数学6.1 余弦定理与正弦定理导学案

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第1课时 余弦定理
1.余弦定理
(1)文字叙述：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍．
(2)符号表示：a2＝________，
b2＝________，
c2＝________.
[说明] 余弦定理的理解：
(1)适用范围：任意三角形．
(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．
(3)主要作用：余弦定理的主要作用是实现三角形中边角关系的互化．
2．余弦定理的公式变形
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab).
3．三角形面积公式
△ABC的面积公式为S＝eq \f(1,2)ah＝eq \f(1,2)absin C(其中a，b，c分别为A，B，C的对边，h为边BC上的高)．
答案：1.(2)b2＋c2－2bccs A a2＋c2－2accs B a2＋b2－2abcs C
研习1 已知两边及一角解三角形
[典例1] (1)已知△ABC中，cs A＝eq \f(3,5)，a＝4，b＝3，则c＝________
(2)在△ABC中，已知a＝3eq \r(3)，c＝2，B＝150°，则边b的长为________．
[自主记]
[解析] (1)A为b，c的夹角，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，
得16＝9＋c2－6×eq \f(3,5)c，
整理得5c2－18c－35＝0.
解得c＝5或c＝－eq \f(7,5)(舍去)．
(2)在△ABC中，由余弦定理得：
b2＝a2＋c2－2accs B
＝(3eq \r(3))2＋22－2×3eq \r(3)×2×2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))＝49.
所以b＝7.
[答案] (1)5 (2)7
[巧归纳] (1)已知两边及其中一边的对角解三角形的方法
①先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，要注意判断解的情况；
②用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．
(2)已知两边及其夹角解三角形的方法
方法一：首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．
方法二：首先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．
提醒：解三角形时，若已知两边和一边的对角时，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理．一般地，若只求角，则用正弦定理方便，若只求边，用余弦定理方便．
[练习1] (1)在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝________.
(2)在△ABC中，已知A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求b，c.
(1)答案：eq \r(19)
解析：由题意，得a＋b＝5，ab＝2.
所以c2＝a2＋b2－2abcs C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，所以c＝eq \r(19).
(2)解：由余弦定理，
得a2＝b2＋c2－2bccs A
＝(b＋c)2－2bc(1＋cs A)，
所以49＝64－2bceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))，即bc＝15，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＋c＝8，,bc＝15，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝3，,c＝5))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝5，,c＝3.))
研习2 已知三边(三边关系)解三角形
[典例2] (1)在△ABC中，若a∶b∶c∶＝1∶eq \r(3)∶2，求A，B，C.
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C,2b＝eq \r(3)a，求cs A.
[自主记]
[解] (1)由a∶b∶c＝1∶eq \r(3)∶2，
可设a＝x，b＝eq \r(3)x，c＝2x.
由余弦定理的推论，得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)
＝eq \f(3x2＋4x2－x2,2×\r(3)x×2x)＝eq \f(\r(3),2)，故A＝30°.
同理可求得cs B＝eq \f(1,2)，cs C＝0，所以B＝60°，C＝90°.
(2)由B＝C,2b＝eq \r(3)a，可得c＝b＝eq \f(\r(3),2)a.
所以cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(\f(3,4)a2＋\f(3,4)a2－a2,2×\f(\r(3),2)a×\f(\r(3),2)a)＝eq \f(1,3).
[巧归纳] 已知三角形的三边解三角形的方法
(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．
(2)利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角．
[练习2] (1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，则A＝( )
A．90°B．60°
C．120°D．150°
(2)在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．
(1)答案：C
解析：由(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)可得a2－c2＝b2＋bc，即a2＝c2＋b2＋bc.根据余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(－bc,2bc)＝－eq \f(1,2)，
因为A为△ABC的内角，所以A＝120°.故选C.
(2)解：由余弦定理的推论得：
cs A＝eq \f(AB2＋AC2－BC2,2·AB·AC)＝eq \f(92＋82－72,2×9×8)＝eq \f(2,3)，
设中线长为x，由余弦定理知：
x2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(AC,2)))2＋AB2－2·eq \f(AC,2)·ABcs A＝42＋92－2×4×9×eq \f(2,3)＝49，则x＝7.
所以，所求中线长为7.
研习3 三角形形状的判断
[典例3] 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cs Asin B＝sin C，确定△ABC的形状．
[自主记]
[解] 解法一：由正弦定理得eq \f(sin C,sin B)＝eq \f(c,b)，由2cs Asin B＝sin C，有cs A＝eq \f(sin C,2sin B)＝eq \f(c,2b).
又由余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，
所以eq \f(c,2b)＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，
即c2＝b2＋c2－a2，所以a2＝b2，所以a＝b.
