2023年高考数学冲刺模拟卷第10套（理科，解析卷）

这是一份2023年高考数学冲刺模拟卷第10套（理科，解析卷），共15页。试卷主要包含了 设，“复数是纯虚数”是“”的等内容，欢迎下载使用。
2023年高考数学冲刺模拟卷理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间为120分钟，满分150分第Ⅰ卷（选择题  共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1． 已知集合，，则（    ）.A.  B.  C.  D. 2．复数z满足，则A.    B.    C.    D. 3. 已知一组数据1，2，，，5，8的平均数和中位数均为4，其中，在去掉其中的一个最大数后，该组数据一定不变的是（    ）A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 标准差4. 如图所示半径为4m的水轮其圆心O距离水面2m．已知水轮自点A开始沿逆时针方向匀速转动，1min旋转4圈，水轮上的点P(起始点为A)到水面距离y（m）与时间x（s）满足函数关系，则有（    ）A ， B. ，C. ， D. ，5. 设，“复数是纯虚数”是“”的（    ）A. 充分而不必要条件； B. 必要不充分条件；C. 充分必要条件； D. 既不充分也不必要条件.6．为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：    根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是A. 药物B的预防效果优于药物A的预防效果B. 药物A的预防效果优于药物B的预防效果C. 药物A、B对该疾病均有显著的预防效果D. 药物A、B对该疾病均没有预防效果7. 已知函数在上单调，则a取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 8．箱子里有3双颜色不同的手套（红蓝黄各1双），有放回地拿出2只，记事件A表示“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对”，则事件A的概率为A.                  B. C.                   D. 9．在三棱锥中，底面ABC，，，，则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为A.           B.     C.       D. 12．已知函数（其中）的一个对称中心的坐标为，一条对称轴方程为．有以下3个结论：① 函数的周期可以为；② 函数可以为偶函数，也可以为奇函数；③ 若，则可取的最小正数为10．其中正确结论的个数为0     B. 1     C. 2     D. 3 11. 已知双曲线的左、右焦点分为，，左、右顶点分别为，，点M，N在y轴上，且满足（O为坐标原点）．直线，与C的左、右支分别交于另外两点P，Q，若四边形为矩形，且P，N，三点共线，则C的离心率为（    ）A. 3 B. 2 C.  D. 12. 已知函数与的图象关于轴对称，当函数和在区间同时递增或同时递减时，把区间叫做函数的“不动区间”，若区间为函数的“不动区间”，则实数的取值范围是（    ）A．       B．       C．        D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．二项式的展开式中的系数为        . 14．曲线与直线所围成的封闭图形的面积为        . 15．如图，为测量竖直旗杆CD高度，在旗杆底部C所在水平地面上选取相距m的两点A，B，在A处测得旗杆底部C在西偏北10°的方向上，旗杆顶部D的仰角为60°；在B处测得旗杆底部C在东偏北20°方向上，旗杆顶部D的仰角为45°，则旗杆CD高度为        m.16．已知函数如果使等式成立的实数分别都有3个，而使该等式成立的实数仅有2个，则的取值范围是       .三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，，求成立的正整数的最小值.  18．某种水果按照果径大小分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．一般的，果径越大售价越高．为帮助果农创收，提高水果的果径，某科研小组设计了一套方案，并在两片果园中进行对比实验．其中实验园采用实验方案，对照园未采用．实验周期结束后，分别在两片果园中各随机选取100个果实，按果径分成5组进行统计：[21，26），[26，31），[31，36），[36，41），[41，46]（单位：mm）．统计后分别制成如下的频率分布直方图，并规定果径达到36mm及以上的为“大果”．（1）估计实验园的“大果”率；（2）现采用分层抽样方法从对照园选取的100个果实中抽取10个，再从这10个果实中随机抽取3个，记“大果”个数为，求的分布列和数学期望的；（3）以频率估计概率，从对照园这批果实中随机抽取个，设其中恰有2个“大果”的概率为，当最大时，写出的值（只需写出结论）.
19.（12分）如图，在三棱柱中，侧面底面，，，，E，F分别为AC，的中点. （1）求证：直线EF∥平面；（2）求二面角的余弦值. 20.（12分）已知椭圆C：的离心率，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）过作两条直线与圆相切且分别交椭圆于M，N两点．① 求证：直线MN的斜率为定值；② 求△MON面积的最大值（其中O为坐标原点）． 21．（12分）已知函数．（1）当时，判断函数的单调性；（2）当有两个极值点时，① 求a的取值范围；② 若的极大值小于整数m，求m的最小值． （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（其中t为参数），在以原点O为极点，以x轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（2）设是曲线上的一动点，的中点为，求点到直线的最小值． 23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）已知函数（其中）．（1）当a＝－4时，求不等式的解集；（2）若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围．
