四川省宜宾市叙州区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含答案）

四川省宜宾市叙州区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．若二次根式有意义，则m的取值范围是（     ）
A． B． C． D．
2．在一个不透明袋子中装有5个只有颜色不同的球，其中3个红球和2个蓝球，从袋子中任意摸出1个球，摸到红球的概率为（     ）
A． B． C． D．
3．下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是（     ）
A．1，2，3，4 B．1，2，3，6 C．，，， D．1，3，4，7
4．将一元二次方程化成的形式，则n等于（      ）
A． B．6 C． D．2
5．如图，是的中线，E、F分别是，的中点，连结．若，则的长为（      ）

A．4 B．3 C．6 D．5
6．下列计算正确的是（     ）
A． B． C． D．
7．数学实践课上，小明在测量教学楼高度时，先测出教学楼落在地面上的影长为米（如图），然后在处树立一根高米的标杆，测得标杆的影长为4米，则楼高为（   ）

A．10米 B．12米 C．15米 D．25米
8．某地区2020年投入教育经费2000万元，为了发展教育事业，该地区每年教育经费的年增长率均为，预计到2022年将投入4500万元，则下列方程正确的是（   ）
A．
B．
C．
D．
9．如图，在中，，，垂足为．如果，，那么的值是（    ）

A． B． C． D．
10．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是（   ）
A． B． C．且 D．且
11．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2022次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为（　　）

A． B． C． D．
12．如图，边长为a的正方形中，对角线交于点O，E在上，作交于点F，连结交于H，则下列结论：①；②；③；④若，则，正确的是（      ）

A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④

二、填空题
13．2cos30°＝_____．
14．打开电视机，正在播放电视剧。这是一个_____________事件．（填“确定”或“随机”）．
15．如图，点D、F在线段上，点E、G在线段上，，，如果，那么的长为_______________．

16．已知α、β是方程的两个根，则_______________．
17．如图，已知，且三边满足，则______________ ．

18．如图，正方形的边长为6，对角线交于点O，点E在边上，连接，在上取点F，连接，若，，则的长为____________．


三、解答题
19．（1）计算∶；
（2）解方程：．
20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．以原点O为位似中心，在y轴的右侧将放大为原来的两倍得到．

(1)画出；
(2)分别写出B，C两点的对应点，的坐标．
21．为防控新型冠状病毒，学生进校园必须戴口罩，测体温，某校有3个测温通道，分别记为A、B、C，学生可随机选择其中的一个测温通道进校园，某日早晨该校所有学生体温正常．
(1)甲同学该日早晨进校园时，选择A测温通道进校园的概率是_______；
(2)请用列表或画树状图的方法求甲、乙两位同学该日早晨进校园时，选择同一测温通道进校园的概率．
22．如图是某种自动卸货时的示意图，时水平汽车底盘，是液压举升杠杆，货车卸货时车厢与底盘夹角为，举升杠杆与底盘夹角为，已知举升杠杆上顶点离火车支撑点的距离为米．试求货车卸货时举升杠杆的长．

23．商场购进某种新商品的每件进价为60元，在试销期间发现，当每件商品的售价为70元时，每天可销售30件；当每件商品的售价高于70元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，据此规律，请回答下列问题．
(1)当每件商品的售价为75元时，每天可销售________件商品，商场每天可盈利________元；
(2)在销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少时，商场每天盈利达到400元．
24．已知：如图，在与中，，，如果点在上，且，点为与的交点．

求证：
(1)；
(2)．
25．在ABC中，∠ACB＝45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB＝AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．
（2）如果AB＞AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？
（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝，BC＝3，CD＝x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）．


