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高中数学高考第3讲 平面向量的数量积及应用举例
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这是一份高中数学高考第3讲 平面向量的数量积及应用举例，共16页。试卷主要包含了知识梳理，教材衍化等内容，欢迎下载使用。
一、知识梳理
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．
(2)范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°．
[注意] 当a与b同向时，θ＝0°；a与b反向时，θ＝180°；a与b垂直时，θ＝90°.
2．平面向量的数量积
[注意] 投影和两向量的数量积都是数量，不是向量．
3．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量数量积的坐标运算及有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，a·b＝x1x2＋y1y2.
常用结论
(1)两向量a与b为锐角⇔a·b＞0且a与b不共线．
(2)两向量a与b为钝角⇔a·b＜0且a与b不共线．
(3)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
(4)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(5)a与b同向时，a·b＝|a||b|.
(6)a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
二、教材衍化
已知a·b＝－12eq \r(2)，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|为( )
A．12 B．6
C．3eq \r(3) D．3
解析：选B．a·b＝|a|·|b|cs 135°＝－12eq \r(2)，所以|b|＝eq \f(－12\r(2),4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2))))＝6.
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( )
(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.( )
(4)(a·b)c＝a(b·c)．( )
(5)两个向量的夹角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).( )
(6)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)×
二、易错纠偏
常见误区eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))(1)没有找准向量的夹角致误；
(2)不理解向量的数量积的几何意义致误；
(3)向量的数量积的有关性质应用不熟练致误．
1．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝eq \r(10)，则eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))的值为________．
解析：在△ABC中，由余弦定理得cs A＝eq \f(AC2＋AB2－BC2,2×AC×AB)＝eq \f(22＋32－（\r(10)）2,2×2×3)＝eq \f(1,4).
所以eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(BA,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|cs(π－A)＝－|eq \(BA,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|·cs A＝－3×2×eq \f(1,4)＝－eq \f(3,2).
答案：－eq \f(3,2)
2．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．
解析：由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cs θ＝4×cs 120°＝－2.
答案：－2
3．已知向量a与b的夹角为eq \f(π,3)，|a|＝|b|＝1，且a⊥(a－λb)，则实数λ＝________．
解析：由题意，得a·b＝|a||b|cs eq \f(π,3)＝eq \f(1,2)，因为a⊥(a－λb)，所以a·(a－λb)＝|a|2－λa·b＝1－eq \f(λ,2)＝0，所以λ＝2.
答案：2
考点一 平面向量数量积的运算(基础型)
复习指导eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系．
3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
核心素养：数学运算、数学抽象
(一题多解)(2019·高考天津卷)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2eq \r(3)，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝________．
【解析】 法一：在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2，则eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))－eq \(AB2,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))＝5×2eq \r(3)×cs 30°＋5×2×cs 180°－12－2eq \r(3)×2×cs 150°＝15－10－12＋6＝－1.
法二：在△ABD中，由余弦定理可得
BD＝eq \r(25＋12－2×5×2\r(3)×cs 30°)＝eq \r(7)，
所以cs∠ABD＝eq \f(12＋7－25,2×2\r(3)×\r(7))＝－eq \f(\r(21),14)，则sin∠ABD＝eq \f(5\r(7),14).设eq \(BD,\s\up6(→))与eq \(AE,\s\up6(→))的夹角为θ，则cs θ＝cs(180°－∠ABD＋30°)＝－cs(∠ABD－30°)＝－cs∠ABD·cs 30°－sin∠ABD·sin 30°＝－eq \f(\r(7),14)，在△ABE中，易得AE＝BE＝2，故eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \r(7)×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(7),14)))＝－1.
