【单元专题卷】人教版数学7年级下册第5章·专题02 命题与定理、平移(含答案)




人教7下·数学



【单元专题卷】人教版数学7年级下册
第5章 专题02 命题与定理、平移
一、选择题（共21小题）
1．在一次数学活动课上，王老师将1﹣8共八个整数依次写在八张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序．然后把甲、乙、丙、丁四位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：12；乙：11；丙：9；丁：4．则拿到数字5的同学是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．已知a，b，c是不完全相等的任意实数，若x＝a﹣2b+c，y＝a+b﹣2c，z＝﹣2a+b+c，则关于x，y，z，的值，下列说法正确的是（　　）
A．都大于0 B．至少有一个大于0
C．都小于0 D．至多有一个大于0
3．在一次数学活动课上，某数学老师将1～10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上．写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16．根据以上信息．下列判断正确的是（　　）
A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7
B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8
C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8
D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5
4．如图，汽车在东西向的公路l上行驶，途中A，B，C，D四个十字路口都有红绿灯．AB之间的距离为800米，BC为1000米，CD为1400米，且l上各路口的红绿灯设置为：同时亮红灯或同时亮绿灯，每次红（绿）灯亮的时间相同，红灯亮的时间与绿灯亮的时间也相同．若绿灯刚亮时，甲汽车从A路口以每小时30千米的速度沿l向东行驶，同时乙汽车从D路口以相同的速度沿l向西行驶，这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，则每次绿灯亮的时间可能设置为（　　）

A．50秒 B．45秒 C．40秒 D．35秒
5．下列命题是真命题的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．若实数a，b满足a2＝b2，则a＝b
C．若实数a，b满足a＜0，b＜0，则ab＜0
D．两直线平行，内错角相等
6．下列命题中是真命题的是（　　）
A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．有一个角为直角的四边形是矩形
7．下列选项中，可以作为命题“一个钝角与一个锐角的差是锐角”的反例是（　　）
A．120°，40° B．130°，45° C．110°，40° D．150°，60°
8．下列命题中是假命题的是（　　）
A．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
9．下列命题正确的是（　　）
A．四条边都相等的四边形是正方形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．有一个角是直角的平行四边形是矩形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
10．有下列四个命题：其中正确的个数为（　　）
（1）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（2）两条对角线相等的四边形是菱形；
（3）两条对角线互相垂直的四边形是正方形；
（4）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形．
A．4 B．3 C．2 D．1
11．下列命题中正确的是（　　）
A．三点确定一个圆
B．在同圆中，同弧所对的圆周角相等
C．平分弦的直线垂直于弦
D．相等的圆心角所对的弧相等
12．下列句子中，是命题的是（　　）
A．今天的天气好吗 B．画线段AB∥CD
C．连接A、B两点 D．正数大于负数
13．下列四个命题中，真命题有（　　）
（1）两条直线被第三条直线所截，内错角相等
（2）如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2
（3）一个角的余角一定小于这个角的补角
（4）如果∠1和∠3互余，∠2与∠3的余角互补，那么∠1和∠2互补．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．下列命题中，错误的是（　　）
A．有一个角是直角的菱形是正方形
B．三个角相等的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相平分且相等
D．菱形的对角线互相垂直平分
15．下列各命题的逆命题成立的是（　　）
A．全等三角形的对应角相等
B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C．两直线平行，同位角相等
D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等
16．关于x的方程x2+ax+b＝0，有下列四个命题：
甲：x＝1是该方程的根
乙：该方程两根之和为2
丙：x＝3是该方程的根
丁：该方程两根异号
如果有一个命题是假命题，则该命题是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
17．下列命题是真命题的是（　　）
A．对角线互相平分的四边形是菱形
B．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．四个角都相等的四边形是正方形
18．下列命题中，是假命题的是（　　）
A．两个等边三角形相似
B．有一个角为20°的两个直角三角形相似
C．两个等腰直角三角形相似
D．两个直角三角形相似
19．下列各组图形中，一个图形经过平移能够得到另一个图形的是（　　）
A． B．
C． D．
20．如图，△ABC沿BC所在直线向右平移得到△DEF，已知EC＝2，BF＝8，则平移的距离为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
21．如图所示，△DEF经过平移可以得到△ABC，那么∠C的对应角和ED的对应边分别是（　　）

