【单元专题卷】人教版数学8年级下册第17章·专题02 勾股定理的应用(含答案)

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人教8下·数学



【单元专题卷】人教版数学8年级下册
第17章 专题02 勾股定理的应用
一、选择题（共22小题）
1．如图，一棵大树被台风挂断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高（　　）

A．5m B．7m C．8m D．10m
2．一架长5m的梯子斜靠在墙上，梯子底端到墙的距离为3m．若梯子顶端下滑1m，那么梯子底端在水平方向上滑动了（　　）
A．1m B．小于1m C．大于1m D．无法确定
3．如图，甲货船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，乙货船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后两船之间的距离是（　　）

A．40海里 B．32海里 C．24海里 D．20海里
4．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　）

A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
5．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时（即水平距离CD＝6m），踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　）m．


A．212 B．152 C．6 D．92
6．“绿水青山，就是金山银山”，党的十八大以来，生态文明建设，可持续发展理念深入人心，我们泰安的城市绿化率持续增加．△ABC是某小区一块三角形空地，已知∠A＝150°，AB＝30m，AC＝20m，如果在这块空地上种草皮，每平方米草皮费用按120元计算，则这块空地种植草皮需要资金（　　）元．

A．36000 B．24000 C．18000 D．12000
7．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行（　　）

A．6m B．8m C．10m D．18m
8．如图，∠AOB＝90°，OA＝36cm，OB＝12cm，一个小球从点A出发沿着AO方向滚向点O，另一小球立即从点B出发，沿BC匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．若两个小球滚动的速度相等，则另一个小球滚动的路程BC是（　　）cm．

A．13 B．20 C．24 D．16
9．某限高曲臂道路闸口如图所示，AB垂直地面l1于点A，BE与水平线l2的夹角为α（0°≤α≤90°），EF∥l1∥l2，若AB＝1.5米，BE＝2米，车辆的高度为h（单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度：
①当α＝90°时，h小于3.4米的车辆均可以通过该闸口；
②当α＝45°时，h等于3.0米的车辆不可以通过该闸口；
③当α＝60°时，h等于3.2米的车辆可以通过该闸口．
上述说法正确的个数为（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．如图所示，一文物被探明位于A点地下48m处，由于A点地面下有障碍物，考古人员不能垂直下挖，他们从距离A点14m的B处斜着挖掘，那么要找到文物至少要挖（　　）米．

A．14 B．48 C．50 D．60
11．如图，小蓓要赶上去实践活动基地的校车，她从点A知道校车自点B处沿x轴向原点O方向匀速驶来，她立即从A处搭一辆出租车，去截汽车．若点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（8，0），汽车行驶速度与出租车相同，则小蓓最快截住汽车的坐标为（　　）

A．（2，0） B．（72，0） C．（174，0） D．（5，0）
12．图1是某品牌畅销的冰箱，图2是它的侧面矩形示意图，对角线AC=35310米，高AB与宽BC的长度比为7：2，则冰箱的宽BC的长度为（　　）

A．0.5米 B．0.6米 C．0.7米 D．0.8米
13．小明从超市里买了一瓶外包装为圆柱形的饮料，已知饮料瓶的高为4cm，底面直径为6cm，吸管的长度为8cm．如图，若将吸管从饮料上底面中心插入，设吸管露在外面的长度为hcm，则h的取值范围是（　　）

A．3≤h≤4 B．3＜h＜4 C．8-52≤h≤4 D．8-52＜h＜4
14．如图，将风筝放至高30m，牵引线与水平面夹角约为45°的高空中，则牵引线AB的长度所在范围最有可能是（　　）

A．36m至38m B．38m至40m C．40m至42m D．42m至44m
15．放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是100米/分，小红用3分钟到家，小颖4分钟到家，则小红和小颖家的直线距离为（　　）
A．300米 B．400米 C．500米 D．700米
16．福州以著名的坊巷文化而闻名，美丽的三牧坊宽不足4米，长不到240米，从卫前街进入三牧坊，走不到百米，便能看到一所百年学府——福州一中，它是众多福州人的记忆所在．位于三牧坊内的福州一中的侧门保留了中国古代典型的双开木门结构，如图1、2（图2为图1的平面示意图），从点O处推开双门，双门间隙CD的长度为0.08米，点C和点D到门槛AB的距离都为0.28米，则AB的长是（　　）

