湖北省荆门市东宝区象山中学等三校2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷（含答案）

这是一份湖北省荆门市东宝区象山中学等三校2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷（含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省荆门市东宝区象山中学等三校八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（3分×12＝36分）
1．（3分）在以下四个图形中，对称轴条数最多的一个图形是（　　）
A．. B． C．. D．
2．（3分）下列运算中正确的是（　　）
A．（x4）2＝x6 B．（a﹣2）2＝a2﹣4
C．（﹣2）4（﹣0.5）5＝﹣0.5 D．2n﹣2n+1＝﹣2
3．（3分）如果x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式．那么m的值为（　　）
A．5或1 B．7或﹣1 C．5 D．7
4．（3分）若x+m与x+3的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　）
A．0 B．1 C．3 D．﹣3
5．（3分）如图，一块直径为a+b的圆形钢板，从中挖去直径分别为a与b的两个小圆．则剩下的钢板（阴影部分）的面积为（　　）

A． B． C．2πab D．πab
6．（3分）若分式的值为0，则b的值（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．±1
7．（3分）已知关于x的方程＝1的解是负数，则a的取值范围是（　　）
A．a＜1 B．a＜1且a≠0 C．a≤1 D．a≤1 或a≠0
8．（3分）和三角形三个顶点的距离相等的点是（　　）
A．三条角平分线的交点
B．三边中线的交点
C．三边上高所在直线的交点
D．三边的垂直平分线的交点
9．（3分）如图，△ABC中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（　　）

A．360° B．250° C．180° D．140°
10．（3分）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
11．（3分）如图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为（　　）

A．30 cm B．40cm C．50 cm D．60 cm
12．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数为（　　）

A．45° B．50° C．60° D．75°
二、填空题（3分×5＝15分）
13．（3分）等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1：2，则该三角形的顶角的度数是　 　．
14．（3分）已知x﹣3y＝0，则的值为　 　．
15．（3分）如图是4×4的正方形网格，再把其中一个白色小正方形涂上阴影，使整个阴影部分成为轴对称图形，这样的白色小正方形有　 　个．

16．（3分）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），连接PQ交AB于D．当∠BQD＝30°时，AP的长为 　 　．

17．（3分）如图，等腰△ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最小值为　 　cm．

三、解答题（共69分）
18．（8分）按要求解答下列各题：
（1）分解因式：（y﹣x）2+2x﹣2y；
（2）解方程：．
19．（9分）先化简，再求值：，其中a2﹣4＝0．
20．（10分）将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE，交DE于点F，DE＝4．
（1）求证：CF∥AB；
（2）求∠DFC的度数；
（3）求CE的长．

21．（10分）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠AEB＝50°，求∠EBC的度数．

22．（10分）如图，已知△ABC中，∠BAC、∠ABC的平分线交于O，AO交BC于D，BO交AC于E，
连OC，过O作OF⊥BC于F．
（1）试判断∠AOB与∠COF有何数量关系，并证明你的结论；
（2）若∠ACB＝60°，探究OE与OD的数量关系，并证明你的结论．

23．（10分）杭州国际动漫节开幕前，某动漫公司预测某种动漫玩具能够畅销，就用32000元购进了一批这种玩具，上市后很快脱销，动漫公司又用68000元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．
（1）该动漫公司两次共购进这种玩具多少套？
（2）如果这两批玩具每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？
24．（12分）已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC．
（1）如图1，若C点的横坐标为5，求B点的坐标；
（2）如图2，BC交x轴于M，AC交y轴于N若x轴恰好平分BC，求证：∠AMB＝∠NMC；
（3）如图3，若AB＝6，点C恰好在x轴上，E为AC延长线的任一点，F为y轴正半轴上一点，当AE＝BF时，连接EF交AB延长线于P，过F作FG⊥AB于G，求PG的长．