A．∠F，AC B．∠BOD，BA C．∠F，BA D．∠BOD，AC
二、填空题（共8小题）
22．命题“对顶角相等”的逆命题是 　 　．
23．写出命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题：　 　．
24．用一个a的值说明命题“如果a2≥1，那么a≥1”是错误的，这个值可以是a＝　 　．
25．把“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式是：　 　．
26．请举反例说明命题“如果a2＝b2，那么a＝b”是假命题，反例可举：　 　．
27．将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为 　 　．
28．把命题“垂直于同一条直线的两直线平行”，改写成“如果…，那么…”的形式：　 　．
29．命题：“如果a＝0，那么ab＝0”的逆命题是　 　；命题：“内错角相等，两直线平行”的逆命题是　 　．
三、解答题（共22小题）
30．如图所示，现有下列4个事项：
（1）∠1＝∠2，（2）∠3＝∠B，（3）FG⊥AB于G，（4）CD⊥AB于D．
以上述4个事项中的（1）、（2）、（3）三个作为一个命题的已知条件，（4）作为该命题的结论，可以组成一个真命题．请你证明这个真命题．

31．试判断命题：“若一条直线上的两点到另一条直线的距离相等，则这两条直线平行”的真假，并说明理由．
32．下列句子是命题吗？若是，把它改写成“如果…那么…”的形式，并写出它的逆命题，同时判断原命题和逆命题的真假．
（1）一个角的补角比这个角的余角大多少度？
（2）垂线段最短，对吗？
（3）等角的补角相等．
（4）两条直线相交只有一个交点．
（5）同旁内角互补．
（6）邻补角的角平分线互相垂直．
33．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例．
（1）若a＞b，则1a＜1b；
（2）如果一个数是偶数，那么这个数是4的倍数；
（3）两个负数的差一定是负数．
34．判断命题真假命题，若为真命题，证明求证，若为假命题举出反例．
（1）三角形两条边上的中垂线的交点到各顶点的距离相等；
（2）有公共顶点且相等的两个角是对顶角．
35．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中．
（1）把△ABC进行平移得到△A'B'C'，使点B与B'对应，请在网格中画出；
（2）线段AA'与线段CC'的关系是 　 　；
（3）平移过程中，线段BC扫过的面积是 　 　．

36．如图，平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，3），B（﹣5，1），C（﹣2，0），P（a，b）是△ABC的边AC上任意一点，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，点P的对应点为P1（a+6，b﹣2）．

（1）直接写出点A1，B1，C1的坐标．
（2）在图中画出△A1B1C1．
（3）连接AA1，AO，A1O，求△AOA1的面积．
（4）连接BA1，若点Q在y轴上，且三角形QBA1的面积为8，请直接写出点Q的坐标．
37．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将△ABC向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A1B1C1．（图中每个小方格边长均为1个单位长度）
（1）在图中画出平移后的△A1B1C1；
（2）直接写出△A1B1C1各顶点的坐标．
A1　 　，B1　 　，C1　 　．

38．如图，四个小三角形都是等边三角形，边长为2cm．能通过平移△ABC得到其他三角形吗？若能，请画出平移的方向，并说出平移的距离．

39．如图，已知A（﹣4，﹣1），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣3），△ABC经过平移得到的△A′B′C′，△ABC中任意一点P（x1，y1）平移后的对应点为P′（x1+6，y1+4）．
（1）请在图中作出△A′B′C′；
（2）写出点A′、B′、C′的坐标．

40．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），B（4，2），C（2，﹣2）．
（1）在网格中画出这个平面直角坐标系；
（2）连接CB，平移线段CB，使点C移动到点A，得到线段AD．
（3）①画出线段AD，点D的坐标为　 　；
②连接AC，DB，直接写出四边形ACBD的面积．

