北师大版高中数学必修第二册第5章3复数的三角表示课件

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第五章　复数*§3　复数的三角表示自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑思 想 方 法 自主预习·新知导学一、复数的三角表示式【问题思考】1.(1)复数a+bi(a,b∈R)与复平面内的点和向量是如何一一对应的?(2)若角θ的顶点在坐标原点O,始边在x轴非负半轴上,已知角θ终边上一点P(x,y),如何表示角θ的三角函数?(3)终边相同的角有什么关系?3.复数z=-sin 100°+icos 100°的辐角的主值是(　　).A.80° B.100° C.190° D.260°解析:z=-sin 100°+icos 100°=-cos 10°-isin 10°=cos 190°+isin 190°,∴arg z=190°.答案:C二、复数三角形式的乘法法则与几何意义【问题思考】1.若复数z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),你能根据复数的乘法运算计算z1z2,并将结果表示成三角形式吗?提示:能.z1z2=r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2)=r1r2(cos θ1+isin θ1)·(cos θ2+isin θ2)=r1r2[(cos θ1cos θ2-sin θ1sin θ2)+i(sin θ1cos θ2+cos θ1sin θ2)]=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].3.复数z=(cos 25°+isin 25°)·(cos 50°+isin 50°)的三角形式是(　　)A.cos(-25°)+isin(-25°) B.sin 75°+icos 75°C.cos 15°+isin 15° D.cos 75°+isin 75°解析:z=cos(25°+50°)+isin(25°+50°)=cos 75°+isin 75°.答案:D三、复数三角形式的除法法则【问题思考】1.由复数乘法的运算法则,求r2(cos θ2+isin θ2)· [cos(θ1-θ2) +isin(θ1-θ2)].提示:原式=r2· ·{cos[θ2+(θ1-θ2)]+isin[θ2+(θ1-θ2)]}=r1(cos θ1+isin θ1).这就是说,两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.2.设z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),且z2≠0, 合作探究·释疑解惑探究一探究二探究三【例1】 下列复数是不是三角形式?若不是,把它们表示成三角形式.(辐角取主值)(1)z1=cos 60°+isin 30°;反思感悟 1.复数三角形式的判断依据和变形步骤(1)判断依据:三角形式的结构特征:模非负,角相同,余弦前,加号连.(2)变形步骤:首先确定复数z对应点所在象限(此处可假定θ为锐角),其次判断是否要变换三角函数名称,最后确定辐角.此步骤可简称为“定点→定名→定角”.2.复数的代数形式化三角形式的步骤(1)求复数的模;(2)决定辐角所在的象限;(3)根据象限求出辐角(常取它的主值);(4)写出复数的三角形式.反思感悟 复数三角形式的乘法运算(1)直接利用复数三角形式的乘法法则:模相乘,辐角相加.(2)若遇到复数的代数形式与三角形式混合相乘时,需将相混的复数统一成代数形式或三角形式,然后进行复数的代数形式相乘或三角形式相乘.反思感悟 进行两个复数的三角形式除法运算时,将模对应相除当模,用被除数的辐角减去除数的辐角当作商的辐角,即可得两个复数的除法结果.思 想 方 法数形结合思想求复数的模及辐角范围【典例】 若z∈C,|z-2|≤1,求|z|的最大、最小值和arg z的范围.分析:结合条件及特点,本题可用数形结合思想求解.