高中数学高考第1节 函数及其表示 教案

这是一份高中数学高考第1节 函数及其表示 教案，共14页。

1．函数与映射的概念
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然有几部分组成，但它表示的是一个函数．
eq \O([常用结论])
1．常见函数的定义域
(1)分式函数中分母不等于0.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域为R.
(4)零次幂的底数不能为0.
(5)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sin x，y＝cs x的定义域均为R.
(6)y＝lgax(a＞0，a≠1)的定义域为{x|x＞0}．
(7)y＝tan x的定义域为
2．基本初等函数的值域
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.
(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a＞0时，值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))；当a＜0时，值域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4ac－b2,4a))).
(3)y＝eq \f(k,x)(k≠0)的值域是{y|y≠0}．
(4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．
(5)y＝lgax(a＞0且a≠1)的值域是R.
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( )
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( )
(3)函数是一种特殊的映射．( )
(4)若A＝R，B＝(0，＋∞)，f：x→y＝|x|，则对应f可看作从A到B的映射．( )
(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
二、教材改编
1．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
A B C D
B [由函数定义可知，选项B正确．]
2．函数y＝eq \r(2x－3)＋eq \f(1,x－3)的定义域为( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)) B．(－∞，3)∪(3，＋∞)
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3))∪(3，＋∞) D．(3，＋∞)
C [由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－3≥0，,x－3≠0，))
解得x≥eq \f(3,2)且x≠3.]
3．下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是( )
A．y＝(eq \r(x＋1))2 B．y＝eq \r(3,x3)＋1
C．y＝eq \f(x2,x)＋1 D．y＝eq \r(x2)＋1
B [y＝eq \r(3,x3)＋1＝x＋1，且函数定义域为R，故选B.]
4．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋1，x≤1，,\f(2,x)，x＞1，))则f(f(3))＝________.
eq \f(13,9) [f(3)＝eq \f(2,3)，f(f(3))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up20(2)＋1＝eq \f(4,9)＋1＝eq \f(13,9).]
5．已知函数f(x)＝eq \r(2x＋1)，若f(a)＝5，则实数a的值为________．
12 [由f(a)＝5得eq \r(2a＋1)＝5，
解得a＝12.]
考点1 求函数的定义域
已知函数解析式求定义域
已知函数的具体解析式求定义域的方法
(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．
(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．
1.(2019·济南模拟)函数y＝eq \r(x)ln(2－x)的定义域为( )
A．(0,2) B．[0,2)
C．(0,1] D．[0,2]
B [由题意知，x≥0且2－x＞0，
解得0≤x＜2，
故其定义域是[0,2)．]
2．函数f(x)＝eq \f(1,\r(lg2x2－1))的定义域为________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞) [要使函数f(x)有意义，则(lg2x)2－1＞0，即lg2x＞1或lg2x＜－1，解得x＞2或0＜x＜eq \f(1,2)，故所求函数的定义域是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞)．]
[逆向问题]
若函数f(x)＝eq \r(ax2＋abx＋b)的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．
－eq \f(9,2) [∵函数f(x)＝eq \r(ax2＋abx＋b)的定义域为{x|1≤x≤2}．
∴不等式ax2＋abx＋b≥0的解集为{x|1≤x≤2}．
可知a＜0，不等式化为a(x－1)(x－2)≥0，
即ax2－3ax＋2a≥0.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3a＝ab，,2a＝b，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝－3，,a＝－\f(3,2).))
∴a＋b＝－eq \f(9,2).]
求函数定义域时，对函数解析式先不要化简，求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式．若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符合“∪”连接．如T2.
抽象函数的定义域
抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
已知函数f(x)的定义域是[0,4]，则f(x＋1)＋f(x－1)的定义域是________．
[1,3] [由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤x＋1≤4，,0≤x－1≤4，))
解得1≤x≤3.
故f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为[1,3]．]
[逆向问题]
已知函数y＝f(x－1)的定义域为[－eq \r(3)，eq \r(3)]，则函数y＝f(x)的定义域为________．
[－eq \r(3)－1，eq \r(3)－1] [因为f(x－1)的定义域为[－eq \r(3)，eq \r(3)]，所以－eq \r(3)－1≤x－1≤eq \r(3)－1，所以函数y＝f(x)的定义域为[－eq \r(3)－1，eq \r(3)－1]．]
函数f(g(x))的定义域指的是自变量x的取值范围，而不是g(x)的取值范围．(如本例[逆向问题])
1.函数f(x)＝eq \f(3x2,\r(1－x))＋lg(3x＋1)的定义域是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，1)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3)))
A [由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x＞0，,3x＋1＞0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜1，,x＞－\f(1,3)，))∴－eq \f(1,3)＜x＜1，故选A.]
2．函数f(x－1)的定义域为[0,2 020]，则函数g(x)＝eq \f(fx＋1,x－1)的定义域为________．
[－2,1)∪(1,2 018] [∵函数f(x－1)的定义域为[0，2 020]，∴－1≤x－1≤2 019.
∴要使函数g(x)有意义，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x＋1≤2 019，,x－1≠0，))
解得－2≤x≤2 018且x≠1.
∴函数g(x)的定义域为[－2,1)∪(1,2 018]．]
3．若函数f(x)＝eq \r(x2＋ax＋1)的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为________．
[－2,2] [∵函数f(x)＝eq \r(x2＋ax＋1)的定义域为R，
∴a2－4≤0，即－2≤a≤2.]
