初中数学人教版八年级下册18.2.3 正方形优秀巩固练习

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把有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形既是矩形，又是菱形。它既有矩形的性质，又有菱形的性质。
2、正方形的性质(具有平行四边形、矩形、菱形的公共性质和单独的特性)
（1）边：四边相等，对边平行；
（2）角：四个角都是直角；
（3）对角线：互相平分、相等且垂直；每一条对角线平分一组对角，即正方形的对角线与边的夹角为45度；
（4）正方形是轴对称图形，有四条对称轴。
3、正方形的判定
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；
（2）有一个角是直角的菱形是正方形；
（3）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（4）对角线相等的菱形是正方形。
4、说明一个四边形是正方形的一般思路
（1）先判断它是矩形，再判断这个矩形也是菱形，可说明是正方形；
（2）先判断它是菱形，再判断这个菱形是矩形，可说明是正方形。
5、解题注意
（1）矩形、菱形和正方形都是特殊的平行四边形：
①矩形是由平行四边形增加 “一个角为90°”的条件得到的，它在角和对角线方面具有比平行四边形更多的特性；
②菱形是由平行四边形增加 “一组邻边相等”的条件得到的，它在边和对角线方面具有比平行四边形更多的特性；
③正方形是由平行四边形增加“一组邻边相等”和“一个角为90°” 两个条件得到的，它在边、角和对角线方面都具有比平行四边形更多的特性。
（2）矩形、菱形的判定可以根据出发点不同而分成两类：一是以四边形为出发点进行判定，另一类是以平行四边形为出发点进行判定。而正方形除了上述两个出发点外，还可以从矩形和菱形出发进行判定。
题型一 正方形性质的理解
【例1】正方形的性质∶
①边∶_______都相等且_______；
②角：四个角都是_______；
③对角线：两条对角线互相_______且_______，并且每一条对角线平分_______；
④正方形既是_______图形，又是_______图形，正方形有_______对称轴．
【答案】 四条边 对边平行 直角 垂直平分 相等 一组对角 中心对称 轴对称 四条
【变式1-1】正方形的一条对角找把正方形分成____ 个等腰直角三角形，若对角线长为 2，则正方形的边长为____，面积为____．
【答案】 2 2 2
【解析】如下图，
∵四边形ABCD是正方形，BD=2，
∴∠A=90°，
∴2AB2=BD2，
∴AB=2，
∴正方形的面积是2×2=2，
∴正方形的一条对角找把正方形分成2个等腰直角三角形，若对角线长为 2，则正方形的边长为2，面积为2．
【变式1-2】正方形、矩形、菱形都具有的特征是（ ）
A．对角线互相平分B．对角线相等
C．对角线互相垂直D．对角线平分一组对角
【答案】A
【解析】A、三者均具有此性质，故正确；
B、菱形不具有此性质，故不正确；
C、矩形不具有此性质，故不正确；
D、矩形不具有此性质，故不正确； 故选：A．
【变式1-3】正方形是特殊的矩形，正方形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分B．对角线互相垂直
C．对角线相等D．对角线相等且互相平分
【答案】B
【解析】A、对角线互相平分是矩形和正方形都具有的性质；
B、对角线互相垂直是正方形具有而矩形不具有的性质；
C、对角线相等是矩形和正方形都具有的性质；
D、对角线相等且互相平分是矩形和正方形都具有的性质； 故选：B．
【变式1-4】正方形具有而菱形不一定有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相垂直C．对角相等D．四条边相等
【答案】A
【解析】A．正方形对角线相等，菱形对角线不一定相等；
B．正方形对角线互相垂直，菱形对角线也互相垂直；
C．正方形对角相等，菱形对角也相等；
D．正方形四条边都相等，菱形四条边也都相等；故选：A．
题型二 利用正方形的性质求解
【例2】若正方形的周长为16，则其对角线长为______．
【答案】42
【解析】∵正方形周长为16
∴边长为4
对角线=42+42=42
【变式2-1】如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为_____°．
【答案】135
【解析】∵四边形ABCD是正方形
∴∠ACB＝∠BAC＝45°
∴∠2+∠BCP＝45°
∵∠1＝∠2
∴∠1+∠BCP＝45°
∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP
∴∠BPC＝135°.