A．1.8米 B．2米 C．2.2米 D．2.4米
17．已知一个无盖长方体盒子的底面是边长为2的正方形，侧面是长为4的长方形．现展开铺平，如图，依次连接点A，B，C，D得到一个正方形，将四个长方形沿虚线各剪去一个直角三角形，则剪得的这个直角三角形较短直角边长是（　　）

A．12 B．23 C．43 D．2
18．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（　　）

A．5米 B．6米 C．7米 D．8米
19．如图，将一根长20cm的铅笔放入底面直径为9cm，高为12cm的圆柱形笔筒中，设铅笔露在笔筒外面的长度为xcm，则x的最小值是（　　）

A．5 B．7 C．12 D．13
20．如图，将一根有弹性的皮筋AB自然伸直固定在平面内，然后把皮筋中点C竖立向上拉升5cm到点D，如果皮筋自然长度为24cm，则此时该弹性皮筋被拉长了（　　）

A．1cm B．2cm C．3cm D．5cm
21．一艘轮船以16海里/时的速度离开A港向北偏西30°方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开A港向北偏东60°方向航行，经过1.5小时后它位相距（　　）
A．6海里 B．25海里 C．30海里 D．42海里
22．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（　　）

A．2m B．3m C．3.5m D．4m
二、填空题（共22小题）
23．如图是某路口处草坪的一角，当行走路线是A→C→B时，有人为了抄近道而避开路的拐角∠ACB（∠ACB＝90°），于是在草坪内走出了一条不该有的捷径路AB．某学习实践小组通过测量可知，AC的长约为6米，BC的长约为8米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在A，B处设立“踏破青白可惜，多行数步无妨”的提示牌．则提示牌上的“多行数步”是指多行 　 　米．

24．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了　 　米．

25．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 　 　cm．

26．有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送2m（水平距离BC＝2m）时，秋千踏板离地的垂直高度BF＝1.5m，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索AD长为 　 　m．

27．如图，某数学兴趣小组为测量学校C与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点A，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝1km．据此，可求得学校与工厂之间的距离BC等于 　 　km．

28．某会展期间，准备在高BC＝5米、长AC＝13米，宽2米的楼梯上铺地毯，则所铺地毯的面积为 　 　平方米．

29．新冠疫情防控过程中，某中学在大门口的正上方A处装着一个红外线激光测温仪，离地AB＝2.1米（如图所示），一个身高1.6米的学生（CD＝1.6米）正对门缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离AD等于 　 　．

30．由于台风的影响，一棵树在折断前不包括树根的长度是16m，折断后树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在离地面 　 　处折断．
31．如图是某公园的一角，有人为了抄近道而避开路的拐角∠ABC（∠ABC＝90°），于是在草坪内走出了一条不该有的“捷径路AC”．已知AB＝8米，BC＝6米，他们踩坏了 　 　米的草坪，只为少走 　 　米的路．

32．图是屋架设计图的一部分，点E、F分别为斜梁AB、AC的中点，D为横梁BC的中点，EM⊥BC于点M，FN⊥BC于点N，若AB＝AC＝6m，∠BAC＝120°，则EM+AD+FN等于 　 　m，四边形AEDC的周长为 　 　m．

33．如图，有一块四边形花圃ABCD，AB＝3m，AD＝4m，BC＝13m，DC＝12m，∠A＝90°，若在这块花圃上种植花草，已知每种植1m2需50元，则共需 　 　元．

34．在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．花在水平方向上离开原来的位置2尺远，则这个湖的水深是 　 　尺．

35．如图，在△ABC中，AB＝7cm，AC＝25cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度运动至点，动点Q从点B出发沿BC方向以6cm/s的速度运动至点C，P、Q两点同时出发，连接PQ．当动点P、Q运动2s时，PQ＝　 　．

36．我县某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC＝90°，CD＝3米，AD＝4米，AB＝13米，BC＝12米．求出空地ABCD的面积为 　 　平方米．

37．如图，B船位于A船正东方向5km处．现在A船以2km/h的速度朝正北方向行驶，同时B船以1km/h的速度朝正西方向行驶，当两船相距最近时，行驶了 　 　h．

38．2020年8月3日，宜宾市叙州区科协在东方时代广场举办“2020年宜宾市叙州区机器人科技创新大赛”，如图是一机器人比赛行走的路径，机器人从M处先往西走8m，又往北走3m，遇到障碍后又往东走4m，再折向北走到9m处往西一拐，仅走1m就到达了N．问M、N两点之间的距离为 　 　m．

39．如图，一根2.5m长的木杆AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙底端C的距离为0.7m，木杆的顶端沿墙面下滑0.4m，那么点B将向外移动 　 　m；木杆在下滑过程中，△ABC面积最大为 　 　m2．