41．已知在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为：A（﹣3，﹣1），B（﹣2，﹣4），C（1，﹣3）．
（1）作出△ABC；
（2）若将△ABC向上平移3个单位后再向右平移2个单位得到△A1B1C1，请作出△A1B1C1．

42．如图，将三角形ABC向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到三角形DEF，其中点A（﹣3，0）与点D，点B（﹣1，﹣2）与点E，点C（0，1）与点F分别对应，请解答下列问题：
（1）直接写出点D，E，F的坐标；
（2）画出△DEF，并直接写出△DEF的面积为　 　．
（3）将线段BC沿某个方向平移得到线段MN，点B的对应点为M（m，0），则点C的对应点N的坐标为　 　（用含m的式子表示）．

43．如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中C点坐标为（3，2）．
（1）填空：点A的坐标是　 　，点B 的坐标是　 　；
（2）将△ABC先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；
（3）求△ABC的面积．

44．如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，∠B＝∠E＝70°．
（1）请说明AE∥BC的理由．
（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ．
①如图2，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数；
②在整个运动中，当∠Q＝2∠EDQ时，则∠Q＝　 　．

45．如图，在边长为1个单位的正方形网格图中，建立了直角坐标系后，按要求解答下列问题：
（1）写出△ABC三个顶点的坐标；
（2）画出△ABC向右平移6个单位，再向下平移3个单位后得到的图形△A1B1C1；
（3）求△A1B1C1的面积．

46．△ABC与△A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图．
（1）分别写出下列各点的坐标：A′　 　； B′　 　；C′　 　；
（2）说明△A′B′C′由△ABC经过怎样的平移得到？　 　．
（3）若点P（a，b）是△ABC内部一点，则平移后△A′B′C′内的对应点P′的坐标为　 　；
（4）求△ABC的面积．

47．如图，△ABC在直角坐标系中，
（1）请写出△ABC各点的坐标；
（2）求出S△ABC；
（3）若把△ABC向上平移2个单位，再向右平移2个单位得△A′B′C′，在图中画出△ABC变化位置，并写出A′、B′、C′的坐标．

48．如图，△ABC沿x轴正方向平移2个单位长度，再沿y轴负方向平移1个单位长度得到△EFG．
（1）画出△EFG并写出△EFG的三个顶点坐标；
（2）求△EFG的面积．

49．如图，△ABC平移后得到△A1B1C1，且△ABC中任意一点P（x，y）经过平移后的对应点为P1（x﹣5，y+2）．
（1）求点A1、B1、C1的坐标，并在坐标系中作出图形；
（2）求△A1B1C1的面积．

50．如图：方格纸中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．
（1）请画出平移后的△A′B′C′；
（2）若连接AA′，BB′，则这两条线段的关系是　 　；
（3）利用网格，过点C画一条直线平分△ABC的面积；
（4）平移的过程中线段BC扫过区域的面积为　 　．

51．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移，使点A变换为点A′，点B′、C′分别是B、C的对应点．
（1）请画出平移后的△A′B′C′；
（2）若连接AA′，CC′，则这两条线段之间的关系是　 　．


参考答案
一、选择题（共21小题）
1．B
2．B
3．B
4．D
5．D
6．A
7．D
8．D
9．C
10．D
11．B
12．D
13．C
14．B
15．C
16．A
17．B
18．D
19．D
20．A
21．C；
二、填空题（共8小题）
22．相等的角为对顶角
23．两个锐角互余的三角形是直角三角形
24．﹣2（答案不唯一）
25．如果两个角是对顶角，那么它们相等
26．当a＝﹣2，b＝2时，a2＝b2，此时a＝﹣b
27．如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等
28．如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行
29．如果ab＝0，那么a＝0；两直线平行，内错角相等；
三、解答题（共22小题）
30．证明：∵∠3＝∠B，
∴DE∥BC，
∴∠1＝∠BCD．
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠BCD，
∴GF∥CD，
∴∠CDB＝∠BGF．
∵FG⊥AB，
∴∠BGF＝90°，
∴∠CDB＝90°，
∴CD⊥AB．