【变式2-2】正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如下图所示点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（2，4），则点D的对应点的坐标为（ ）
A．（1，1）B．（3，-1）C．（2，-3）D．（1，-3）
【答案】A
【解析】过点B作BE⊥y轴，垂足为点E，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠DAB=90°，
∴∠1+∠EAB=90°，
∵BE⊥y轴，
∴∠2+∠EAB=90°，
∴∠1=∠2，
在△ABE和△ADF中，
∠1=∠2，AB=AD，∠AEB=∠AFD，
∴△ABE≌△DAF，
∵点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（2，4）
∴AF=BE=2，OA=3，OE=4
∴OF=OA-AF=3-2=1，AE=OE-OA=4-3=1
∴DF=AE=1，
∴D（1，1）故选：A．
【变式2-3】如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是（ ）
A．10B．3C．9D．2
【答案】A
【解析】如图，连接BE，设BE与AC交于点P'，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于AC对称，
∴P'D=P'B，
∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE最小．
即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度．
∵直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=3，CE=13CD=1，
∴BE=32+12=10．故选：A．
【变式2-4】如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=6，则四边形EFGH的面积是（ ）
A．34B．36C．40D．100
【答案】C
【解析】∵正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=6，
∴BE=AH=DG=CF=8−6=2，
∴四边形EFGH的面积为：82−12×2×6×4=64−24=40；故选C．
题型三 利用正方形的性质求证
【例3】如图所示，过正方形ABCD对角线BD上一点P，作PE⊥BC于点E，作PF⊥CD于点F，试说明：AP=EF．
【答案】证明：如图，连接PC，
∵四边形ABCD是正方形，PE⊥BC，PF⊥CD，
∴∠PFC=∠C=∠PEC=90°，AD=CD，∠ADB=∠CDB
∴四边形PECF是矩形，
∴PC=EF，
在△ADP与△CDP中，
AD=CD∠ADP=∠CDPDP=DP,
∴△APD≌△CPDSAS
∴AP=CP，
∴AP=EF．
【变式3-1】如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC上一点，连接AE，以AE为一边作正方形AEFG，连接DG．求证：DG=BE．
【答案】证明：∵四边形ABCD，AEFG均为正方形，
∴∠BAD=∠EAG，AB=AD，AE=AG，
∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD，
∴∠BAE=∠DAG，
∴△ABE≌△ADGSAS，
∴DG=BE．
【变式3-2】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC上的点，且AE=BF．求证：CE与DF垂直且相等．
【答案】证明：在正方形ABCD中，AB=BC=CD，∠B=∠BCD=90°，
∵AE=BF，
∴AB-AE=BC-BF，
即BE=CF，
在△BCE和△CDF中，
BC=CD∠B=∠BCD=90°BE=CF，
∴△BCE≌△CDFSAS，
∴CE=DF，∠CDF=∠BCE，
∵∠BCD=90°，
∴∠CDF+∠DFC=90°，
∴∠BCE+∠DFC=90°，
∴∠CHF=90°，
∴CE⊥DF，即：CE与DF垂直且相等．
【变式3-3】如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，延长BC至点H，使CH=BE，过点H作FH⊥BC，连接EF，且EF=AE．求证：△ABE≌△EHF．
【答案】证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠B=90°，
∵BE=CH，
∴BC=EH，
∴AB=EH，
∵FH⊥BC，
∴∠EHF=90°，
在Rt△ABE和Rt△EHF中，
AB=EHAE=EF，
∴Rt△ABE≌Rt△EHF(HL)．
【变式3-4】如图，在正方形ABCD中，P是CD的中点，连接PA并延长AP交BC的延长线于点E，连接DE，取DE的中点Q，连接PQ，求证：4PQ=BE．
【答案】证明：∵ABCD是正方形
∴AD=BC，AD//BE
∴∠ADP=∠ECP=90°
P是CD的中点，
∵PD=CP
在△ADP与△ECP中，
∠ADP=∠ECP∠APD=∠EPCPD=PC
∴△ADP≌△ECPAAS
∴AD=EC
∴BE=2EC
∵Q是DE的中点
∴EC=2PQ
∴BE=2EC=4PQ
即：4PQ=BE
题型四 正方形判定定理的理解
【例4】下列条件中，能判定一个四边形为正方形的是（ ）
A.对角线相等且互相平分的四边形B.对角线互相垂直且平分的四边形
C.有一组邻边相等的平行四边形D.有一个角是直角的菱形
【答案】D
【解析】A、对角线相等且互相平分的四边形是矩形;
B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形;
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形;
D、有一个角是直角的菱形是正方形; 故选：D.