2022-2023学年湖北省荆门市东宝区象山中学等三校八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（3分×12＝36分）
1．（3分）在以下四个图形中，对称轴条数最多的一个图形是（　　）
A．. B． C．. D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，分别找出每个图形中的对称轴的条数，即可选出答案．
【解答】解：A有2条对称轴，B有4条，C有0条，D有1条．则对称轴条数最多的一个图形是B．
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形和轴对称的性质，关键是熟练掌握对称图形的概念，找出对称轴．
2．（3分）下列运算中正确的是（　　）
A．（x4）2＝x6 B．（a﹣2）2＝a2﹣4
C．（﹣2）4（﹣0.5）5＝﹣0.5 D．2n﹣2n+1＝﹣2
【分析】A、利用幂的乘方得到结果，即可作出判断；
B、利用完全平方公式计算即可作判断；
C、利用积的乘方及幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；
D、不能合并，本选项错误．
【解答】解：A、（x4）2＝x8，本选项错误；
B、（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，本选项错误；
C、原式＝[（﹣2）×（﹣0.5）]4×（﹣0.5）＝﹣0.5，本选项正确；
D、原式不能合并，本选项错误．
故选：C．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．（3分）如果x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式．那么m的值为（　　）
A．5或1 B．7或﹣1 C．5 D．7
【分析】完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍，故2（m﹣3）＝±8，所以m＝7或﹣1．
【解答】解：∵（x±4）2＝x2±8x+16，
∴在x2+2（m﹣3）x+16中，2（m﹣3）＝±8，
解得：m＝7或﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．掌握完全平方公式的结构是解题的关键．
4．（3分）若x+m与x+3的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　）
A．0 B．1 C．3 D．﹣3
【分析】先根据已知式子，可找出所有含x的项，合并系数，令含x项的系数等于0，即可求m的值．
【解答】解：（x+m）（x+3）＝x2+（m+3）x+3m，
∵乘积中不含x的一次项，
∴m+3＝0，
∴m＝﹣3．
故选：D．
【点评】本题主要考查多项式乘以多项式的法则，注意不含某一项就是说含此项的系数等于0．
5．（3分）如图，一块直径为a+b的圆形钢板，从中挖去直径分别为a与b的两个小圆．则剩下的钢板（阴影部分）的面积为（　　）

A． B． C．2πab D．πab
【分析】由大圆面积减去两个小圆面积求出阴影部分面积即可．
【解答】解：根据题意得：S阴影＝（）2π﹣（）2π﹣（）2π＝．
故选：A．
【点评】此题考查了整式的混合运算，弄清题意是解本题的关键．
6．（3分）若分式的值为0，则b的值（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．±1
【分析】根据题意，可得：，据此求出b的值即可．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴，
由①，可得：b＝﹣1或b＝1，
由②，可得：b≠1，
∴b＝﹣1．
故选：C．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
7．（3分）已知关于x的方程＝1的解是负数，则a的取值范围是（　　）
A．a＜1 B．a＜1且a≠0 C．a≤1 D．a≤1 或a≠0
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求a的取值范围．
【解答】解：去分母得，a＝x+1，
∴x＝a﹣1，
∵方程的解是负数，
∴a﹣1＜0，
即a＜1，
又a≠0，
∴a的取值范围是a＜1且a≠0．
故选：B．
【点评】本题考查分式方程的解，解题关键是要掌握分式方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解．
8．（3分）和三角形三个顶点的距离相等的点是（　　）
A．三条角平分线的交点
B．三边中线的交点
C．三边上高所在直线的交点
D．三边的垂直平分线的交点
【分析】三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
【解答】解：根据线段垂直平分线的性质可得：三角形三个顶点的距离相等的点是三边的垂直平分线的交点．
故选：D．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．此点称为外心，也是这个三角形外接圆的圆心．），难度一般．
9．（3分）如图，△ABC中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（　　）

A．360° B．250° C．180° D．140°
【分析】先利用三角形内角与外角的关系，得出∠1+∠2＝∠C+（∠C+∠3+∠4），再根据三角形内角和定理即可得出结果．
【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，
∴∠1＝∠4+∠C，∠2＝∠3+∠C，
即∠1+∠2＝∠C+（∠C+∠3+∠4）＝70°+180°＝250°．
故选：B．

【点评】此题主要考查了三角形内角和定理及外角的性质，三角形内角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．
10．（3分）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．
【解答】解：如上图：分情况讨论．
①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个（包括两个等腰直角三角形）；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
11．（3分）如图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为（　　）

