中考数学复习压轴题题组练六含答案

  压轴题题组练六

(时间：30分钟　满分：18分)

1.★(3分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，∠CAD＝2∠BAE，连接DE，下列结论中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE＋2BE.其中正确的有                                  （  D  ）

A．①②③   B．③④   C．①④  D．①③④

第1题图　　　                  第2题图　　　

2．★(3分)如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝(k＞0，x＞0)的图象经过菱形OACD的顶点D和边AC的中点E，若菱形OACD的边长为3，则k的值为2.

3．(12分)在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋(m－1)x＋2m与x轴交于A，B(4，0)两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第一象限内的一个动点．

(1)求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；

(2)如图①，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM＋OM最小，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图②，过点P作PF⊥BC，垂足为点F，过点C作CD⊥BC，交x轴于点D，连接DP交BC于点E，连接CP.设△PEF的面积为S1，△PEC的面积为S2，是否存在点P，使得最大，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)将B(4，0)代入y＝－x2＋(m－1)x＋2m，得

－8＋4(m－1)＋2m＝0，解得m＝2，∴y＝－x2＋x＋4，

令x＝0，则y＝4，∴C(0，4)，令y＝0，则－x2＋x＋4＝0，

解得x＝4或x＝－2，∴A(－2，0)．

(2)存在点M使AM＋OM最小，

作点O关于BC的对称点O′，连接AO′交BC于点M，连接BO′，OO′，

由对称性可知OM＝O′M，∴AM＋OM＝AM＋O′M≥AO′，

当A，M，O′三点共线时，AM＋OM有最小值，

∵B(4，0)，C(0，4)，∴OB＝OC，∴∠CBO＝45°，

由对称性可知∠O′BM＝45°，∴BO′⊥BO，∴O′(4，4)，

设直线AO′的解析式为y＝kx＋b，

∴解得∴y＝x＋，

设直线BC的解析式为y＝k′x＋4，∴4k′＋4＝0，∴k′＝－1，

∴y＝－x＋4，

联立方程组解得

∴点M的坐标为.

(3)存在点P，使得最大，此时点P的坐标为P(2，4)．连接PB，过P点作PG∥y轴交CB于点G，

设P，则G(t，－t＋4)，∴PG＝－t2＋2t，

∵OB＝OC＝4，∴BC＝4，

∴S△BCP＝×4×＝－t2＋4t＝×4×PF，

∴PF＝－t2＋t，

∵CD⊥BC，PF⊥BC，∴PF∥CD，∴＝，

∵＝，∴＝，∵B，D两点关于y轴对称，∴CD＝4，

∴＝－(t2－4t)＝－(t－2)2＋，

∵点P在第一象限内，∴0＜t＜4，

∴当t＝2时，有最大值，此时点P的坐标为(2，4).