【变式4-1】下列命题是真命题的是（）
A.对角线互相平分的四边形是正方形
B.对角线相等的平行四边形是正方形
C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D.对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形
【答案】D
【解析】A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原命题为假命题;
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题为假命题;
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题为假命题;
D、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，为真命题;故选：D
【变式4-2】下列说法不正确的是（）
A.对角线互相垂直的矩形是正方形B.对角线相等的菱形是正方形
C.有一个角是直角的平行四边形是正方形D.邻边相等的矩形是正方形
【答案】C
【解析】A、对角线互相垂直的矩形是正方形，该项说法正确；
B、对角线相等的菱形是正方形，该项说法正确；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形；
D、邻边相等的矩形是正方形，该项说法正确； 故选：C
【变式4-3】如果一个平行四边形要成为正方形，需增加的条件是（）
A.对角线互相平分B.对角线互相垂直
C.对角线相等D.对角线互相垂直且相等
【答案】D
【解析】A平行四边形的对角线互相平分；
B.对角线互相垂直的平行四边形为菱形；
C.对角线相等的平行四边形为矩形；
D.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故此选正确.
【变式4-4】以下选项中正确的有 .
（1）对角线互相垂直，一个角是直角的四边形是正方形。
（2）如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形。
（3）如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它一定是正方形。
（4）四条边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形。
【答案】（2）（3）（4）
【解析】（1）无论是对角线互相垂直的四边形，还是一个角是直角的四边形，均无法判定四边形是平行四边形，从而无法判定该四边形是正方形，故×；
（2）根据正方形的判定定理，对角线相等的菱形是正方形，故√；
（3）根据正方形的判定定理，对角线互相垂直的矩形是正方形，故√；
（4）根据菱形的判定定理，四条边相等的四边形是菱形：再根据正方形的判定定理，有一个角是直角的菱形是正方形，故√；
题型五 证明四边形是正方形
【例5】四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，则下列几组条件中能判定它是正方形的是____．（只需要填上序号）
① AB=BC=CD=DA，AC=BD；
② AO=CO，BO=DO，AC⊥BD，AB⊥BC；
③四边形 ABCD 是矩形，并且 BC⊥CD；
④四边形 ABCD 是菱形，并且 AC=BD．
【答案】①②④
【解析】①能，根据对角线相等的菱形为正方形即可判定，故选项正确；
②能，因为对角线垂直且互相平分能得到是菱形，再根据邻边垂直的菱形为正方形即可判定，故选项正确；
③不能，只能判定为菱形，故选项错误；
④能，根据对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故此选项正确，
故答案为：①②④．
【变式5-1】已知：如图，△ABD和△BCD都是等腰直角三角形，∠A=∠C=90°．求证：四边形ABCD是正方形．
【答案】证明：∵ △ABD和△BCD都是等腰直角三角形，∠A=∠C=90°，
∴ AB=AD，BC=CD，
∴ ∠ABD=∠CBD=45°，
∴ ∠ABC=90°，
∴ ∠A=∠C=∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵ AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形．
【变式5-2】如图，在矩形ABCD中，FA，HB，FD,HC分别平分∠BAD、∠ABC、∠ADC、∠BCD，求证：四边形EFGH是正方形．
【答案】证明；∵在矩形ABCD中，FA，HB，FD,HC分别平分∠BAD、∠ABC、∠ADC、∠BCD，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=45°，
∴∠F=∠FEH=∠FGH=90°，AF=FD，
∴四边形EFGH是矩形，
在△ABE和△CDG中，∠2=∠4，AB=DC，∠3=∠5，
∴△ABE≌△CDG(ASA)，
∴AE=BE=DG=GC，
∴AF−AE=DF−DG，即EF=FG，
∴四边形EFGH是正方形．
【变式5-3】如图，点D，E，F分别为△ABC各边的中点，连接DE和DF．当满足（ ）条件时，四边形AEDF是正方形．
A．∠A=90°B．∠B=∠C=45°C．AB=ACD．AB=BC
【答案】B
【解析】∵点D，E，F分别为△ABC各边的中点，
∴DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
A.∵∠A=90°，∴▱AEDF是矩形；不合题意；
B.∵∠B=∠C=45°，∴AB=AC，∠A=90°，
∵AF=12AC，AE=12AB，∴AE=AF，
∴▱AEDF是正方形；符合题意；
C.∵AB=AC，∴AE=AF，∴▱AEDF是菱形；不合题意；
D.∵AB=BC，∴∠A=∠C，
∵点E，D分别为AB，BC的中点，
∴CD=12BC，AE=12AB，∴CD=AE，
∵F为AC的中点，
∴DF∥AB，
∴∠A=∠DFC，∴∠C=∠DFC，
∴DF=DC，∴DF=AE，
∴四边形AEDF是平行四边形．不合题意． 故选：B．
【变式5-4】如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB,BC上，AF⊥DE，且AF=DE，AF与DE相交于点G．求证：矩形ABCD为正方形.
