18.2.1 特殊的平行四边形—矩形的性质与判定-【题型分类归纳】2022-2023学年八年级数学下册同步讲与练（人教版）

18.2.1 特殊的平行四边形— —矩形的性质与判定1、矩形的概念当平行四边形的一个角为直角时，这时的平行四边形是一个特殊的平行四边形。有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形。2、矩形的性质（具有与普通平行四边形相同的性质+本身的特性）（1）具有平行四边形的一切性质；（2）矩形的四个角都是直角；（3）矩形的对角线相等；（4）矩形是轴对称图形，它有两条对称轴（5）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。3、矩形的判定（1）有一个内角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形；（4）还有对角线相等且互相平分的四边形是矩形。4、说明一个四边形是矩形的思路（1）先判断它是平行四边形，然后再判断一个角是90°，或者判断对角线相等即可；（2）还有一种是判定三个角都是直角即可。这是从四边形直接用一步，就可以判定它是矩形。5、直角三角形斜边中线定理如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 题型一 矩形性质的理解【例1】关于矩形的性质，以下说法不正确的是（　　）A．邻边相互垂直 B．对角线相互垂直 C．是中心对称图形 D．对边相等【答案】B【解析】A、矩形的邻边相互垂直，说法正确；B、矩形的对角线相等，但不相互垂直，原说法错误；C、矩形是中心对称图形，说法正确；D、矩形的对边相等，说法正确；故选：B．  【变式1-1】下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是（    ）A．对边平行且相等 B．对角线相等 C．对角相等 D．对角线互相平分【答案】B【解析】A、对边平行且相等，矩形和平行四边形都具有；       B、对角线相等，矩形具有而平行四边形不具有；C、对角相等，矩形和平行四边形都具有；       D、对角线互相平分，矩形和平行四边形都具有．  故选：B．  【变式1-2】顺次连接一个四边形的各边中点得到一个矩形，则这个四边形满足条件的是（    ）A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．三个角都是直角【答案】C【解析】作如下图，由E、F、G、H分别是的中点，根据三角形中位线定理得：，∵四边形是矩形，∴，∴，即对角线互相垂直，故选C．  【变式1-3】已知矩形的两条对角线、相交于点O，则下列结论不一定正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图所示，在矩形中，，，，故B、C、D选项结论正确，当四边形为菱形或正方形时，成立，故结论不一定正确的是A选项，  【变式1-4】如图，从①②③④中选择一块可与左边图形拼成一个矩形的拼图板，应该选（    ）A．① B．② C．③ D．④【答案】C【解析】由矩形所缺的部分观察可以发现：选择的拼图板，凸出的部分应该位于所在边的中点位置，凹进去的部分应该位于所在边的靠近端点的位置，即与左边图形拼成一个矩形，正确的选择为③，故选：C．  题型二 利用矩形的性质求解【例2】如图，矩形中，对角线、相交于点，若，，则矩形的对角线长为（        ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】∵四边形为矩形，∴，，且，，∴，又∵，∴为等边三角形，∴，在直角三角形中，，，∴，∵，∴，∴矩形的对角线长为．故选：B  【变式2-1】如图，在矩形中，、交于点O，于点E，，则的度数为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵四边形是矩形，∴，，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故C正确.  【变式2-2】如图，在矩形中，两条对角线相交于点，，，矩形的面积是（    ）A． B． C．8 D．12【答案】B【解析】∵为矩形，，∴，∵，∴，，∴矩形的面积是，故选：B  【变式2-3】在平面直角坐标系中，长方形如图所示，，则点的坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵四边形为长方形，∴，，∵，∴点的横坐标与点相同，为，点的纵坐标与点相同，为，∴点的坐标为．故选：C．  【变式2-4】如图，E是矩形的边上一点，，P是对角线上任意一点，，垂足分别为F和G，则一定与图中哪条线段的长度相等：_____．【答案】或【解析】证明：连接，如图∵，，，∴ ，又∵四边形是矩形，∴，，∴，∴ ，∴．故答案为：或．  题型三 利用矩形的性质证明【例3】如图，点E为矩形ABCD内一点，且．求证：．【答案】证明：∵四边形是矩形，∴，，∵，∴，∴，即，在与中，∴，∴.  【变式3-1】已知如图，在矩形中，对角线、交于点，延长至，且．求证：．【答案】证明：四边形是矩形，，，垂直平分，．  【变式3-2】如图，矩形的对角线，相交于点，点，在上，，求证：．【答案】证明：∵四边形是矩形，∴，在和中，，∴，∴，∴  【变式3-3】如图，在矩形中，点E在边上，点F在的延长线上，且，求证：．【答案】证明：四边形是矩形，∴，，∴，在和中，，，，∴（SAS）．∴．  【变式3-4】如图，矩形中，点，分别在，上，，．求证：．【答案】证明：四边形是矩形，，，，，，，在和中，，≌，．  题型四 矩形判定定理的理解【例4】下列说法中正确的是（    ）A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．四边相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形【答案】D【解析】A．有一个角为直角的平行四边形是矩形；B．四条边都相等的四边形是菱形；C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形；D．对角线相等的平行四边形是矩形，故D正确．  