高中数学高考第3讲　平面向量的数量积及其应用

这是一份高中数学高考第3讲　平面向量的数量积及其应用，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.(2016·兰州诊断考试)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|＝( )
A.0 B.1 C.2 D.eq \r(5)
解析 |a－b|＝eq \r(（a－b）2)＝eq \r(a2－2a·b＋b2)＝eq \r(1＋4)＝eq \r(5).
答案 D
2.(2015·陕西卷)对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是( )
A.|a·b|≤|a||b| B.|a－b|≤||a|－|b||
C.(a＋b)2＝|a＋b|2 D.(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
解析 对于A，由|a·b|＝||a||b|csa，b|≤|a||b|恒成立；对于B，当a，b均为非零向量且方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立.故选B.
答案 B
3.已知a＝(1，－2)，b＝(x，2)，且a∥b，则|b|＝( )
A.2eq \r(5) B.eq \r(5) C.10 D.5
解析 ∵a∥b，∴eq \f(1,x)＝eq \f(－2,2)，解得x＝－1，∴b＝(－1，2)，∴|b|＝eq \r(（－1）2＋22)＝eq \r(5).故选B.
答案 B
4.(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(2，1)，则eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))等于( )
A.5 B.4 C.3 D.2
解析 ∵四边形ABCD为平行四边形，∴eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1).∴eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2×3＋(－1)×1＝5，选A.
答案 A
5.(2015·重庆卷)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,2) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
解析 因为a⊥(2a＋b)，所以a·(2a＋b)＝0，得到a·b＝－2|a|2，设a与b的夹角为θ，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－2|a|2,4|a|2)＝－eq \f(1,2)，又0≤θ≤π，所以θ＝eq \f(2π,3)，故选C.
答案 C
二、填空题
6.(2016·全国Ⅰ卷)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1，2)，且a⊥b，则x＝________.
解析 由题意，得a·b＝0⇒x＋2(x＋1)＝0⇒x＝－eq \f(2,3).
答案 －eq \f(2,3)
7.(2016·北京卷)设a，b是向量.则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的________条件.
解析 |a＋b|＝|a－b|⇔(a＋b)2＝(a－b)2⇔a·b＝0，
∴|a＋b|＝|a－b|⇒/ |a|＝|b|；|a|＝|b|⇒/ a·b＝0，得不到|a＋b|＝|a－b|，
因此“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分又不必要条件.
答案 既不充分也不必要
8.已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(3，－4)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(6，－3)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(5－m，－3－m)，若∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是________.
解析 由已知得eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(3，1)，
eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(2－m，1－m).
若eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(AC,\s\up6(→))，
则有3(1－m)＝2－m，解得m＝eq \f(1,2).
由题设知，eq \(BA,\s\up6(→))＝(－3，－1)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－1－m，－m).
∵∠ABC为锐角，
∴eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝3＋3m＋m>0，可得m>－eq \f(3,4).
由题意知，当m＝eq \f(1,2)时，eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(AC,\s\up6(→))，且eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))同向.
故当∠ABC为锐角时，实数m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
三、解答题
9.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，求△ABC的面积.
解 (1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，
∴a·b＝－6.∴cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－6,4×3)＝－eq \f(1,2).
又0≤θ≤π，∴θ＝eq \f(2π,3).
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝eq \r(13).
(3)∵eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))的夹角θ＝eq \f(2π,3)，∴∠ABC＝π－eq \f(2π,3)＝eq \f(π,3).
又|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|a|＝4，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝|b|＝3，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(BC,\s\up6(→))|sin∠ABC＝eq \f(1,2)×4×3×eq \f(\r(3),2)＝3eq \r(3).
10.(2017·德州一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cs(A－B)，sin(A－B))，n＝(cs B，－sin B)，且m·n＝－eq \f(3,5).
(1)求sin A的值；
(2)若a＝4eq \r(2)，b＝5，求角B的大小及向量eq \(BA,\s\up6(→))在eq \(BC,\s\up6(→))方向上的投影.
解 (1)由m·n＝－eq \f(3,5)，
得cs(A－B)cs B－sin(A－B)sin B＝－eq \f(3,5)，
所以cs A＝－eq \f(3,5).因为0所以sin A＝eq \r(1－cs2A)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))\s\up12(2))＝eq \f(4,5).
(2)由正弦定理，得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
则sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(5×\f(4,5),4\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，
因为a>b，所以A>B，且B是△ABC一内角，则B＝eq \f(π,4).
由余弦定理得(4eq \r(2))2＝52＋c2－2×5c×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))，
解得c＝1，c＝－7舍去，
故向量eq \(BA,\s\up6(→))在eq \(BC,\s\up6(→))方向上的投影为|eq \(BA,\s\up6(→))|cs B＝ccs B＝1×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),2).
11.(必修4P120 1(6)改编)若平面向量a，b，c两两所成的角相等，且|a|＝1，|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋c|等于( )
A.2 B.5 C.2或5 D.eq \r(2)或eq \r(5)
解析 由于平面向量a，b，c两两所成的角相等，故每两个向量成的角都等于eq \f(2π,3)或0°，|a＋b＋c|＝eq \r(（a＋b＋c）2)
＝eq \r(a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c ＋2a·c)
当夹角为0时，上式值为5；当夹角为eq \f(2π,3)时，上式值为2.故选C.
答案 C
12.(2015·山东卷)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))等于( )
A.－eq \f(3,2)a2 B.－eq \f(3,4)a2 C.eq \f(3,4)a2 D.eq \f(3,2)a2
解析 在菱形ABCD中，eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))，所以eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))·eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝a2＋a×a×cs 60°＝a2＋eq \f(1,2)a2＝eq \f(3,2)a2.
答案 D
13.(2017·洛阳统考)已知A(－1，cs θ)，B(sin θ，1)，若|eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))|(O为坐标原点)，则锐角θ＝________.
解析 法一 利用几何意义求解：由已知可知，eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))是以OA，OB为邻边作平行四边形OADB的对角线向量eq \(OD,\s\up6(→))，eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))则是对角线向量eq \(BA,\s\up6(→))，于是对角线相等的平行四边形为矩形.故OA⊥OB.因此eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，∴锐角θ＝eq \f(π,4).
法二 坐标法：eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝(sin θ－1，cs θ＋1)，eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝(－sin θ－1，cs θ－1)，由|eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))|可得(sin θ－1)2＋(cs θ＋1)2＝(－sin θ－1)2＋(cs θ－1)2，整理得sin θ＝cs θ，于是锐角θ＝eq \f(π,4).
答案 eq \f(π,4)
14.在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AC,\s\up6(→))(m，n∈R).
(1)若m＝n＝eq \f(2,3)，求|eq \(OP,\s\up6(→))|；
(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值.
解 (1)∵m＝n＝eq \f(2,3)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(2，1)，
∴eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)(1，2)＋eq \f(2,3)(2，1)＝(2，2)，
∴|eq \(OP,\s\up6(→))|＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2).
(2)∵eq \(OP,\s\up6(→))＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，2m＋n)，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝m＋2n，,y＝2m＋n，))
两式相减，得m－n＝y－x.
令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，
故m－n的最大值为1.