北师大版高中数学必修第一册1-1-1第2课时集合的表示课件

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第一章课标要求1.掌握集合的两种表示方法:列举法和描述法.2.了解空集的含义.3.会用区间表示集合.内容索引基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升学以致用•随堂检测全达标基础落实•必备知识全过关知识点1　集合的表示方法1.列举法列举法是把集合中的元素　　　　　出来写在花括号“{　}”内表示集合的方法,一般可将集合表示为{a,b,c,…}. 元素与元素之间必须用“,”隔开 2.描述法描述法是通过描述元素满足的条件表示集合的方法.一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件},即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围,再画一条竖线“|”,在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征.一一列举 名师点睛1.用列举法表示集合时,必须注意以下几点:(1)集合的元素必须是明确的;(2)不必考虑元素出现的先后顺序;(3)集合的元素不能重复;(4)集合的元素可以表示任何事物;(5)对含有较多元素的集合,如果该集合的元素具有明显的规律,可用列举法表示,但是必须把元素间的规律显示清楚后,才能用省略号表示,如N+也可表示为{1,2,3,…,n,…}.2.描述法的一般形式是{x∈I|p(x)}.其中“x”是集合中元素的一般符号的代表形式,简称代表元素;“I”是x取值范围的一般代表形式;“p(x)”(可以是符号表达式,也可以是文字表述形式)是集合中元素x的共同特征的一般代表形式.通常用于表示无限集,或容易归纳其特征的集合.3.用描述法表示集合时,若需要多层次描述属性时,可选用逻辑联结词“且”与“或”等联结.如集合{x|x<0或x≥3}.4.元素的取值范围,从上下文关系来看,如果x∈R是明确的,则∈R可以省略不写,如集合D={x∈R|x<9}可以表示为D={x|x<9}.5.若描述部分出现代表元素以外的字母时,要对该字母说明其含义或指出其取值范围.如{x∈Z|x=2m}中m未被说明,故该集合中元素是不确定的.6.所有描述的内容都要写在花括号内,如{x∈Z|x=2m,m∈N+},此时m∈N+不能写到花括号外.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1){0,1}与{(0,1)}表示相同的集合.(　　)(2)用列举法表示集合{x|x2-2x+1=0}为{1,1}.(　　)(3){x|x>-1}与{t|t>-1}表示同一集合.(　　)(4)集合{(x,y)|x>0,y>0,x,y∈R}是指第一象限内的点集.(　　)× × √ √ 2.下面四个集合:①{x|y=x2+1};②{y|y=x2+1};③{(x,y)|y=x2+1};④{y=x2+1}.它们是不是相同的集合?它们各自的含义是什么?提示它们是互不相同的集合.①集合{x|y=x2+1}表示满足y=x2+1的所有x值组成的集合,所以{x|y=x2+1}=R;②集合{y|y=x2+1}表示满足y=x2+1的所有y值组成的集合,因为y≥1,所以{y|y=x2+1}={y|y≥1};③{(x,y)|y=x2+1}的代表元素是(x,y),表示的是满足y=x2+1的数对(x,y)组成的集合,也可以认为是坐标平面上的点(x,y),由于这些点的坐标满足y=x2+1,所以{(x,y)|y=x2+1}={P|P是抛物线y=x2+1上的点};④{y=x2+1}表示的是由y=x2+1这一元素组成的单元素集合.知识点2　集合的分类1.集合可以根据它含有的元素的个数分为两类:含有　　　　　　　的集合叫作有限集,含有　　　　　　的集合叫作无限集. 2.把不含有任何元素的集合叫作　　　　,记作　　. 名师点睛1.集合的分类是按照集合中元素是有限个还是无限个划分的,不是按元素多少,一个集合中元素有很多,但是个数有限,也属于有限集.2.空集中不含有任何元素,{0}不是空集,因为它含有元素0.有限个元素 无限个元素 空集 ⌀ 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)大于1的整数所构成的集合可以用列举法表示,属于有限集.