【答案】见解析
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠B=90°，
∵DE⊥AF，
∴∠DAB=∠AGD=90°，
∴∠BAF+∠DAF=90°，∠ADE+∠DAF=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
在△ABF和△DAE中，
∠BAF=∠ADE∠ABF=∠DAEDE=AF ，
∴△ABF≌△DAEAAS，
∴AD=AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形.
题型六 利用正方形的性质与判定求解
【例6】如图，矩形纸片ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
【答案】B
【解析】∵ 沿AE对折点B落在边AD上的点B1处，
∴∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，
又∵∠BAD=90°，
∴ 四边形ABEB1是正方形，
∴BE=AB=4cm，
∴CE=BC−BE=6−4=2(cm)． 故选：B．
【变式6-1】如图，在Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D、E，AP平分∠BAC，与DE的延长线交于点P，连接PC，则PC的长度为______．
【答案】5
【解析】作PH⊥AC于H，

∵AP平分∠BAC，∠BAC=90°，
∴∠BAP=45°，
∵DE垂直平分AB，
∴AD=2，∠ADP=45°，
∴AD=PD=2，
∵AP平分∠BAC，PD⊥AB，PH⊥AC，
∴PD=PH=2，
∵∠ADP=∠BAC=∠AHP=90°，
∴四边形ADPH是矩形，
∵PD=PH，
∴四边形ADPH是正方形，
∴AH=PH=2，
∴CH=1，
在Rt△CPH中，由勾股定理得PC=12+22=5.
【变式6-2】一个矩形的对角线长为6，对角线与一边的夹角是45°，那么矩形的面积为______．
【答案】18
【解析】根据题意可知，一个矩形的对角线长为6，对角线与一边的夹角是45°，
可得矩形的两边与对角线构成的三角形是等腰直角三角形，
故这个矩形是正方形．
设矩形的边长为a，
则2a2=36，即a2=18，
则矩形的面积为18.