A．30 cm B．40cm C．50 cm D．60 cm
【分析】因为每个三角形都是等边的，从其中一个三角形入手，比如右下角的以AB为边的三角形，设它的边长为x，则等边三角形的边长依次为x，x，x+2，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2．所以六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）＝7 x+18，而最大的三角形的边长AF等于AB的2倍，所以可以求出x，则可求得周长．
【解答】解：设AB＝x，
∴等边三角形的边长依次为x，x，x+2，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2，
∴六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）＝7 x+18，
∵AF＝2AB，即x+6＝2x，
∴x＝6cm，
∴周长为7x+18＝60cm．
故选：D．
【点评】此题考查等边三角形的问题，结合等边三角形的性质，解一元一次方程，关键是要找出其中的等量关系．
12．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数为（　　）

A．45° B．50° C．60° D．75°
【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出∠OBC＝40°，以及∠OBC＝∠OCB＝40°，再利用翻折变换的性质得出EO＝EC，∠CEF＝∠FEO，进而求出即可．
【解答】解：连接BO，
∵∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，
∴∠OAB＝∠ABO＝25°，
∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∴∠OBC＝65°﹣25°＝40°，
在△ABO和△ACO中，
，
∴△ABO≌△ACO（SAS），
∴BO＝CO，
∴∠OBC＝∠OCB＝40°，
∵点C沿EF折叠后与点O重合，
∴EO＝EC，∠CEF＝∠FEO，
∴∠CEF＝∠FEO＝＝50°，
故选：B．

【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及垂直平分线的性质和三角形内角和定理等知识，利用翻折变换的性质得出对应相等关系是解题关键．
二、填空题（3分×5＝15分）
13．（3分）等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1：2，则该三角形的顶角的度数是　30°或150°　．
【分析】分两种情况画出图形；①高在三角形的内部，②高在三角形的外部，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
【解答】解：①如图1，当高BD在三角形的内部时，
∵高BD是腰长AB的一半，
∴∠A＝30°，
②如图2，当高CD在三角形的外部时，
∵高CD是腰长AC的一半，
∴∠1＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣30°＝150°，
∴该三角形的顶角的度数是30°或150°．
故答案为：30°或150°．

【点评】本题考查了30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，用到的知识点是等腰三角形两腰相等的性质，注意分腰在三角形内部与外部两种情况讨论求解．
14．（3分）已知x﹣3y＝0，则的值为　　．
【分析】先把分式的分母因式分解，然后进行约分，得到原式＝，由x﹣3y＝0，得到x＝3y，然后代入计算即可得到原式的值．
【解答】解：原式＝•（x﹣y）
＝，
∴x﹣3y＝0，
∴x＝3y，
∴原式＝＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先去括号，再把分式的分子和分母因式分解，然后进行约分，把原分式化成最简分式，最后把满足条件的字母的值代入计算．
15．（3分）如图是4×4的正方形网格，再把其中一个白色小正方形涂上阴影，使整个阴影部分成为轴对称图形，这样的白色小正方形有　4　个．

【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：如图所示：
，
可得这样的白色的小正方形有4个．
故答案为：4．
【点评】此题利用格点图，考查学生轴对称性的认识，此题关键是找对称轴，按对称轴的不同位置，可以有4种画法．
16．（3分）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），连接PQ交AB于D．当∠BQD＝30°时，AP的长为 　2　．

【分析】证明CQ＝2CP，由此构建方程求解，可得答案．
【解答】解：∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠BQD＝30°，
∴∠QPC＝90°，
设AP＝x，则PC＝6﹣x，QB＝x，
∴QC＝QB+BC＝6+x，
∵在Rt△QCP中，∠BQD＝30°，
∴PC＝QC，即6﹣x＝（6+x），解得x＝2，
∴AP＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会考虑构建方程解决问题．
17．（3分）如图，等腰△ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最小值为　8　cm．

【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝12，解得AD＝6cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短＝（BM+MD）+BD＝AD+BC＝6+×4＝6+2＝8cm．
故答案为：8．

