中考数学复习压轴题题组练三含答案

  压轴题题组练三

(时间：30分钟　满分：18分)

1．★(3分)如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP.则下列结论：①AE⊥BF；②∠OPA＝45°；③AP－BP＝OP；④若BE∶CE＝2∶3，则tan ∠CAE＝；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的.其中正确的结论是                              （  B  ）

A．①②④⑤   B．①②③⑤   C．①②③④   D．①③④⑤

第1题图                  第2题图

2．★(3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB的中点，E，F分别是直线AC，BC上的动点，∠EDF＝90°，则线段EF的最小值为6.5.

3．(12分)如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C，顶点为点D.在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F.

(1)求抛物线和直线BC的函数解析式；

(2)当△PEF的周长最大时，求点P的坐标和△PEF的周长；

(3)若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C，B，G，M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)∵抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A(－1，0)，B(3，0)，

∴解得

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.

令x＝0，可得y＝3，∴C(0，3)，

设直线BC的解析式为y＝kx＋b，则

∴

∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.

(2)连接PC，OP，PB.设P(m，－m2＋2m＋3)，

∵B(3，0)，C(0，3)，∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝45°，

∵PF∥AB，∴∠PFE＝∠OBC＝45°，

∵PE⊥BC，∴△PEF是等腰直角三角形，

∴PE的值最大时，△PEF的周长最大，

∵S△PBC＝S△POB＋S△POC－S△OBC

＝×3×(－m2＋2m＋3)＋×3×m－×3×3

＝－m2＋m

＝－＋，

∵－＜0，∴m＝时，△PBC的面积最大，最大值为，此时PE的值最大，

∵×3×PE＝，∴PE＝，

∴△PEF的周长的最大值为＋＋＝＋，

此时点P的坐标为.

(3)存在．

理由：如答图中，设M(1，t)，G(m，－m2＋2m＋3)．

当BC为平行四边形的边时，则有|1－m|＝3，

解得m＝－2或m＝4，∴G(－2，－5)或(4，－5)；

当BC为平行四边形的对角线时(1＋m)＝(0＋3)，

∴m＝2，∴G(2，3)，

综上所述，满足条件的点G的坐标为(－2，－5)，(4，－5)或(2，3)．