高中数学高考第3讲　第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

这是一份高中数学高考第3讲　第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式，共14页。试卷主要包含了知识梳理，教材衍化等内容，欢迎下载使用。
第3讲　简单的三角恒等变换


一、知识梳理
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin_αcos__β±cos_αsin__β；
cos(α∓β)＝cos_αcos__β±sin_αsin__β；
tan(α±β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin_αcos__α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝.
3．三角函数公式的关系

常用结论
四个必备结论
(1)降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1±tan αtan β)，
1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝sin.
(4)辅助角公式
asin x＋bcos x＝sin (x＋φ)，其中tan φ＝.
二、教材衍化
1．若cos α＝－.α是第三象限的角，则sin＝________．　
解析：因为α是第三象限角，所以sin α＝－＝－，所以sin＝－×＋×＝－.
答案：－
2．sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝________．
解析：sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°
＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°
＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°
＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°
＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝.
答案：
3．化简：＝________．
解析：原式＝
＝＝＝.
答案：

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角．(　　)
(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．(　　)
(3)cos 80°cos 20°－sin 80°sin 20°＝cos(80°－20°)＝cos 60°＝.(　　)
(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　)
(5)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
二、易错纠偏
(1)不会用公式找不到思路；
(2)不会合理配角出错．
1．sin 15°＋sin 75°的值是________．
解析：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝sin(15°＋45°)＝sin 60°＝.
答案：
2．若tan α＝3，tan(α－β)＝2，则tan β＝________．
解析：tan β＝tan[α－(α－β)]＝
＝＝.
答案：
第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

考点一　和差公式的直接应用(基础型)
复习指导1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2．能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
核心素养：逻辑推理、数学运算
1．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)
A．－ B．
C． D．－
解析：选A．因为sin α＝，α∈，
所以cos α＝－＝－，
所以tan α＝＝－.
因为tan(π－β)＝＝－tan β，
所以tan β＝－，
则tan(α－β)＝＝－.
2．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B．由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin2α.因为α∈，所以cos α＝，
所以2sin α＝1－sin2 α，
解得sin α＝，故选B．
3．已知α∈，sin α＝.
(1)求sin的值；
(2)求cos的值．
解：(1)因为α∈，sin α＝，
所以cos α＝－＝－，
故sin＝sin cos α＋cos sin α
＝×＋×＝－.
(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，所以cos＝cos cos 2α＋sin sin 2α＝×＋×＝－.

利用三角函数公式时应注意的问题
(1)首先要注意公式的结构特点和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
(2)应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
考点二　三角函数公式的逆用与变形应用(基础型)
能运用三角函数公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．
核心素养：数学运算
(1)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为(　　)
A．－ B．
C． D．－
(2)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________．
【解析】　(1)由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，
即tan(A＋B)＝－1，又(A＋B)∈(0，π)，
所以A＋B＝，则C＝，cos C＝.
(2)因为sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，
所以sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1　①，
cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0　②，
①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，
所以sin(α＋β)＝－.
【答案】　(1)B　(2)－

(1)三角函数公式活用技巧
①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；
②tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．
(2)三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题
①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；
②注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式．

1．(1－tan215°)cos215°的值等于(　　)
A． B．1
C． D．
解析：选C．(1－tan215°)cos215°＝cos215°－sin215°＝cos 30°＝.
2．已知sin 2α＝，则cos2＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：选D．cos2＝＝＋sin 2α＝＋×＝.
3．(一题多解)cos 15°－4sin215°cos 15°＝(　　)
A． B．
C．1 D．
解析：选D．法一：cos 15°－4sin215°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos 45°＝.故选D．
法二：因为cos 15°＝，sin 15°＝，所以cos 15°－4sin215°·cos 15°＝×－4××＝×(－2＋)＝×(2－2)＝.故选D．
考点三　三角公式的灵活应用(综合型)
三角公式的灵活应用实质是三角恒等变换，恒等变换前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．
角度一　三角函数公式中变“角”
(2020·黑龙江大庆实验中学考前训练)已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________．
【解析】　由题意知，α＋β∈，sin(α＋β)＝－