【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
三、解答题（共69分）
18．（8分）按要求解答下列各题：
（1）分解因式：（y﹣x）2+2x﹣2y；
（2）解方程：．
【分析】（1）利用提公因式法因式分解即可；
（2）根据解分式方程的步骤去分母两边都乘以（x﹣1）（x+2），化为整式方程，解方程即可得到答案．
【解答】解：（1）（y﹣x）2+2x﹣2y
＝（x﹣y）2+2（x﹣y）
＝（x﹣y）（x﹣y+2）；
（2）方程两边乘（x﹣1）（x+2），得：
x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝3，
解得x＝1，
检验：当x＝1时，（x﹣1）（x+2）＝0，
所以原分式方程无解．
【点评】本题考查了提公因式法因式分解以及解分式方程，正确找出公因式并掌握解分式方程的步骤是解题的关键，
19．（9分）先化简，再求值：，其中a2﹣4＝0．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣）•
＝•
＝a﹣1，
∵a2﹣4＝0，
∴a＝±2，
∵a+2≠0，
∴a≠﹣2，
当a＝2时，原式＝2﹣1＝1．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则、分式有意义的条件是解题的关键．
20．（10分）将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE，交DE于点F，DE＝4．
（1）求证：CF∥AB；
（2）求∠DFC的度数；
（3）求CE的长．

【分析】（1）根据角平分线的定义求得∠FCE的度数，根据平行线的判定定理即可证得；
（2）在△CEF中，利用三角形的外角的性质定理，即可求解；
（3）利用直角三角形中，30度的锐角所对的边等于斜边的一半即可求解．
【解答】（1）证明：由题意知，△ACB是等腰直角三角形，且∠ACB＝∠DCB＝90°，
∴∠B＝45°．
∵CF平分∠DCE，
∴∠DCF＝∠ECF＝45°，
∴∠B＝∠ECF，
∴CF∥AB．

（2）解：由三角板知，∠E＝60°，
由（1）知，∠ECF＝45°，
∵∠DFC＝∠ECF+∠E，
∴∠DFC＝45°+60°＝105°．

（3）解：在直角△DEC中，∠D＝30°，
∴EC＝DE＝2．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，以及平行线的判定定理的综合运用，正确理解直角三角形的性质定理是关键．
21．（10分）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠AEB＝50°，求∠EBC的度数．

【分析】（1）根据AAS即可推出△ABE和△DCE全等；
（2）根据三角形全等得出EB＝EC，推出∠EBC＝∠ECB，根据三角形的外角性质得出∠AEB＝2∠EBC，代入求出即可．
【解答】（1）证明：在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（AAS）；

（2）解：∵△ABE≌△DCE，
∴BE＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠EBC+∠ECB＝∠AEB＝50°，
∴∠EBC＝25°．
【点评】本题考查了三角形外角性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．
22．（10分）如图，已知△ABC中，∠BAC、∠ABC的平分线交于O，AO交BC于D，BO交AC于E，
连OC，过O作OF⊥BC于F．
（1）试判断∠AOB与∠COF有何数量关系，并证明你的结论；
（2）若∠ACB＝60°，探究OE与OD的数量关系，并证明你的结论．

【分析】（1）过O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，根据角平分线性质求出OM＝ON＝OF，求出CO平分∠ACB，求出∠AOB＝90°+∠ACB，∠COF＝90°﹣∠OCF，即可求出答案．
（2）求出∠MOE＝∠DOF，∠OME＝∠OFD，根据AAS证出△MOE≌△FOD即可．
【解答】（1）∠AOB+∠COF＝180°，
证明：过O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，
∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，OF⊥BC，
∴OM＝ON，ON＝OF，
∴OM＝OF，
∴O在∠ACB的角平分线上，
∴∠OCF＝∠ACB，
∵OF⊥BC，
∴∠CFO＝90°，
∴∠COF+∠OCF＝90°，
∴∠COF＝90°﹣∠OCF，①
∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，
∴∠OAB＝∠CAB，∠OBA＝∠CBA，
∴∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）
＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）
＝180°﹣（180°﹣∠ACB）
＝90°+∠ACB
＝90°+∠OCF，②
由①②得：∠AOB+∠COF＝90°+∠OCF+90°﹣∠OCF＝180°；

（2）OE＝OD，
证明：∵∠ACB＝60°，
∴由（1）知：∠AOB＝90°+∠ACB＝90°+30°＝120°，
∴∠EOD＝∠AOB＝120°，
∵OM⊥AC．OF⊥BC，
∴∠OME＝∠OFD＝90°，∠CMO＝∠CFO＝90°，
∴∠MOF＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
∴∠MOE＝∠DOF＝120°﹣∠MOD，
在△EOM和△DOF中