【变式4-1】下列关于矩形的说法中正确的是（     ）A．对角线相等的四边形是矩形 B．矩形的对角线相等且互相平分C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．对角线互相平分的四边形是矩形【答案】B【解析】A、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；B、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；C、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；故选：B．  【变式4-2】下列条件不能判定一个四边形是矩形的是（　　）A．四个内角都相等 B．四条边都相等C．对角线相等且互相平分 D．对角线相等的平行四边形【答案】B【解析】A、四个内角都相等的四边形是矩形；B、四条边都相等的四边形是菱形；C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形；D、对角线相等的平行四边形是矩形；故选：B．  【变式4-3】工人师傅检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是（    ）A．测量两条对角线是否相等 B．测量一组邻边是否相等C．测量两条对角线是否互相垂直 D．测量门框的三个角是否都是直角【答案】D【解析】由对角线相等的四边形不一定是矩形，故A不符合题意；由一组邻边相等的四边形不一定是矩形，故B不符合题意；由两条对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故C不符合题意；由三个角都是直角的四边形是矩形，故D符合题意．  【变式4-4】如图，在四边形中，对角线相交于点O，，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】在四边形中，对角线相交于点O，，四边形是平行四边形，A、添加条件，可得四边形是菱形，但不一定是矩形；B、若，则，故四边形是矩形；C、若，则，故四边形是矩形；D、若，则，则，故四边形是矩形；故选：A．  题型五 证明四边形是矩形【例5】如图，在中，， D点是的中点，、分别是、的角平分线．求证：四边形是矩形．【答案】证明：∵， D点是的中点，∴，∵是的角平分线，∴∴，同理可得：，∴∴四边形是矩形．  【变式5-1】如图，四边形是平行四边形，点在的延长线上，且，，、相交于点，连接．求证：四边形是矩形．【答案】证明：四边形是平行四边形，， ，，，，，四边形是平行四边形，，，平行四边形是矩形．  【变式5-2】如图，，平分，平分．，．求证：四边形是矩形．【答案】证明：∵，，∴四边形是平行四边形，∵平分，平分，∴，，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴，∴，∴平行四边形是矩形．  【变式5-3】如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，在对角线上，且，，求证：四边形是矩形．【答案】证明：在平行四边形中，对角线、相交于点， ， ，，四边形是平行四边形， ， ，即，四边形是矩形．    【变式5-4】如图，过的顶点A分别作及其外角的平分线的垂线，垂足分别为E、F，求证：四边形是矩形； 【答案】证明：∵平分，平分，∴，，∵，∴，即，又∵，，∴，∴四边形是矩形.  题型六 利用矩形的性质与判定求解【例6】两个矩形的位置如图所示，若则的度数为(    )A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，由题意得：，∵，∴，∴．故选：C．  【变式6-1】如图所示，在矩形中，E，F，G，H分别为边，，，的中点，若，，则四边形的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】连接、，∵矩形， ∴，， ∵H、F分别为边、的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 同理，， ∵， ∴， ∴四边形的面积是 ． 故选：B．  【变式6-2】如图，在四边形ABCD中，，，，垂足为E，若．则四边形ABCD的面积为（　　）A．9 B．12 C． D．无法求出【答案】A【解析】如图，过点C作垂直的延长线于点F，∵， ，，∴四边形是矩形，，∴， ，∵，∴，在和中，，∴，∴，故选：A．  【变式6-3】如图，在中，，，，点D在上，以为对角线的所有平行四边形中，的最小值是（    ）A．3 B．6 C．8 D． 【答案】A【解析】∵，，，∴，∵四边形是平行四边形，∴∥，∴当时，最小，∵，∴四边形是矩形，∴，故选A．  【变式6-4】四边形的对角线相交于点，且，，则_______．【答案】1：2【解析】∵，∴，∴四边形是矩形，∴，∵，，∴是等边三角形，∴，∴，故答案为：1：2．   题型七 直角三角形斜边的中线【例7】如图，在直角三角形中，斜边，那么边上的中线的长为_______cm．【答案】【解析】∵在直角三角形中，斜边，∴边上的中线的长为，故答案为：．  【变式7-1】如图，在中，，点，，分别为，，的中点，若，则的长为________．【答案】4【解析】点，分别为，的中点，且，，在中，，点为的中点，，故答案为：4．  【变式7-2】如图，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为（      ）A．1 B．1.5 C．3 D．4.5【答案】B【解析】∵是的中位线，∴，∵，∴，∴，故选：B．  【变式7-3】在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是_____．【答案】或【解析】①如图，∵，又∵点是斜边的中点，∴；②如图，∵，又∵是斜边的中点，∴，综上可得：原直角三角形纸片的斜边长是或，故答案为：或．  【变式7-4】如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为______．【答案】20【解析】是矩形的对角线的中点，是的中点，，，，，是矩形的对角线的中点，，四边形的周长为，故答案为：20．