北师大版高中数学必修第二册第6章3第2课时空间图形的基本事实4及等角定理课件

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§3　空间点、直线、平面之间的位置关系第2课时　空间图形的基本事实4及等角定理自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑一 题 多 解 自主预习·新知导学一、基本事实4与等角定理【问题思考】1.观察图6-3-6中电线杆所在直线、电线所在直线的位置关系.回答下列问题.(1)在同一平面内,两直线有怎样的位置关系?(2)图中两根电线杆所在直线具有怎样的位置关系?电线所在直线与电线杆所在直线又具有怎样的位置关系?(3)观察一下,教室内日光灯管所在直线与黑板的左、右两侧所在直线,是什么样的位置关系?提示:(1)平行或相交.(2)两根电线杆所在直线互相平行,电线所在直线与电线杆所在直线相交或异面.(3)异面直线.2.(1)基本事实4表6-3-3(2)空间两条直线的位置关系表6-3-4(3)定理(又称为等角定理)文字语言:如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.符号表示:OA∥O'A',OB∥O'B'⇒∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=180°.作用:判断或证明两个角相等或互补.3.已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,则∠PQR等于　　　.解析:由题意知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°.根据等角定理,如果空间中两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补,所以∠PQR=30°或∠PQR=150°.答案:30°或150°二、异面直线所成的角【问题思考】1.如图6-3-7,已知两条异面直线a,b,如何作出这两条异面直线所成的角?提示:如答图6-3-5,在空间任取一点O,过点O作直线a'∥a,b'∥b,则两条相交直线a',b'所成的锐角或直角θ即为两条异面直线a,b所成的角.2.异面直线a,b所成角的范围是什么?大小与什么有关?与点O的位置有关吗?提示:(0°,90°];a'与b'所成角的大小只由a,b的相互位置确定;与点O的选择无关.3.表6-3-5 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AA1与BC1所成的角的大小为　　　　　. 解析:∵BB1∥AA1,∴∠B1BC1即为异面直线AA1与BC1所成的角,其大小为45°.答案:45° 合作探究·释疑解惑探究一探究二探究三【例1】 如图图6-3-8,E,F分别是长方体A1B1C1D1-ABCD的棱A1A,C1C的中点.求证:四边形B1EDF是平行四边形.证明:如答图6-3-6,设Q是DD1的中点,连接EQ,QC1.∵E是AA1的中点,∴EQ A1D1.又在矩形A1B1C1D1中,A1D1 B1C1,∴EQ B1C1.∴四边形EQC1B1为平行四边形.∴B1E C1Q.又Q,F分别是边DD1,C1C的中点,∴QD C1F.∴四边形QDFC1为平行四边形.∴C1Q DF.∴B1E DF.∴四边形B1EDF为平行四边形.反思感悟 空间中证明两直线平行的方法:(1)借助平面几何知识证明,如三角形中位线性质、平行四边形的性质、用成比例线段证平行等.(2)利用基本事实4证明,即证明两直线都与第三条直线平行.【例2】 如图6-3-9,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,P分别为边A1C1,AC和AB的中点.图6-3-9求证:∠PNA1=∠BCM.证明:因为P,N分别为AB,AC的中点,所以PN∥BC.在三棱柱ABC-A1B1C1中,因为M,N分别为A1C1,AC的中点,所以A1M NC.所以四边形A1NCM为平行四边形,故A1N∥MC.因为∠PNA1与∠BCM的两条边分别平行,且对应边方向都相同,所以∠PNA1=∠BCM.反思感悟 1.要明确等角定理中两角相等的两个条件,即两个角的两条边分别对应平行,并且方向都相同或都相反,这两个条件缺一不可.2.空间中证明两个角相等,可以利用等角定理,也可以利用三角形的相似或全等,还可以利用平行四边形的对角相等.在利用等角定理时,关键是弄清楚两个角对应边的关系.【例3】 如图6-3-10,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,若EF= ,求异面直线AD,BC所成角的大小.分析:根据求异面直线所成角的方法,将异面直线AD,BC平移到同一平面内解决.故∠EMF=2∠EMH=120°.所以异面直线AD,BC所成的角为∠EMF的补角,即异面直线AD,BC所成的角为60°.反思感悟 求两条异面直线所成的角的一般步骤:(1)构造:根据异面直线的定义,用平移法(常用三角形中位线、平行四边形性质等)作出异面直线所成的角.(2)证明:证明作出的角就是要求的角.(3)计算:求角度,常放在三角形内求解.(4)结论:若求出的角是锐角或直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角.一 题 多 解【典例】 如图6-3-11,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求异面直线DB1与EF所成角的大小.分析:要求异面直线所成角的大小,关键是作出异面直线所成的角,把它归结到三角形中,通过解三角形就可以得出答案.同时在解题时要注意异面直线所成角的范围.解:(方法一:直接平移法)如图6-3-12,连接A1C1,B1D1交于点O,取DD1的中点G,连接GA1,GC1,OG,则OG∥B1D,EF∥A1C1,故∠GOA1或其补角就是异面直线DB1与EF所成的角.∵GA1=GC1,O为A1C1的中点,∴GO⊥A1C1,即∠GOA1=90°.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.∴HF2=EF2+HE2.∴∠HEF=90°.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.(方法三:补形法)如图6-3-14,在原正方体的右侧补上一个同样的正方体,连接B1Q,DQ,则B1Q∥EF.于是∠DB1Q或其补角就是异面直线DB1与EF所成的角,通过计算,不难得到B1D2+B1Q2=DQ2,即∠DB1Q=90°.故异面直线DB1与EF所成的角为90°.方法总结 求两条异面直线所成角大小的步骤(1)构造:选择适当的点,平移异面直线中的一条或两条成为相交直线,这里的点通常选择特殊位置的点,如线段的端点或中点,也可以是异面直线中某一直线上的一个特殊点.(2)证明:证明作出的角就是要求的角.(3)计算:求角度,常利用三角形.(4)结论:若求出的角是锐角或直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角.