考点2 求函数的解析式
求函数解析式的四种方法及适用条件
(1)待定系数法
先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．
(2)换元法
对于形如y＝f(g(x))的函数解析式，令t＝g(x)，从中求出x＝φ(t)，然后代入表达式求出f(t)，再将t换成x，得到f(x)的解析式，要注意新元的取值范围．
(3)配凑法
由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式．
(4)解方程组法
已知关于f(x)与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
(1)[一题多解]已知二次函数f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求f(x)；
(2)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)．
[解] (1)法一：(待定系数法)
因为f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c.
因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a＝4，,4a＋2b＝－6，,a＋b＋c＝5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－5，,c＝9，))
所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
法二：(换元法)
令2x＋1＝t(t∈R)，则x＝eq \f(t－1,2)，
所以f(t)＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t－1,2)))eq \s\up20(2)－6·eq \f(t－1,2)＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，
所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
法三：(配凑法)
因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
(2)解方程组法
由f(－x)＋2f(x)＝2x，①
得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②
①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x，
即f(x)＝eq \f(2x＋1－2－x,3).
故f(x)的解析式是f(x)＝eq \f(2x＋1－2－x,3)(x∈R)．
谨防求函数解析式的两种失误
(1)在求函数解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域问题．求出解析式后要标注x的取值范围．
(2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围．
如已知f(eq \r(x))＝x＋1，求函数f(x)的解析式，可通过换元的方法得f(x)＝x2＋1，函数f(x)的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．
1.如果feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x,1－x)，则当x≠0且x≠1时，f(x)等于( )
A.eq \f(1,x) B.eq \f(1,x－1)
C.eq \f(1,1－x) D.eq \f(1,x)－1
B [令eq \f(1,x)＝t，得x＝eq \f(1,t)(t≠0且t≠1)，∴f(t)＝eq \f(\f(1,t),1－\f(1,t))＝eq \f(1,t－1)(t≠0且t≠1)，
∴f(x)＝eq \f(1,x－1)(x≠0且x≠1)．]
2．已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,x)))＝eq \f(x2＋1,x2)＋eq \f(1,x)，则f(x)＝( )
A．(x＋1)2 B．(x－1)2
C．x2－x＋1 D．x2＋x＋1
C [feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,x)))＝eq \f(x2＋1,x2)＋eq \f(1,x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋1,x)))eq \s\up20(2)－eq \f(x＋1,x)＋1，所以f(x)＝x2－x＋1.]
3．已知f(x)满足2f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝3x，则f(x)＝________.
2x－eq \f(1,x)(x≠0) [∵2f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝3x，①
把①中的x换成eq \f(1,x)，得2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋f(x)＝eq \f(3,x).②
联立①②可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2fx＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝3x，,2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋fx＝\f(3,x)，))
解此方程组可得f(x)＝2x－eq \f(1,x)(x≠0)．]
4．已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．
[解] 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＋b＝b＋1，,a＋b＝1，))解得a＝b＝eq \f(1,2).
所以f(x)＝eq \f(1,2)x2＋eq \f(1,2)x(x∈R)．
考点3 分段函数
求函数值
解决分段函数有关问题的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段范围，就用哪一段的解析式来解决问题．
(1)(2019·合肥模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x－2)，x＞2，,x2＋2，x≤2，))则f(f(1))＝( )
A．－eq \f(1,2) B．2 C．4 D．11
(2)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2xx≤0，,fx－3x＞0，))则f(5)的值为( )
A．－7 B．－1 C．0 D.eq \f(1,2)
(1)C (2)D [(1)因为f(1)＝12＋2＝3，所以f(f(1))＝f(3)＝3＋eq \f(1,3－2)＝4.故选C.
(2)f(5)＝f(5－3)＝f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝(－1)2－2－1＝eq \f(1,2).故选D.]
求分段函数的函数值的策略
(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值．
(2)当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．
[教师备选例题]
已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2cs πx，x≤0，,fx－1＋1，x＞0，))则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))的值为( )
A．－1 B．1 C.eq \f(3,2) D.eq \f(5,2)
B [依题意得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋1＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))＋1＋1＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)))＋2＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋2＝1.故选B.]
求参数或自变量的值
解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．
(1)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－2，x≤1，,－lg2x＋1，x＞1，))且f(a)＝－3，则f(6－a)＝________.
(2)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x＋2，x≤0，,－x2，x＞0.))若f(f(a))＝2，则a＝________.
(1)－eq \f(3,2) (2)eq \r(2) [(1)当a≤1时，f(a)＝2a－2＝－3，无解；
当a＞1时，由f(a)＝－lg2(a＋1)＝－3，得a＋1＝8，
解得a＝7，
所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－2＝－eq \f(3,2).
(2)当a＞0时，f(a)＝－a2＜0，f(f(a))＝a4－2a2＋2＝2，得a＝eq \r(2)(a＝0与a＝－eq \r(2)舍去)．当a≤0时，f(a)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1＞0，f(f(a))＝－(a2＋2a＋2)2＝2，此方程无解．故a＝eq \r(2).]
求解本题的关键是就a的取值讨论f(a)的情形，另本题也可作出f(x)的图象，数形结合求解，即f(a)＝0或f(a)＝－2，从而求得a的值．
分段函数与方程、不等式问题
解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论．如果分段函数的图象比较容易画出，也可以画出函数图象后，结合图象求解．
(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x≤0，,1，x>0，))则满足f(x＋1)