40．图1是一款婴儿推车，图2为其调整后的侧面示意简图，测得∠ACB＝90°，支架AC＝6dm，BC＝8dm，则两轮圆心A，B之间的距离为 　 　dm．

41．如图，在一个池塘旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置），测得的相关数据为：∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝50米，则AC＝　 　米．

42．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一根竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为15米，顶端距离地面20米；如果保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在左墙时，其顶端距离地面为24米，则小巷的宽度为 　 　米．

43．海面上有两个疑似漂浮目标．A舰艇以12海里/时的速度离开港口O，向北偏西50°方向航行；同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东一定角度的航向行驶，如图所示，离开港口5小时后两船相距100海里，则B舰艇的航行方向是 　 　．

44．如图，是荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．绳长BA＝2m，当秋千摆动到最高点A时，测得∠ABD＝60°．当秋千从A处摆动到A′时，A′B⊥AB，则A′到地面的距离是 　 　m．

三、解答题（共14小题）
45．如图，水池中离岸边D点4米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是2米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，则水池的深度AC为多少米．

46．一根电线杆在一次台风中从离地面3米处折断倒下，杆顶端落在离该电线杆底端4米处，请问电线杆在折断之前有多高？

47．某地遭台风袭击，马路边竖有一根高为8m的电线杆AC，被大风从离地面2m的B处吹断裂，倒下的电线杆顶部C，是否会落在与它的底部A距离5m的快车道上？

48．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），通过计算说明该车是否符合安全标准．


49．如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得AB＝3m，AD＝4m，CD＝12m，BC＝13m，又已知∠A＝90°．求这块土地的面积．

50．湖的两岸有A，B两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与AB垂直的BC方向上取点C，测得BC＝30米，AC＝50米．
求：（1）两棵景观树之间的距离；
（2）点B到直线AC的距离．

51．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD＝8米，CD＝6米，∠ADC＝90°，AB＝26米，BC＝24米．
（1）△ABC是直角三角形吗？为什么？
（2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米50元，求这块空地铺满草坪共需花费多少元？

52．一架梯子AB长5.2米，如图斜靠在墙上，梯子的底部离墙的底端的距离BC为5.1米．
（1）求梯子的顶端与地面的距离AC；
（2）如果梯子的顶端上升了4.0米，那么梯子底部在水平方向是不是也向墙的底端靠近了4.0米？为什么？

53．在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CB＝13千米，CD＝12千米，BD＝5千米．求原来的路线AC的长．

54．如图，某校攀岩墙AB的顶部A处安装了一根安全绳AC，让它垂到地面时比墙高多出了2米，教练把绳子的下端C拉开8米后，发现其下端刚好接触地面（即BC＝8米），AB⊥BC，求攀岩墙AB的高度．

55．在某风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳．10s后船移动到点D的位置，此时船距离岸边多少m？（结果保留根号）

56．如图，将长为5米的梯子AB斜靠在与地面垂直的墙上，BC的距离为3米．
（1）若梯子的上端A下滑2m，那么梯子的下端B向左滑了 　 　米．
（2）若梯子的上端A下滑xm，那么梯子的下端B向左滑ym，请用含x的代数式表示y并写出x的取值范围．


57．如图所示，在甲村至乙村的公路AB旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，公路AB是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．

58．如图，A、B两个花圃相距150m，C为水源地，水源地C距离A花圃120m，水源地C距离B花圃90m，为了方便灌溉，某工程队想修筑水渠．现有两种方案修筑水渠．
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；
乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为点H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的点H处，再从点H分别向 A、B进行修筑．
（1）请判断△ABC的形状并写出推理过程；
（2）按照乙方案，求从水源地点C修筑水渠到点H处，即CH的长度．


参考答案
一、选择题（共22小题）
1．C
2．A
3．A
4．A
5．B
6．C
7．C
8．B
9．C
10．C
11．C
12．B
13．A
14．D
15．C
16．B
17．B
18．C
19．A
20．B
21．C
22．D；
二、填空题（共22小题）
23．4
24．9
25．2
26．2.5
27．
28．34
29．1.3米
30．6
31．10；4
32．6；（12+3）
33．1800
34．3.75
35．13cm
36．24
37．1
38．13
39．0.8；
40．10
41．50
42．22
43．北偏东40°
44．（）；
三、解答题（共14小题）
45．解：设水池的深度为x米，由题意得：
x2+42＝（x+2）2，
解得：x＝3．
答：水池的深度为3米．
46．解：由勾股定理得斜边为32+42=5（米），
则原来的高度为3+5＝8（米）．
答：电线杆在折断之前高8米．
47．解：根据题意，AB＝2m，则BC1＝8﹣2＝6（m），
于是AC1=62-22=32（m），
又因为32＞5，
∴电线杆顶部C会落在距它的底部5m的快车道上．