【变式6-3】如图，是我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理构造的图形，后人称之为“赵爽弦图”．该图形由四个全等的直角三角形拼接而成，若AF=5，AB=13，则四边形EFGH的面积为（ ）
A．25B．49C．64D．144
【答案】B
【解析】在Rt△ABF中，AB=13，AF=5，则：BF=AB2−AF2=132−52=12，
∵Rt△ABF，Rt△BCE，Rt△CDH，Rt△DAG全等，
∴AF=BE=CH=DG=5，BF=CE=DH=AG=12，
∴EF=BF−BE=CE−CH=EH=12−5=7，
同理可得：EF=FG=HG=7，
∴EF=FG=HG=EH=7，
又∵∠AFB=90°，
∴∠EFG=90°，
∴四边形EFGH是正方形，
则四边形EFGH面积为：7×7=49，故选：B．
【变式6-4】如图，E，F，G，H是正方形ABCD边上的点，且AG=BE=CH=DF，EF和GH将正方形剪切成四片进行重新拼接成四边形MQPN，若正方形ABCD和四边形MQPN的面积之比为9:10，则AG:GD=（ ）
A．2B．3C．2+1D．5
【答案】A
【解析】如图，连接EH,FG,GE,HF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA.，
∵AG=BE=CH=DF，
∴DG=AE=BH=CF，
∴△AEG≌△BHE≌△CFH≌△DGF，
∴EG=FG=EH=HF，
∴四边形EHFG是菱形，
∵△DGF≌△AEG，
∴∠DGF=∠AEG，
∵∠AEG+∠AGE=90°，
∴∠DGF+∠AGE=90°，
∴∠EGF=90°，
∴四边形EHFG是正方形，∴GH⊥EF，
由拼接可知四边形MQPN和四边形A'B'C'D'都是正方形，AG=A'G'，DG=D'G'，
∴A'D'=A'G'−G'D'=AG−GD．
∵正方形ABCD和四边形MQPN的面积之比为9:10，
∴正方形ABCD和四边形A'B'C'D'的面积之比为9:1，
∴AG+GD2:A'G'−G'D'2=9:1，
∴AG+GD:AG−GD=3:1，
∴AG=2GD，∴AG:GD=2．故选A．
题型七 利用正方形的性质与判定求证
【例7】已知：如图，在正方形ABCD中，E、H、G、F分别为AB、AD、CD、BC的中点，顺次连接E、H、G、F构成四边形EFGH．证明：四边形EFGH是正方形．
【答案】证明：连接AC、BD，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC=BD，AC⊥BD，
∵E、H分别为AB、AD的中点，
∴EH=12BD，EH∥BD，
同理，FG=12BD，FG∥BD，EF=12AC，EF∥AC，
∴EH=FG，EH∥FG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵AC=BD，
∴EH=EF，
∴四边形EFGH为菱形，
∵EH∥BD，EF∥AC，AC⊥BD，
∴∠HEF=90°，
∴四边形EFGH为正方形．
【变式7-1】如图,在正方形ABCD中,E､F､G､H分别是各边上的点,且AE=BF=CG=DH．
求证:（1）△AHE≌△BEF;
（2）四边形EFGH是正方形．
【答案】（1）证明:∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=BC=CD=DA,∠A=∠B=90°．
又∵AE=BF=DH=CG,
∴AH=BE=CF=DG．
∴△AHE≌△BEF(SAS)
（2）由（1）得,△AHE≌△BEF,
同理,△EBF≌△FCG,△FCG≌△GDH,
∴EF=FG=GH=HE,∠AEH=∠BFE,
∵∠B=90°,
∴∠EFB+∠FEB=90°,
∴∠AEH+∠FEB=90°,
∴∠HEF=90°,
∴四边形EFGH为正方形．
【变式7-2】如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点C作CE // BD，过点D作DE // AC，CE与DE交于点E．求证：DE=CE．
【答案】证明：∵CE//BD，DE//AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB=OC=OD，AC⊥BD，
∴四边形OCED是正方形，
∴DE=CE．
【变式7-3】如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．
（1）求证：BF=DE；
（2）当点E运动到AC中点时 (其他条件都保持不变)，问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．
【答案】（1）见解析（2）当点E运动到AC的中点时，四边形AFBE是正方形，理由见解析
【解析】（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AF⊥AC，
∴∠EAF=90°，
∴∠BAF=∠EAD，
在△ADE和△ABF中AD=AB∠DAE=∠BAFAE=AF，
∴△ADE≌△ABF（SAS），
∴BF=DE；
（2）当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形，
理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC，
∴BE⊥AC，BE=AE=12AC，
∵AF=AE，
∴BE=AF=AE，
又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，
∴BE∥AF，
∵BE=AF，
∴四边形AFBE是平行四边形，
∵∠FAE=90°，AF=AE，
∴四边形AFBE是正方形．
【变式7-4】如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=52，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）见解析（2）是定值，CE+CG=10
【解析】（1）证明：如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD=90°，
∵EM⊥BC，EN⊥CD，
∴∠EMF=∠ENC=∠END=90°，
∴∠MEN=90°，
∵四边形DEFG为矩形，
∴∠FED=90°，
∴∠MEN−∠FEN=∠FED−∠FEN，即∠MEF=∠NED，
∵E是正方形ABCD对角线的点，
∴EN=EM，
在△DEN和△FEM中，