31．解：假命题．如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，AB＝CD，但AC与BD相交．

32．解：对一件事情做出判断的句子是命题，因为（1）（2）是问句，所以（1）（2）不是命题，其余4个都是命题．
（3）如果两个角相等，那么它们的补角相等，真命题；
逆命题：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等，真命题．
（4）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点，真命题；
逆命题：如果两条直线只有一个交点，那么这两条直线相交，真命题．
（5）如果两个角是同旁内角，那么它们互补，假命题；
逆命题：如果两个角互补，那么这两个角是同旁内角，假命题．
（6）如果两条射线是邻补角的角平分线，那么它们互相垂直，真命题；
逆命题：如果两条射线垂直，那么这两条射线是邻补角的角平分线，假命题．
33．解：（1）命题是假命题，
例如：a＝1，b＝﹣1，
则a＞b，而1a＞1b；
（2）命题是假命题，
例如：2是偶数，但2不是4的倍数；
（3）命题是假命题，
例如：﹣2﹣（﹣4）＝﹣2+4＝2，2是正数．
34．解：（1）三角形两条边上的中垂线的交点到各顶点的距离相等；真命题；理由如下：
如图，
∵P是线段AB和线段AC的垂直平分线的交点，
∴AP＝BP，AP＝CP，
∴AP＝BP＝CP，
∴三角形两条边上的中垂线的交点到各顶点的距离相等；
（2）有公共顶点且相等的两个角是对顶角；假命题；理由如下：
两条直线相交所形成的角中相对的角是对顶角，
例如，平角的角平分线把平角分为两个直角，这两个直角不是对顶角，
∴是假命题．
35．解：（1）如图，△A'B'C'为所作；

（2）线段AA'与线段CC'平行且相等；
故答案为：平行且相等；
（3）线段BC扫过的面积＝4×6-12×2×1-12×5×2-12×2×1-12×5×2＝12．
故答案为：12．
36．解：（1）A1（3，1），B1（1，﹣1），C1（4，﹣2）；
（2）如图，△A1B1C1为所作；

（3）△AOA1的面积＝6×3-12×3×3-12×3×1-12×6×2
＝18-92-32-6，
＝18﹣12，
＝6；
（4）设Q（0，t），
∵B（﹣5，1），A1（3，1），
∴BA1＝3﹣（﹣5）＝8，
∵三角形QBA1的面积为8，
∴12×8×|t﹣1|＝8，解得t＝﹣1或t＝3，
∴Q点的坐标为（0，﹣1）或（0，3）．
37．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．


（2）A1的坐标为（3，1），B1的坐标为（0，﹣1），C1的坐标为（1，2），
故答案为：（3，1），（0，﹣1），（1，2）．
38．解：如图．△ABC沿BA方向平移2cm得到△FAE，
沿BC方向平移2cm得到△ECD，
△ABC通过平移不能得到△ACE．

39．解：（1）∵△ABC中任意一点P（x1，y1）平移后的对应点为P′（x1+6，y1+4），
∴平移规律为：向右平移6个单位，向上平移4个单．
如图所示：

（2）A′（2，3），B′（1，0），C′（5，1）．
40．解：（1）根据点A（0，1），B（4，2），C（2，﹣2）可知：建立平面直角坐标系如图；

（2）线段AD即为所求；
（3）①点D的坐标为（2，5）；
②四边形ACBD的面积=12×7×（2+2）＝14．
故答案为：（2，5）．
41．解：（1）如图，△ABC即为所求作．
（2）如图，△A1B1C1即为所求作．

42．解：（1）点D的坐标是（﹣3+2，0+3），即（﹣1，3），
点E的坐标是（﹣1+2，﹣2+3），即（1，1），
点F的坐标为（0+2，1+3），即（2，4）；
（2）△DEF即为所求，

△DEF的面积：3×3-12×3×1-12×2×2-12×1×3＝9-32-2-32=4，
故答案为：4；
（3）由点B（﹣1，﹣2）的对应点为M（m，0）知平移的方式为右移m+1个单位，上移2个单位，
∴点C（0，1）的对应点N的坐标为（0+m+1，1+2），即（m+1，3），
故答案为：（m+1，3）．
43．解：（1）点A的坐标是：（4，﹣1），点B 的坐标是：（5，3）；
故答案为：（4，﹣1），（5，3）；