2023年高考数学冲刺模拟卷答案（理科数学）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。1.B  2.A  3.B  4.C  5.A  6.B  7.C  8.B  9.D  10.C  11. A    12.C1.【答案】B【解析】【分析】化简集合即得解.【详解】解：由，得，故.所以.故选：B3. 【分析】由题设得或，分别求出数据变化前后的平均数、众数、中位数、标准差，再确定对应值是否发生变化.【详解】由题意，，可得，又中位数为4，则或，当时，众数为5，标准差为；当时，众数为4，标准差为；∴去掉其中的一个最大数后，数据为1，2，，，5，当，平均数，众数为5，中位数为3，标准差为；当时，平均数，众数为4，中位数为4，标准差为；综上，数据变化前后一定不变的是众数.故选：B4. 【答案】C【解析】【分析】确定A的值，根据函数的周期可计算，利用点代入解析式中结合函数的单调性质可求得，即可确定答案.【详解】由题意可知，最高点到水面距离为5，故A=5，由水轮自点A开始沿逆时针方向匀速转动，1min旋转4圈，则周期 ,则，由题意知,代入解析式中，，由于，故或，根据图象可知A处于函数的单调减区间上，故，所以，，，故选：C5. 【答案】A【解析】【分析】根据纯虚数的定义，结合充分性、必要性的定义进行求解即可.【详解】当是纯虚数时，一定有，但是当时，只有当时，才能是纯虚数，所以“复数是纯虚数”是“”的充分而不必要条件，故选：A7.【答案】D【解析】【分析】根据在上的单调性列不等式，由此求得的取值范围.【详解】的开口向下，对称轴是直线，所以函数在上单调递增，依题意可知，在上单调递增，所以，解得，所以的取值范围是.故选：D11.【答案】A【解析】【分析】由四边形为矩形，可得，，设，则，由P，N，三点共线，可得，由P，M，三点共线，可得，即可得，从而得答案.【详解】解：如图所示：，由，则有，设，则，由，可得，取，同理可得，又因为，P，N，三点共线，所以，，所以，所以，P，M，三点共线，所以，，所以，所以，又因为，所以，即有，所以，所以.故选：A.【答案】C【解析】试题分析：易知与在上单调性相同，当两个函数单调递增时，与的图象如图1所示，易知，解得；当两个函数单调递减时，的图象如图2所示，此时关于轴对称的函数不可能在上为减函数．综上所述，，故选C．【考点】1、新定义；2、函数的图象． 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。13. 35；14. ；15. 12；12. ． 三、解答题：本大题共70分。（一）必考题：共60分。17．（12分）（1）当时，，解得，当时，，. 则，所以，所以是以为首项，2为公比的等比数列. 故.  ·································································4分（2）, 则①② ①－②得：.所以．由得.由于时，；时，.故使成立的正整数的最小值为.··············································12分18．【答案】（1）；    （2）分布列见解析，；    （3）6.【解析】【分析】（1）根据频率直方图计算果径达到36mm及以上组频率和，即为所求的“大果”率（2）由分层抽样可得：抽取10个大果有3个，则“大果”个数可能取值为，并求对应概率，写出分布列，进而求期望.（3）由，应用不等式法求最大时的值.【小问1详解】由实验园的频率分布直方图得：，所以估计实验园的“大果”率为【小问2详解】由对照园的频率分布直方图得：这个果实中大果的个数为个.采用分层抽样的方法从100个果实中抽取10个，其中大果有个，从这10个果实中随机抽取3个，记“大果”个数为，则的可能取值为，，，，，所以的分布列为：0123所以.【小问3详解】由题设知：，而，，∴要使最大，则且，∴，故.19.（12分）（1）取的中点G，连接EG，FG，由于E，F分别为AC，的中点，所以FG∥．又平面，平面，所以FG∥平面．又AE∥且AE＝，所以四边形是平行四边形．则∥．又平面，平面，所以EG∥平面．所以平面EFG∥平面．又平面，所以直线EF∥平面．····················································6分（2）令AA1＝A1C＝AC＝2，由于E为AC中点，则A1E⊥AC，又侧面AA1C1C⊥底面ABC，交线为AC，A1E平面A1AC，则A1E⊥平面ABC，连接EB，可知EB，EC，两两垂直．以E为原点，分别以EB，EC，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，)，A(0，－1，0)，．所以，，，令平面A1BC的法向量为，由则令，则．令平面B1BC的法向量为，由则令，则．由，故二面角的余弦值为.················································12分20.（12分）（1）由，设椭圆的半焦距为，所以，因为C过点，所以，又，解得，所以椭圆方程为．·······················································4分（2）① 显然两直线的斜率存在，设为，，由于直线与圆相切，则有，直线的方程为， 联立方程组消去，得，因为为直线与椭圆的交点，所以，同理，当与椭圆相交时，，所以，而，所以直线的斜率．② 设直线的方程为，联立方程组消去得，所以，原点到直线的距离，得面积为，当且仅当时取得等号．经检验，存在（），使得过点的两条直线与圆相切，且与椭圆有两个交点M，N．所以面积的最大值为．···················································12分21．（12分）（1）由题．方法1：由于，，，又，所以，从而，于是为(0,＋∞)上的减函数．··············································4分方法2：令，则，当时，，为增函数；当时，，为减函数．故在时取得极大值，也即为最大值．则．由于，所以，于是为(0,＋∞)上的减函数．··············································4分（2）令，则，当时，，为增函数；当时，，为减函数．当x趋近于时，趋近于．由于有两个极值点，所以有两不等实根，即有两不等实数根（）．则解得．可知，由于，则．而，即（#）所以，于是，（*）令，则（*）可变为，可得，而，则有，下面再说明对于任意，，．又由（#）得，把它代入（*）得，所以当时，恒成立，故为的减函数，所以．···················································12分所以满足题意的整数m的最小值为3.（二）选考题：共10分。22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）（1）由得的普通方程．又由，得，所以，曲线的直角坐标方程为，即．·········································4分（2）设，，则，由于P是的中点，则，所以，得点的轨迹方程为，轨迹为以为圆心，1为半径的圆．圆心到直线的距离．所以点到直线的最小值为．················································10分23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）（1）当a=－4时，求不等式，即为，所以|x－2|≥2，即x－2≤－2或x－2≥2，原不等式的解集为{x|x≤0或x≥4}．···········································4分（2）不等式即为|2x+a|+|x－2|≥3a²－|2－x |，即关于x的不等式|2x+a|+|4－2x |≥3a²恒成立．而|2x+a|+|4－2x|≥|a＋4|，所以|a＋4|≥3a²，解得a＋4≥3a²或a＋4≤－3a²，解得或．所以a的取值范围是．····················································10分