又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以(a＋b)2－c2＝3ab，所以4b2－c2＝3b2，
即b2＝c2.所以b＝c，所以a＝b＝c.
所以△ABC为等边三角形．
解法二：因为A＋B＋C＝180°，所以sin C＝sin(A＋B)，又因为2cs Asin B＝sin C，
所以2cs Asin B＝sin Acs B＋cs Asin B，
所以sin(A－B)＝0.
又因为A与B均为△ABC的内角，所以A＝B.
又由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab得(a＋b)2－c2＝3ab，
所以a2＋b2－c2＋2ab＝3ab，即a2＋b2－c2＝ab.
由余弦定理，得cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(ab,2ab)＝eq \f(1,2)，
又0°所以△ABC为等边三角形．
[巧归纳] 判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要有以下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
[练习3] (变条件)把例3的条件换为：b＝2ccs A，c＝2bcs A，判断△ABC的形状．
解：解法一：由条件b＝2ccs A，c＝2bcs A得cs A＝eq \f(b,2c)＝eq \f(c,2b)，即b＝c，把b＝c代入b＝2ccs A得cs A＝eq \f(1,2)，所以A＝60°，所以△ABC是等边三角形．
解法二：由正弦定理知sin B＝2sin Ccs A，
sin C＝2sin Bcs A，
即sin(A＋C)＝2sin Ccs A＝sin Acs C＋cs Asin C，
即sin Ccs A＝sin Acs C，所以sin(A－C)＝0，A＝C，
同理可得A＝B，所以三角形△ABC为等边三角形．
[练习4] (变条件)把例3的条件换为：cs2eq \f(A,2)＝eq \f(b＋c,2c)，试判断△ABC的形状．
解：解法一：∵cs2eq \f(A,2)＝eq \f(1＋cs A,2)且cs2eq \f(A,2)＝eq \f(b＋c,2c)，
∴eq \f(1＋cs A,2)＝eq \f(b＋c,2c)，即cs A＝eq \f(b,c).
由正弦定理，得cs A＝eq \f(sin B,sin C)，
∴cs Asin C＝sin(A＋C)，
整理得sin Acs C＝0.
∵sin A≠0，∴cs C＝0，∴C＝eq \f(π,2).
故△ABC为直角三角形．
解法二：同法一得cs A＝eq \f(b,c).由余弦定理得eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(b,c)，整理得a2＋b2＝c2，故△ABC为直角三角形．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若已知两边和一边所对的角，不能用余弦定理解三角形．( )
(2)在△ABC中，若b2＋c2>a2，则△ABC是锐角三角形．( )
(3)在△ABC中，若已知a∶b∶c＝1∶eq \r(3)∶2，可以解三角形．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
解析：(1)错误，如已知a，b和A，可利用公式a2＝b2＋c2－2bccs A求c，进而可求角B和C.
(2)错误，由b2＋c2>a2和cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)可得cs A>0，则A是锐角，但角B或C可能是钝角，△ABC未必是锐角三角形．
(3)错误，已知△ABC三边的比值，可求其三角，但不能求出三角形的三边，即不能解三角形．
2．若△ABC的三边满足a∶b∶c＝2∶eq \r(2)∶eq \r(3)，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．等腰三角形
答案：A
解析：设a＝2k，b＝eq \r(2)k，c＝eq \r(3)k，则cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(2k2＋3k2－4k2,2×\r(2)k×\r(3)k)＝eq \f(1,2\r(6))>0，故A是锐角，且A>B>C，所以△ABC是锐角三角形．
3．在△ABC中，b2＋a2＝c2＋ab，则角C＝________.
答案：eq \f(π,3)
解析：由b2＋a2＝c2＋ab得eq \f(b2＋a2－c2,2ab)＝eq \f(1,2)，
即cs C＝eq \f(1,2)，又C∈(0，π)，故C＝eq \f(π,3).
4．已知△ABC的边长满足等式eq \f(a2－b－c2,bc)＝1时，求A.
解：由eq \f(a2－b－c2,bc)＝1，得b2＋c2－a2＝bc，
所以cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(bc,2bc)＝eq \f(1,2)，又0所以A＝eq \f(π,3).
新课程标准
学业水平要求
通过对任意三角形的边长和角度关系的探索，借助向量的加、减及数量积运算掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题
1.了解余弦定理的推导过程(逻辑推理)
2．掌握余弦定理的内容及余弦定理的公式变形(数学抽象)
3．掌握余弦定理的简单应用(逻辑推理、数学运算)
4．初步掌握余弦定理的简单实际应用(数学建模)
课前篇·自主学习预案
课堂篇·研习讨论导案
达标篇·课堂速测演习