（2）如图所示：△A1B1C1，即为所求；

（3）S△ABC=4×2-32-1-2=72．

44．解：（1）∵DE∥AB，
∴∠BAE+∠E＝180°，
∵∠B＝∠E，
∴∠BAE+∠B＝180°，
∴AB∥DE；
（2）①如图2，过D作DF∥AE交AB于F，
∵PQ∥AE，
∴DF∥PQ，
∵∠E＝70°，
∴∠EDF＝110°，
∵DE⊥DQ，
∴∠EDQ＝90°，
∴∠FDQ＝360°﹣110°﹣90°＝160°，
∴∠DPQ+∠QDP＝160°，
∴∠Q＝180°﹣160°＝20°；
②如图3，过D作DF∥AE交AB于F，
∵PQ∥AE，
∴DF∥PQ，
∴∠QDF＝180°﹣∠Q，
∵∠Q＝2∠EDQ，
∴∠EDQ=12∠Q，
∵∠E＝70°，
∴∠EDF＝110°，
∴180°﹣∠Q-12∠Q＝110°，
∴∠Q=140°3．
如图4，过D作DF∥AE交AB于F，
∵PQ∥AE，
∴DF∥PQ，
∴∠QDF＝180°﹣∠Q，
∵∠Q＝2∠EDQ，
∴∠EDQ=12∠Q，
∵∠E＝70°，
∴∠EDF＝110°，
∴180°﹣∠Q+12∠Q＝110°，
∴∠Q＝140°，
综上所述，∠Q=140°3或140°，
故答案为：140°3或140°．



45．解：（1）A（﹣1，8），B（﹣4，3），C（0，6）；

（2）如图所示：△A1B1C1，即为所求；

（3）△A1B1C1的面积为：4×5-12×3×5-12×1×2-12×3×4＝5.5．

46．解：（1）A′（﹣3，1）； B′（﹣2，﹣2）；C′（﹣1，﹣1）；

（2）先向左平移4个单位，再向下平移2个单位；
或：先向下平移2个单位，再向左平移4个单位；

（3）P′（a﹣4，b﹣2）；

（4）△ABC的面积＝2×3-12×1×3-12×1×1-12×2×2
＝6﹣1.5﹣0.5﹣2
＝2．
故答案为：（1）（﹣3，1），（﹣2，﹣2），（﹣1，﹣1）；（2）先向左平移4个单位，再向下平移2个单位；（3）（a﹣4，b﹣2）．
47．解：（1）A（﹣1，﹣1），B（4，2），C（1，3）；

（2）S△ABC＝4×5-12×2×4-12×1×3-12×3×5＝7；

（3）A′（1，1），B′（6，4），C′（3，5）．

48．解：（1）如图，△EFG为所作；E（4，1），F（0，﹣2），G（5，﹣3）；

（2）△EFG的面积＝5×4-12×5×1-12×4×1-12×3×4＝9.5．
49．解：（1）∵点P（x，y）经过平移后的对应点为P1（x﹣5，y+2），
∴△ABC向左平移5个单位，向上平移2个单位后得到△A1B1C1，
又∵A（4，3），B（3，1），C（1，2），
∴点A1、B1、C1的坐标分别为（﹣1，5），（﹣2，3），（﹣4，4），
如图所示，△A1B1C1即为所求；

（2）△A1B1C1的面积为2×3-12×1×2-12×1×2-12×1×3＝6﹣1﹣1﹣1.5＝2.5．
50．解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；

（2）线段AA′，BB′的关系是：平行且相等；
故答案为：平行且相等；
（3）直线CD平分△ABC的面积；
（4）平移的过程中线段BC扫过区域的面积为：
平行四边形BB′C′C的面积：4×7＝28．
故答案为：28．
51．解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；


（2）连接AA′，CC′，则这两条线段之间的关系是：平行且相等．
故答案为：平行且相等．