48．解：在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45，
在△BCD中，BC2+CD2＝32+62＝45，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴∠BCD＝90°，
∴BC⊥CD．
故该车符合安全标准．
49．解：连接BD，
∵∠A＝90°，
∴BD2＝AD2+AB2＝25，
则BD2+CD2＝132＝BC2，
因此∠CDB＝90°，
S四边形ABCD＝S△ADB+S△CBD＝36（平方米），
答：这块土地的面积为36平方米．

50．解：（1）在Rt△ABC，AB=502-302=40（米），
∴两棵景观树之间的距离为40米；
（2）过点B作BD⊥AC于点D，

∵S△ABC=12AB⋅BC=12AC⋅BD，
∴12×30×40=12×50×BD，
∴BD＝24（米），
∴点B到直线AC的距离为24米．
51．解：△ABC是直角三角形，
理由：连接AC，
在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝8米，CD＝6米，由勾股定理得：AC＝10（米），
∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（2）该空地面积S＝S△ACB﹣S△ADC=12×10×24-12×6×8＝96（平方米），
即铺满这块空地共需花费＝96×50＝4800元．

52．（1）解：根据勾股定理可得，梯子的顶端与地面的距离为：AC=AB2-BC2=(5.2)2-(5.1)2≈1.0（米），
答：梯子的顶端与地面的距离为1.0米．；

（2）解：梯子的顶端上升4.0米后，梯子的顶端与地面的距离为：A'C＝1.0+4.0＝5（米），
此时梯子的底部离墙的底端的距离为：B'C=A'B'2-A'C2=(5.2)2-52≈1.4（米），
梯子底部在水平方向移动的距离为：BB'＝5.1﹣1.4＝3.7（米），
∵3.7≠4.0，
∴梯子底部在水平方向不是也向墙的底端靠近了4.0米．
53．解：∵CB＝13千米，CD＝12千米，BD＝5千米，
122+52＝132，
∴CD2+BD2＝CB2，
∴△CDB为直角三角形，
∴CD⊥AB；
设AC＝x千米，则AD＝（x﹣5）千米．
∵CD⊥AB，∠ADC＝90°，
∴CD2+AD2＝AC2，即122+（x﹣5）2＝x2，
解得：x＝16.9．
答：原来的路线AC的长为16.9千米．
54．解：设攀岩墙的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，
在Rt△ABC中，BC＝8米，AB2+BC2＝AC2，
∴x2+82＝（x+2）2，
解得x＝15，
∴攀岩墙AB的高为15米．
55．解：在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，
∴AB=132-52=12（m），
∵此人以0.5m/s的速度收绳，10s后船移动到点D的位置，
∴CD＝13﹣0.5×10＝8（m），
∴AD=CD2-AC2=64-25=39（m），
∴BD=AB-AD=(12-39）（m）．
答：船向岸边移动了(12-39）m．
56．解：由题意得AB＝A′B′＝5米，BC＝3米，AA′＝2米，A′C＝AC﹣AA′，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，
∴AC=AB2-BC2=4（米）．
（1）在Rt△A′B′C中，A′C＝2米，A′B′2＝A′C2+B′C2，
∴B′C=52-22=21（米），
∴BB′＝B′C﹣BC＝（21-3）米，
故答案为：（21-3）；
（2）由题意得，AC2+BC2＝A′C2+B′C2＝AB2，
∴42+32＝（4﹣x）2+（3+y）2，
∴y=-x2+8x+9-3（0＜x≤4）．
57．解：公路AB需要暂时封锁．
理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．
因为BC＝400米，AC＝300米，∠ACB＝90°，
所以根据勾股定理有AB＝500米．
因为S△ABC=12AB•CD=12BC•AC
所以CD=BC⋅ACAB=400×300500=240（米）．
由于240米＜250米，故有危险，
因此AB段公路需要暂时封锁．

58．解：（1）△ABC是直角三角形，
理由：由题意可得：AC＝120m，BC＝90m，AB＝150m，
∵1202+902＝1502，
∴△ABC是直角三角形；

（2）根据题意可得：CH•AB＝AC•BC，
则150CH＝120×90，
解得：CH＝72，
答：CH的长度为72m．