(　　)(2)一元二次方程解的集合可以是空集.(　　)× √ 2.空集是有限集还是无限集? 提示空集可以看成包含0个元素的集合,所以空集是有限集. 知识点3　区间及其表示1.设a,b是两个实数,且aa,x≤b,x3}.(3)不等式x-2<3的解是x<5,则不等式x-2<3的解组成的集合用描述法表示为{x|x<5}.规律方法　1.用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性,即它是数集、点集还是其他的类型.一般地,数集用一个字母代表其元素,点集用一个有序实数对代表其元素.2.若描述部分出现代表元素以外的字母,则要说明新字母含义或指出其取值范围.变式训练2用描述法表示下列集合:(1)平面直角坐标系中x轴上的点组成的集合;(2)抛物线y=x2-4上的点组成的集合;(3)使函数y= 有意义的实数x组成的集合.解(1){(x,y)|x∈R,y=0};(2){(x,y)|y=x2-4};(3){x|x≠1}. 学生乙:问题转化为求直线y=x与抛物线y=x2的交点,得到A={(0,0),(1,1)}.解学生甲正确,学生乙错误.由于集合A的代表元素为x,这是一个数集,而不是点集.因此满足条件的元素只能为x=0,1;而不是实数对变式探究若把例3中的集合改为A= ,哪位同学解答正确?解代表元素是点,所以这是点集,学生乙正确. 【例4】 用适当的方法表示下列集合: (2)1 000以内被3除余2的正整数组成的集合;(3)所有的正方形组成的集合;(4)抛物线y=x2上的所有点组成的集合.(2)设集合的代表元素是x,则该集合用描述法可表示为{x|x=3k+2,k∈N,且k≤332}.(3)用描述法表示为{x|x是正方形},或{正方形}.(4)用描述法表示为{(x,y)|y=x2}.规律方法　表示集合时,应先根据题意确定符合条件的元素,再根据元素情况选择适当的表示方法.值得注意的是,并不是每一个集合都可以用两种方法表示出来.变式训练3用另一种方法表示下列集合:(1){绝对值不大于2的整数};(2){能被3整除,且小于10的正数};(3){-3,-1,1,3,5}.解(1){-2,-1,0,1,2}.(2){3,6,9}.(3){x|x=2k-1,-1≤k≤3,k∈Z}.【例5】 若集合A={x|kx2-8x+16=0}中只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A.解当k=0时,原方程变为-8x+16=0,x=2.此时集合A={2},满足题意.当k≠0时,要使关于x的一元二次方程kx2-8x+16=0有两个相等实根,只需Δ=64-64k=0,即k=1.此时方程的解为x1=x2=4,集合A={4},满足题意.综上所述,实数k的值为0或1.当k=0时,A={2};当k=1时,A={4}.规律方法　1.解答与描述法有关的问题时,明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点及关键点.2.本题因不能确定kx2-8x+16=0是否为一元二次方程,因而,需要分为k=0和k≠0两种情况进行讨论,从而做到不重不漏.3.解答集合与含有参数的方程的综合问题时,一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论,确定方程的根的情况,进而求得结果.需特别关注判别式在讨论一元二次方程的实数根个数中的作用.变式探究1例5中,若集合A中含有2个元素,试求k的取值范围.解得k<1,且k≠0.故k的取值范围为{k|k<1,且k≠0}. 变式探究2例5中,若集合A中至多有一个元素,试求k的取值范围.解①当集合A中含有1个元素时,由例5知,k=0或k=1;②当集合A中没有元素时,方程kx2-8x+16=0无解,综上,实数k的取值范围为{k|k=0,或k≥1}. 1.知识清单:(1)用列举法和描述法表示集合;(2)两种表示法的综合应用;(3)区间.2.方法归纳:等价转化.3.常见误区:点集与数集的区别.学以致用•随堂检测全达标1.已知集合A= ,则下列关系式不成立的是(　　)A.0∈A B.1.5∉A C.-1∉A D.6∈A 答案 D　解析 由题意知A={0,1,2,3,4,5},故选D.2.下列四个集合中,是空集的是(　　)A.{0} B.{x|x>8或x<5}C.{x∈R|x2+1=0} D.{x∈N|3.5