【答案】 －1
eq \a\vs4\al()
求向量a，b的数量积a·b的两种方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
当已知向量是非坐标形式时，若图形适合建立平面直角坐标系时，可建立坐标系，运用坐标法求解．
1．(2020·河南新乡二模)已知a＝(1，2)，b＝(m，m＋3)，c＝(m－2，－1)，若a∥b，则b·c＝( )
A．－7 B．－3
C．3 D．7
解析：选B．因为a＝(1，2)，b＝(m，m＋3)，a∥b，所以1×(m＋3)－2m＝0，所以m＝3，所以b·c＝m(m－2)－(m＋3)＝－3，故选B．
2．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，3)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(3，t)，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝1，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
解析：选C．因为eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，t)－(2，3)＝(1，t－3)，因为|eq \(BC,\s\up6(→))|＝1，所以eq \r(1＋（t－3）2)＝1，所以t＝3，所以eq \(BC,\s\up6(→))＝(1，0)，所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝2×1＋3×0＝2，故选C．
3．(一题多解)(2020·湖南省五市十校联考)在直角三角形ABC中，∠C＝eq \f(π,2)，AB＝4，AC＝2，若eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(AB,\s\up6(→))，则eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝( )
A．－18 B．－6eq \r(3)
C．18 D．6eq \r(3)
解析：选C．通解：由∠C＝eq \f(π,2)，AB＝4，AC＝2，得CB＝2eq \r(3)，eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝0.eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))·eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \f(3,2)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)(eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→)))·eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(CB,\s\up6(→))2＝18，故选C．
优解一：如图，以C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，则C(0，0)，A(2，0)，B(0，2eq \r(3))．由题意得∠CBA＝eq \f(π,6)，又eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(AB,\s\up6(→))，所以D＝(－1，3eq \r(3))，则eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝(－1，3eq \r(3))·(0，2eq \r(3))＝18，故选C．
优解二：因为∠C＝eq \f(π,2)，AB＝4，AC＝2，所以CB＝2eq \r(3)，所以eq \(AB,\s\up6(→))在eq \(CB,\s\up6(→))上的投影为2eq \r(3)，又eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(AB,\s\up6(→))，所以eq \(AD,\s\up6(→))在eq \(CB,\s\up6(→))上的投影为eq \f(3,2)×2eq \r(3)＝3eq \r(3)，则eq \(CD,\s\up6(→))在eq \(CB,\s\up6(→))上的投影为3eq \r(3)，所以eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝|eq \(CB,\s\up6(→))|·|eq \(CD,\s\up6(→))|cs〈eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))〉＝2eq \r(3)×3eq \r(3)＝18，故选C．
考点二 平面向量数量积的应用(基础型)
eq \a\vs4\al(复习,指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
核心素养：数学运算、逻辑推理
角度一 求两平面向量的夹角
(1)(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,3)
C．eq \f(2π,3) D．eq \f(5π,6)
(2)已知向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(x，1)(x＞0)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，2)，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(5)，则eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为( )
A．eq \f(2π,3) B．eq \f(π,6)
C．eq \f(π,4) D．eq \f(π,3)
【解析】 (1)法一：由题意得，(a－b)·b＝0⇒a·b＝|b|2，所以|a||b|·csa，b＝|b|2，因为|a|＝2|b|，所以2|b|2csa，b＝|b|2⇒csa，b＝eq \f(1,2)，所以a，b＝eq \f(π,3)，故选B．
法二：如图，设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则eq \(BA,\s\up6(→))＝a－b，所以B＝eq \f(π,2)，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝2|eq \(OB,\s\up6(→))|，所以∠AOB＝eq \f(π,3)，即a，b＝eq \f(π,3).
(2)因为eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝(1－x，1)，
所以|eq \(BC,\s\up6(→))|2＝(1－x)2＋1＝5，即x2－2x－3＝0，解得x＝3或x＝－1(舍)．设eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为θ，则cs θ＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(2),2)，所以θ＝eq \f(π,4).
【答案】 (1)B (2)C
eq \a\vs4\al()
求向量夹角问题的方法
(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系．
(2)若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cs〈a，b〉＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2))) .
角度二 求平面向量的模
(1)(一题多解)(2020·唐山市摸底考试)已知e1，e2是两个单位向量，且|e1＋e2|＝eq \r(3)，则|e1－e2|＝________．
(2)设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a|＝________，则当t∈[－eq \r(3)，2]时，|a－tb|的取值范围是________．
【解析】 (1)法一：|e1＋e2|＝eq \r(3)，两边平方，得eeq \\al(2,1)＋2e1·e2＋eeq \\al(2,2)＝3，又e1，e2是单位向量，所以2e1·e2＝1，所以|e1－e2|2＝eeq \\al(2,1)－2e1·e2＋eeq \\al(2,2)＝1，所以|e1－e2|＝1.