参考答案：
1．C
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，列不等式求解．
【详解】解：二次根式有意义，
，
解得．
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式中，被开方数大于等于0．
2．A
【分析】直接根据概率公式求解即可．
【详解】∵装有5个只有颜色不同的球，其中3个红球，
∴从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是．
故选：A．
【点睛】本题考查了概率公式，熟知随机事件A的概率=事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．
3．B
【分析】把每个选项中的四条线段两两组合求比值，若是两两组合后比值相等，则是成比例线段．
【详解】解：A、选项中四条线段不能组成比值相等的两组线段，故不是比例线段；
B、选项中，所以四条线段成比例线段；
C、选项四条线段不能组成比值相等的两组线段，故不是比例线段；
D、选项四条线段不能组成比值相等的两组线段，故不是比例线段；
故选B．
【点睛】本题主要考查比例线段的判断，熟练掌握比例线段的判断方法是解决本题的关键．
4．B
【分析】先移项，再在方程的两边都加上4，配方后可求解．
【详解】解：∵，
移项得：，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程−配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
5．B
【分析】根据三角形的中线的概念求出，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：∵是的中线，，
∴，
∵E、F分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
6．D
【分析】根据二次根式的性质研究运算法则解答即可．
【详解】A．，故本选项不符合题意；
B. ，故本选项不符合题意；
C. ，故本选项不符合题意；
D. ，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
7．C
【分析】根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．
【详解】∵，
即，
∴楼高米，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，找出相似三角形是解决问题的关键．
8．B
【分析】利用该地区预计到2022年将投入的教育经费金额等于该地区2020年投入的教育经费金额×(1+该地区每年教育经费的年增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】设该地区每年教育经费的年增长率均为，则2021年的教育经费为，
所以2022年的教育经费为，
．
故答案为B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．D
【分析】根据相似三角形的判定与性质可以求得的长，然后即可求出的值．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查解直角三角形，明确题意求出的值是解题的关键．
10．C
【分析】根据一元二次方程有两个实数根可知判别式，解出a的范围，再综合一元二次方程的定义即可得到答案．
【详解】 关于x的一元二次方程有两个实数根
且，
且
故选：C．
【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数的取值范围，注意“有两个实数根”包括“有两个相等的实数根”（即）的情况；另外还要注意当参数在二次项系数的位置上时，还要考虑二次项系数不为0．
11．A
【分析】根据图形可知：点在以为圆心，以为半径的圆上运动，再由旋转可知：将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点逆时针旋转，可得对应点的坐标，然后发现规律是8次一循环，进而得出答案．
【详解】解：点的坐标为，
，
四边形是正方形，
，，
，
连接，如图：

由勾股定理得：，
由旋转的性质得：，
将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，
相当于将线段绕点逆时针旋转，依次得到，
，，，，，，，，
发现是8次一循环，则，
点的坐标为，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法．
12．D
【分析】延长交于点I ，证明推出，得到，推出，由此求出，即可判断①正确；根据，得到，判断②正确；证明，得到，推出，即可判断③正确；利用，得到，求出，再根据三角函数正切值公式计算判断④正确．
【详解】延长交于点I ，

∵四边形是边长为a的正方形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，故②正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∵，，
∴，故④正确；
故选：D．
【点睛】此题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
13．
【详解】试题分析：根据cos30°=，继而代入可得出答案．
解：原式=．
故答案为．
点评：此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是掌握一些特殊角的三角函数值，需要我们熟练记忆，难度一般．
14．随机
【分析】根据理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．
【详解】打开电视机，可能正在播放电视剧，也可能不在播放电视剧，所以打开电视机，正在播放电视剧是随机事件
故答案为：随机
【点睛】本题考查的时理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件是指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
15．9
【分析】先根据平行线分线段成比例定理得到，进而求出，即可求出的长．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：9
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
16．
【分析】直接利用根与系数的关系及方程的解求解即可．
【详解】解：，是方程的两个根，
∴，，
则，
故答案为：2023
【点睛】此题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是明确两根的和与差的区别，避免混淆．
17．
【分析】作于D，先证明，得，即，而，即可证得，再证明，得，所以，推出，求出，根据公式计算即可．
【详解】解：作于D，

则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法，锐角三角函数等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
18．
【分析】在中，根据，可得出，又根据正方形的边长为6，可得出，即可求得，，再根据，可得出，从而证得，进而得出，代入数值进行即可求解．
【详解】解：设与 相交于点H，如图所示：

四边形为正方形，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
根据勾股定理可得：
，
，
又，
，
，
，
，
即，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，对应线段成比例，勾股定理，以及正方形的性质，解题的关键是能证明三角形的相似从而得出对应线段成比例进而解决问题．
19．（1）；（2）
【分析】（1）先计算零指数幂，负整数指数幂，特殊角三角函数值，化简二次根式，然后根据实数的混合计算法则求解即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：（1）原式

；       
（2）∵，
∴，
∴，
解得．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，实数的混合计算，特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，化简二次根式，熟知相关计算法则是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)

【分析】（1）由以原点O为位似中心，在y轴的右侧将放大为原来的两倍得到，根据位似的性质，可求得点，，的坐标，继而画出；
（2）由（1）即可求得B，C两点的对应点，的坐标．
【详解】（1）解：∵以原点O为位似中心，在y轴的右侧将放大为原来的两倍得到′，
∴，，；
如图画出：
；
（2）解：由（1）得：，．
【点睛】本题考查了作图-位似变换．熟练掌握关于原点位似的图形的变化特点是关键．
21．(1)
(2)

【分析】（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）先画出树状图得到所有的等可能性的结果数，再找到两人选择同一通道的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵甲选择每个测温通道的概率一样，
∴甲同学该日早晨进校园时，选择A测温通道进校园的概率是
（2）解：画树状图如下：