∴△EOM≌△DOF（AAS），
∴OE＝OD．

【点评】本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力．
23．（10分）杭州国际动漫节开幕前，某动漫公司预测某种动漫玩具能够畅销，就用32000元购进了一批这种玩具，上市后很快脱销，动漫公司又用68000元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．
（1）该动漫公司两次共购进这种玩具多少套？
（2）如果这两批玩具每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？
【分析】（1）设动漫公司第一次购x套玩具，那么第二次购进2x套玩具，根据第二次比第一次每套进价多了10元，可列方程求解．
（2）根据利润＝售价﹣进价，根据且全部售完后总利润率不低于20%，这个不等量关系可列方程求解．
【解答】解：（1）设动漫公司第一次购x套玩具，由题意得：
＝10，
解这个方程，x＝200
经检验x＝200是原方程的根．
∴2x+x＝2×200+200＝600
答：动漫公司两次共购进这种玩具600套．

（2）设每套玩具的售价y元，由题意得：
≥20%，
解这个不等式，y≥200
答：每套玩具的售价至少是200元．
【点评】本题考查理解题意能力，根据两次购进的价格不同的等量关系列出方程求解，根据全部售完后总利润率不低于20%，列出不等式求解．
24．（12分）已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC．
（1）如图1，若C点的横坐标为5，求B点的坐标；
（2）如图2，BC交x轴于M，AC交y轴于N若x轴恰好平分BC，求证：∠AMB＝∠NMC；
（3）如图3，若AB＝6，点C恰好在x轴上，E为AC延长线的任一点，F为y轴正半轴上一点，当AE＝BF时，连接EF交AB延长线于P，过F作FG⊥AB于G，求PG的长．


【分析】（1）过点C作CD⊥y轴于点D，证明△AOB≌△BDC（AAS），可得OB＝CD，进而可以解决问题；
（2）过点C作CG⊥BC交y轴于点G，首先证明△BCG≌△ABM可得∠BGC＝∠AMB，GC＝MB，再证明△GCN≌△MCN（SAS），可得∠NGC＝∠NMC，进而可以解决问题；
（3）过点E作EH⊥AG于点H，可得△ABC，△AEH，△FBG都是等腰直角三角形，由AE＝BF，可得△AEH≌△BFG（AAS），得AH＝BG，FG＝EH，再证明△PEH≌△PFG（AAS），得PH＝PG，进而可以解决问题．
【解答】（1）解：如图1，过点C作CD⊥y轴于点D，
∴∠BDC＝90°，

∵∠AOB＝∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝∠ABO+∠CBD＝90°，
∴∠BAO＝∠CBD，
∵∠AOB＝∠BDC＝90°，AB＝BC，
∴△AOB≌△BDC（AAS），
∴OB＝CD，
∵C点的横坐标为5，
∴CD＝OB＝5，
∴B点的坐标为（0，5）；
（2）证明：如图2，过点C作CG⊥BC交y轴于点G，

∴∠BCG＝∠MBA＝90°，
∴∠GBC+∠ABO＝∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠BGC＝∠BAO，
∵BC＝AB，
∴△BCG≌△ABM（ASA），
∴∠BGC＝∠AMB，GC＝MB，
∵x轴恰好平分BC，
∴MB＝MC，
∴GC＝MC，
∵∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠BCA＝∠BAC＝45°，
∴∠GCN＝90°﹣45°＝45°，
∴∠GCN＝∠MCN＝45°，
∵CN＝CN，
∴△GCN≌△MCN（SAS），
∴∠NGC＝∠NMC，
∴∠AMB＝∠NMC；
（3）解：如图3，过点E作EH⊥AG于点H，

∵∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠BCA＝∠BAC＝45°，
∵FG⊥AB，EH⊥AG，
∴BC∥EH∥FG，
∴∠AEH＝45°，
∴∠ABO＝∠ABO＝45°，
∴△ABC，△AEH，△FBG都是等腰直角三角形，
∴AH＝EH，BG＝FG，∠AHE＝∠G＝90°，
在△AEH和△BFG中，
，
∴△AEH≌△BFG（AAS），
∴AH＝BG，FG＝EH，
∴AH﹣BH＝BG﹣BH，
∴AB＝GH＝6，
在△PEH和△PFG中，
，
∴△PEH≌△PFG（AAS），
∴PH＝PG，
∴PG＝GH＝3．



【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，坐标与图形性质，解决本题的关键是得到△BCG≌△ABM．