法二：如图，设eq \(AB,\s\up6(→))＝e1，eq \(AD,\s\up6(→))＝e2，又e1，e2是单位向量，所以|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AD,\s\up6(→))|＝1，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，连接AC，BD，所以eq \(AC,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq \(DB,\s\up6(→))＝e1－e2，因为|e1＋e2|＝eq \r(3)，即|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(3)，所以∠ABC＝120°，则∠DAB＝60°，所以|eq \(DB,\s\up6(→))|＝1，即|e1－e2|＝1.
(2)向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，所以x－2＝0，解得x＝2，所以|a|＝eq \r(22＋12)＝eq \r(5).
|a－tb|2＝a2＋t2b2－2ta·b＝5t2＋5，所以当t＝0时，取得最小值为5；当t＝2时，最大值为25.即|a－tb|的取值范围是[eq \r(5)，5]．
【答案】 (1)1 (2)eq \r(5) [eq \r(5)，5]
eq \a\vs4\al()
求向量的模或其范围的方法
(1)定义法：|a|＝eq \r(a2)＝eq \r(a·a)，|a±b|＝eq \r(（a±b）2)＝eq \r(a2±2a·b＋b2).
(2)坐标法：设a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(x2＋y2).
(3)几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用解三角形的相关知识求解．
[提醒] (1)求形如ma＋nb的向量的模，可通过平方，转化为数量的运算．
(2)用定义法和坐标法求模的范围时，一般把它表示成某个变量的函数，再利用函数的有关知识求解；用几何法求模的范围时，注意数形结合的思想，常用三角不等式进行最值的求解．
角度三 两平面向量垂直问题
已知向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为120°，且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝2.若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，且eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，则实数λ的值为________．
【解析】 因为eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，所以eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0.
又eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))，
所以(λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝0，
即(λ－1)eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))－λeq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AC,\s\up6(→))2＝0，
所以(λ－1)|eq \(AC,\s\up6(→))||eq \(AB,\s\up6(→))|cs 120°－9λ＋4＝0.
所以(λ－1)×3×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))－9λ＋4＝0.解得λ＝eq \f(7,12).
【答案】 eq \f(7,12)
eq \a\vs4\al()
两向量垂直的应用
两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.
[注意] 若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.
1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(eq \r(3)，eq \r(2))，则|a＋2b|＝( )
A．2eq \r(2) B．2eq \r(5)
C．eq \r(17) D．eq \r(15)
解析：选C．因为a－b＝(eq \r(3)，eq \r(2))，所以|a－b|＝eq \r(5)，所以|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝5－2a·b＝5，则a·b＝0，所以|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝17，所以|a＋2b|＝eq \r(17).故选C．
2．已知在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝0，(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，则四边形ABCD是( )
A．矩形 B．正方形
C．菱形 D．梯形
解析：选C．因为eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝0，所以eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，所以四边形ABCD是平行四边形．又(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，所以四边形的对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．
3．(一题多解)已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，设向量eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))的夹角为θ，则cs θ＝________．
解析：法一：因为2eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，所以E为BC的中点．设正方形的边长为2，则|eq \(AE,\s\up6(→))|＝eq \r(5)，|eq \(BD,\s\up6(→))|＝2eq \r(2)，eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))))·(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)|eq \(AD,\s\up6(→))|2－|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)×22－22＝－2，所以cs θ＝eq \f(\(AE,\s\up6(→))·\(BD,\s\up6(→)),|\a\vs4\al(\(AE,\s\up6(→)))||\a\vs4\al(\(BD,\s\up6(→)))|)＝eq \f(－2,\r(5)×2\r(2))＝－eq \f(\r(10),10).