由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲、乙两位同学选择同一测温通道进校园的结果数有3种，
∴甲、乙两位同学选择同一测温通道进校园的概率为＝．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，树状图或列表法求解公式，熟知概率的相关知识是解题的关键．
22．米
【分析】过点作于点，先根据三角形的外角性质可得，设米，则米，再在中，解直角三角形可得米，米，然后在中，解直角三角形可得的值，由此即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，

，
，
设米，则米，
米，米，
在中，，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
米，
答：货车卸货时举升杠杆的长为米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．
23．(1)25；375
(2)80元

【分析】（1）根据当每件商品的售价高于70元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，得到涨价5元，日销售量减少5件，再根据单件利润乘以销售量求出每天的盈利；
（2）设定价为x元，根据单件利润乘以销售量求出每天的盈利列方程解答即可．
【详解】（1）解：∵当每件商品的售价高于70元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，
∴当每件商品的售价为75元时，涨价5元，日销售量减少5件，每天可销售（件），
商场每天可盈利（元），
故答案为：25；375；
（2）设定价为x元，由题意可得：
，
解得，（符合题意），
答：每件定价为80元时，商场每天的盈利达到400元．
【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解销售问题中的数量关系：单件利润乘以销售量等于每天的盈利是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)见解析

【分析】1）根据三角形的外角的性质得到，由于 ，根据相似判定定理即可；
（2）根据相似三角形的性质得到，得到 ，
证得，根据相似三角形的性质得到，由 ，推出，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） ，，
，
，
；
（2） ，
，

，
，
，
，
，
，
，
即
【点睛】本题综合考查了相似三角形的判定和性质及三角形的外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
25．（1）CF与BD位置关系是垂直，见解析；（2）AB＞AC时，CF⊥BD的结论成立，见解析；（3）或
【分析】（1）由∠ACB＝45°，AB＝AC，得∠ABD＝∠ACB＝45°；可得∠BAC＝90°，由正方形ADEF，可得∠DAF＝90°，AD＝AF，∠DAF＝∠DAC+∠CAF；∠BAC＝∠BAD+∠DAC；则∠CAF＝∠BAD．可证△DAB≌△FAC，得∠ACF＝∠ABD＝45°，可得∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD；
（2）过点A作AG⊥AC交BC于点G，可得出AC＝AG，易证：△GAD≌△CAF，所以∠ACF＝∠AGD＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD；
（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝ ，BC＝3，CD＝x，求线段CP的长．考虑点D的位置，分两种情况去解答：①点D在线段BC上运动，已知∠BCA＝45°，可求出AQ＝CQ＝4．即DQ＝4﹣x，可证△AQD∽△DCP，可得 ，即 ，即可求解；
②点D在线段BC延长线上运动时，∵∠BCA＝45°，可求出AQ＝CQ＝4，∴DQ＝4+x．过A作AQ⊥BC交CB延长线于点Q，则△AGD∽△ACF，得CF⊥BD，由△AQD∽△DCP，得，即，即可求解．
【详解】解：（1）CF与BD位置关系是垂直；理由如下：
∵AB＝AC，∠ACB＝45°，
∴∠ABC＝45°，
∴∠BAC=90°，
在正方形ADEF中，AD＝AF，
∵∠DAF＝∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝∠FAC，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠ACF＝∠ABD=45°，
∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，
∴CF⊥BC，
∴CF⊥BD．
（2）AB＞AC时，CF⊥BD的结论成立．理由如下：
过点A作GA⊥AC交BC于点G，

∵∠ACB＝45°，
∴∠AGD＝45°，
∴AC＝AG，
同理可证：△GAD≌△CAF
∴∠ACF＝∠AGD＝45°，
∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，
即CF⊥BD；
（3）如图，过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，

①点D在线段BC上运动时，
∵∠BCA＝45°，
∴∠CAQ=45°，
∴∠CAQ=∠BCA，
∴AQ=CQ,
∵AC＝，
∴ ，
∴AQ＝CQ＝4，
∵CD＝x，  
∴DQ＝4﹣x，
在正方形ADEF中，∠ADE=90°，
∴∠CDP+∠ADQ=90°，
由（2）得：CF⊥BC，
∴∠CDP+∠CPD=90°，
∴∠CPD=∠ADQ，
△AQD∽△DCP，
∴，即，
∴；
②点D在线段BC延长线上运动时，
∵∠BCA＝45°，
∴AQ＝CQ＝4，
∴DQ＝4+x．
∵AQ⊥BC，
∴∠Q＝∠FAD＝90°，
∵∠C′AF＝∠C′CD＝90°，∠AC′F＝∠CC′D，
∴∠ADQ＝∠AFC′，
则△AQD∽△AC′F．
∴CF⊥BD，
∴△AQD∽△DCP，
∴，即，
∴．
【点睛】本题主要考查了正的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识，并会利用分类讨论的思想是解题的关键．