∠EMF=∠ENDEM=EN∠MEF=∠NED，
∴△DEN≅△FEM(ASA)，
∴ED=EF，
∴矩形DEFG为正方形．
（2）CE+CG的值为定值，
∵矩形DEFG为正方形，
∴DE=DG，∠EDG=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°，
∴∠EDG−∠EDC=∠ADC−∠EDC，即∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
AD=DC∠ADE=∠CDGDE=DG，
∴△ADE≅△CDG(SAS)，
∴AE=CG，
∴CE+CG=CE+AE=AC=2AB=10，
∴CE+CG=10．
题型八 平行四边形的综合应用题
【例8】下列说法不正确的是（ ）
A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
B．菱形的对角线互相垂直
C．矩形的对角线相等
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】A
【解析】A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，选项说法错误；
B、菱形的对角线互相垂直平分，选项说法正确；
C、矩形的对角线相等，选项说法正确；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，选项说法正确； 故选：A．
【变式8-1】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，ΔBOC≅ΔCEB．
（1）求证：四边形OBEC是矩形；
（2）若∠ABC=120°，AB=6，求矩形OBEC的周长；
【答案】（1）见解析（2）63+6
【解析】（1）证明：∵△BOC≌△CEB，
∴OB=EC，OC=EB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∴四边形OBEC是矩形．
（2）∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，AB=6，
∴BC=AB=6，∠DBC=12∠ABC=60°，
∴∠OCB=180°−∠DBC−∠BOC=30°，
在Rt△BOC，OB=12BC=3，OC=BC2−OB2=33，
∴矩形OBEC的周长为：(33+3)×2=63+6．
【变式8-2】如图，矩形ABCD的对角线交于点O,DE//AC,CE//BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形，
（2）若∠DCE=45∘，AC=6，试说明四边形OCED的形状并求其面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）四边形OCED为正方形．面积为9．
【解析】证明：（1）∵DE//AC，CE//BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OD=12BD，OC=12AC，
∴OC=OD，
∴▱OCED是菱形；
（2）四边形OCED为正方形．
∵▱OCED是菱形，
∴∠OCE=∠DCE，
又∵∠DCE=45∘
∴∠OCE=90°，
∴菱形OCED为正方形，
在矩形ABCD中，AO=OC=12AC，AC=6，
∴OC=3，
∴正方形OCED面积=32=9．
【变式8-3】如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE ∥AC且DE=12AC，连接AE、CE．
（1）求证：四边形OCED为矩形；
（2）若菱形ABCD的边长为8，∠BCD=60°，则AE=_________．
【答案】（1）见解析；（2）413
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC=12AC，
∴∠DOC=90°，
∵DE∥AC，DE=12AC，
∴DE=OC，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵∠DOC=90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
（2）
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BC=CD=8，OB=OD，AO=OC=12AC，
∵∠BCD=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD=BC=8，
∴OD=OB=4，
∴OC=BC2−OB2=82−42=43，
∴AC=2OC=83，
由（1）得：四边形OCED为矩形，
∴CE=OD=4，∠OCE=90°，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE=CE2+AC2=42+(83)2=413，
故答案为：413．
【变式8-4】已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：BM=CM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当AD：AB=___时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）．
【答案】（1）证明见解析；（2）四边形MENF是菱形，证明见解析；（3） 2：1
【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=DC．
∵M是AD的中点，
∴AM=DM，
∴△ABM≌△DCM（SAS），
∴BM=CM；
（2）四边形MENF是菱形，理由如下：
∵E、N、F分别是线段BM、BC、CM的中点，
∴EN=12CM=FM,EN//FM，
∴四边形MENF是平行四边形，
同理可得：NF=12BM，
∵BM=CM，
∴EN=NF，
∴四边形MENF是菱形；
（3） 当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形；
理由如下：
∵AD：AB=2：1，M是AD的中点，
∴AB=AM，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴∠AMB=45°，
同理：∠DMC=45°，
∴∠EMF=180°-45°-45°=90°，
由（2）得：四边形MENF是菱形，
∴四边形MENF是正方形．
故答案为：2：1．