圆心为(a,0)，
所以圆的标准方程是(x－2)2＋y2＝1.故选A.
3.若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是A.(x－2)2＋(y＋3)2＝13B.(x＋2)2＋(y－3)2＝13C.(x－2)2＋(y＋3)2＝52D.(x＋2)2＋(y－3)2＝52
解析 直径两端点的坐标分别为(4,0)，(0，－6)，
所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
4.已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为A.(x＋2)2＋(y－2)2＝4B.(x－2)2＋(y＋2)2＝4C.(x＋2)2＋(y＋2)2＝4D.(x－2)2＋(y－2)2＝4
解析 根据题意，设圆C2的圆心为(a，b)，圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为(－1,1)，半径为2，若圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C1与C2的圆心关于直线x－y－1＝0对称，且圆C2的半径为2，
则圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4.
5.(多选)已知直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于A，B两点，弦AB的中点为M(0，1)，则实数a的取值可以为A.1 B.2 C.3 D.4
解析 圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，故a<5.又因为弦AB的中点为M(0，1)，故M点在圆内，所以(0＋1)2＋(1－2)2<5－a，即a<3.综上a<3.故选AB.
6.(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B.所有圆Ck均不经过点(3,0)C.经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个D.所有圆的面积均为4π
解析 圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4<0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，∴B正确；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8>0，有两个不相等实根，∴经过点(2,2)的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确.
7.已知圆C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1，当m变化时，圆C上的点与原点O的最短距离是_____.
解析 圆C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1表示圆心为C(2，－m＋4)，半径r＝1的圆，
所以当m＝4时，|OC|的最小值为2，故当m变化时，圆C上的点与原点的最短距离是|OC|－r＝2－1＝1.
8.若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上相异两点P，Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为_____.
解析 圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴，已知圆的圆心为(－1,3)，由题设知，直线kx＋2y－4＝0过圆心，则k×(－1)＋2×3－4＝0，解得k＝2.
9.已知P，Q分别为圆M：(x－6)2＋(y－3)2＝4与圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1上的动点，A为x轴上的动点，则|AP|＋|AQ|的最小值为________.
解析 圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1，关于x轴对称的圆为圆N′：(x＋4)2＋(y＋2)2＝1，
10.如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为 的点，则实数a的取值范围是________________.
[－3，－1]∪[1,3]
∴实数a的取值范围是[－3，－1]∪[1,3].
11.已知圆心为C的圆经过点A(－1，1)和B(－2，－2)，且圆心在直线L：x＋y－1＝0上.(1)求圆心为C的圆的标准方程；
解 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，∵圆经过点A(－1，1)和B(－2，－2)，且圆心在直线L：x＋y－1＝0上，
解得a＝3，b＝－2，r＝5，∴圆的标准方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝25.
(2)设点P在圆C上，点Q在直线x－y＋5＝0上，求|PQ|的最小值.
12.已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
解 设点P的坐标为(x，y)，
化简可得(x－5)2＋y2＝16，此方程即为所求.
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值.
解 曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示.
由题意知直线l2是此圆的切线，连接CQ，
当|QM|最小时，|CQ|最小，此时CQ⊥l1，
13.直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是
解析 设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，
综上，△ABP面积的取值范围是[2,6].故选A.
解析 由圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0知，其标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝39，∵圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a>0，b>0)对称，∴该直线经过圆心(－2,6)，即－2a－6b＋6＝0，∴a＋3b＝3(a>0，b>0)，
15.(2020·泰安模拟)已知直线l：3x＋4y＋m＝0，圆C：x2＋y2－4x＋2＝0，则圆C的半径r＝____；若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，则实数m的取值范围是__________.
解析 圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝2，
若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，过P作圆的两条切线PM，PN(M，N为切点)，则由题意得，∠MPN≥90°，而当CP⊥l时，∠MPN最大，只要此最大角≥90°即可，
16.已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程；
解 圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积.
由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.
故l的方程为x＋3y－8＝0.
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