第1章 平行线辅导讲义2：平行线及其判定(基础) 知识讲解(含答案)

平行线及其判定（基础）知识讲解撰稿：孙景艳   审稿： 吴婷婷【学习目标】1.熟练掌握平行线定义及画法；2.掌握平行公理及其推论；3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行. 【要点梳理】要点一、平行线及平行公理1.平行线的定义在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 两直线平行，用符号“∥”表示. 如下图，两条直线互相平行，记作AB∥CD或a∥b.要点诠释：（1）同一平面内，两条直线的位置关系：相交和平行.（2）互相重合的直线通常看作一条直线，两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行.2.平行线的画法用直尺和三角板作平行线的步骤：①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.3.平行公理及推论平行公理：经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.4. 两条平行线间的距离
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线间的距离．要点诠释：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即两条平行线之间的距离处处相等．要点二、平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵　∠3＝∠2∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵　∠1＝∠2∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵　∠4＋∠2＝180°∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：（1）平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.（2）今后我们有符号“∵”表示“因为”，用“∴”表示“所以”.【典型例题】类型一、平行线及平行公理1．下列说法中正确的有    (  ) ．   ①一条直线的平行线只有一条；②过一点与已知直线平行的直线只有一条；③因为a∥b，c∥d，所以a∥d；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．  A．1个    B 2个    C．3个    D．4个【答案】 A   【解析】一条直线的平行线有无数条，故①错；②中的点在直线外还是在直线上位置不明确，所以②错，③中b与c的位置关系不明确，所以③也是错误的；根据平行公理可知④正确，故选A．【总结升华】本题主要考察的是“平行公理及推论”的内容，要正确理解必须要抓住关键字词及其重要特征，在理解的基础上记忆，在比较中理解．举一反三：【变式】如图，在正方体中：（1）与线段平行的线段_________；（2）与线段相交的线段______；（3）与线段既不平行也不相交的线段______．【答案】（1）CD、A1B1、C1D1；  （2）BC、BB1、A1A、AD；（2）A1D1、D1D 、B1C1、CC1．2．如图所示，直线l1∥l2，点A、B在直线l2上，点C、D在直线l1上，若△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，则(    ) ．        A．S1＞S2    B．S1＝S2    C．S1＜S2    D．不确定【答案】B【解析】因为l1∥l2，所以C、D两点到l2的距离相等．同时△ABC和△ABD有共同的底AB，所以它们的面积相等．【总结升华】三角形等面积问题常与平行线间距离处处相等相结合．举一反三：【变式】如图，在两个一大一小的正方形拼成的图形中，小正方形的面积是10平方厘米，阴影部分的面积为       平方厘米．【答案】5    提示：连接BF，则得AC∥BF，进而有S阴影＝S△ABC ．类型二、平行线的判定3.(江苏)如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件： ①∠1＝∠5；  ②∠1＝∠7；  ③∠2＋∠3＝180°；  ④∠4＝∠7，其中能判断a∥b的条件的序号是    (    ). A．①②    B．①③    C．①④    D．③④【思路点拨】根据平行线的判定方法进行判断．【答案】A 【解析】①由∠1＝∠5可推出a∥b，理由是同位角相等，两直线平行．    ②∵  ∠1＝∠7，又∠7＝∠5，    ∴  ∠1＝∠5，可推出a∥b．    ③∠2＋∠3＝180°不能推出a∥b．④∠4＝∠7不能推出a∥b．【总结升华】从题目的结论出发分析所要说明的结论能成立，必须具备的是哪些条件，再看这些条件成立又需具备什么条件，直到追溯到已知条件为止．举一反三：【变式1】如图，下列条件中，不能判断直线的是（    ）.A．∠1＝∠3　　B．∠2＝∠3　　C．∠4＝∠5　　D．∠2＋∠4＝180°【答案】B【高清课堂：平行线及判定    例1】【变式2】已知，如图，BE平分ABC，CF平分BCD，1＝2，求证：AB//CD．【答案】证明：∵ 1＝2∴ 21＝22 ，即∠ABC＝∠BCD∴ AB//CD （内错角相等，两直线平行）4.如图所示，由(1)∠1＝∠3，(2)∠BAD＝∠DCB，可以判定哪两条直线平行．  【思路点拨】试着将复杂的图形分解成“基本图形”．【答案与解析】解：(1)由∠1＝∠3，可判定AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；(2)由∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3得：∠2＝∠BAD-∠1＝∠DCB-∠3＝∠4（等式性质），即∠2＝∠4可以判定AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．综上，由（1）（2）可判定：AD∥BC，AB∥CD.【总结升华】本题探索结论的过程采用了“由因索果”的方法．即在条件下探索由这些条件可推导出哪些结论，再由这些结论推导出新的结论，直到得出结果．  5.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？【答案与解析】解：这两条直线平行.理由如下：如图：∵ b⊥a,  c⊥a∴ ∠1＝∠2＝90°∴  b∥c  (同位角相等，两直线平行) ． 【总结升华】本题的结论可以作为两直线平行的判定方法.举一反三：【变式】已知，如图，EFEG，GMEG，1＝2，AB与CD平行吗？请说明理由．【答案】解：AB∥CD．理由如下：如图：       ∵ EFEG，GMEG (已知)，    ∴  ∠FEQ＝∠MGE＝90°(垂直的定义)．    又∵  ∠1＝∠2(已知)，    ∴  ∠FEQ -∠1＝∠MGE -∠2 (等式性质)，    即∠3＝∠4．    ∴ AB∥CD (同位角相等，两直线平行)．