法二：因为2eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，所以E为BC的中点．
设正方形的边长为2，建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则点A(0，0)，B(2，0)，D(0，2)，E(2，1)，所以eq \(AE,\s\up6(→))＝(2，1)，eq \(BD,\s\up6(→))＝(－2，2)，所以eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝2×(－2)＋1×2＝－2，故cs θ＝eq \f(\(AE,\s\up6(→))·\(BD,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\(AE,\s\up6(→))||\(BD,\s\up6(→))|))＝eq \f(－2,\r(5)×2\r(2))＝－eq \f(\r(10),10).
答案：－eq \f(\r(10),10)
考点三 向量数量积的综合应用(综合型)
eq \a\vs4\al(复习,指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))解决此类问题的关键是把向量关系转化为向量数量积的有关运算，进一步转化为实数运算，进而利用相关知识求解．
(2020·广州海珠区摸底)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cs(A－B)，sin(A－B))，n＝(cs B，－sin B)，且m·n＝－eq \f(3,5).
(1)求sin A的值；
(2)若a＝4eq \r(2)，b＝5，求角B的大小及向量eq \(BA,\s\up6(→))在eq \(BC,\s\up6(→))方向上的投影．
【解】 (1)由m·n＝－eq \f(3,5)，
得cs(A－B)cs B－sin(A－B)sin B＝－eq \f(3,5)，
所以cs A＝－eq \f(3,5).因为0所以sin A＝eq \r(1－cs2A)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))\s\up12(2))＝eq \f(4,5).
(2)由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(5×\f(4,5),4\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，因为a>b，所以A>B，则B＝eq \f(π,4)，由余弦定理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4\r(2)))eq \s\up12(2)＝52＋c2－2×5c×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))，解得c＝1.
故向量eq \(BA,\s\up6(→))在eq \(BC,\s\up6(→))方向上的投影为
|eq \(BA,\s\up6(→))|cs B＝ccs B＝1×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),2).
eq \a\vs4\al()
平面向量与三角函数的综合问题
(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
(2020·石家庄模拟)已知A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cs B，cs A)，且m·n＝sin 2C．
(1)求角C的大小；
(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且eq \(CA,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝18，求边c的长．
解：(1)由已知得m·n＝sin Acs B＋cs Asin B＝sin(A＋B)，
因为A＋B＋C＝π，
所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
所以m·n＝sin C，又m·n＝sin 2C，
所以sin 2C＝sin C，所以cs C＝eq \f(1,2).
又0＜C＜π，所以C＝eq \f(π,3).
(2)由已知及正弦定理得2c＝a＋b.
因为eq \(CA,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝18，
所以abcs C＝18，所以ab＝36.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcs C＝(a＋b)2－3ab，
所以c2＝4c2－3×36，
所以c2＝36，所以c＝6.
[基础题组练]
1．设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于( )
A．－eq \f(3,2) B．－eq \f(5,3)
C．eq \f(5,3) D．eq \f(3,2)
解析：选A．c＝a＋kb＝(1，2)＋k(1，1)＝(1＋k，2＋k)，因为b⊥c，所以b·c＝0，b·c＝(1，1)·(1＋k，2＋k)＝1＋k＋2＋k＝3＋2k＝0，所以k＝－eq \f(3,2).
2．(2020·湖南省五市十校联考)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a＋b|＝( )
A．eq \r(6) B．eq \r(5)
C．2 D．eq \r(3)
解析：选A．由题意知，a·(a－2b)＝a2－2a·b＝1－2a·b＝0，所以2a·b＝1，所以|a＋b|＝eq \r(a2＋2a·b＋b2)＝eq \r(1＋1＋4)＝eq \r(6).故选A．
3．(2020·广州市综合检测(一))a，b为平面向量，已知a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A．－eq \f(4,5) B．－eq \f(3,5)
C．eq \f(3,5) D．eq \f(4,5)
解析：选B．设b＝(x，y)，则有a－2b＝(2，4)－(2x，2y)＝(2－2x，4－2y)＝(0，8)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2－2x＝0,4－2y＝8))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝－2))，故b＝(1，－2)，|b|＝eq \r(5)，|a|＝2eq \r(5)，cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(2－8,\r(5)×2\r(5))＝－eq \f(3,5)，故选B．
4．已知向量|eq \(OA,\s\up6(→))|＝3，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝2，eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，若eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为60°，且eq \(OC,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，则实数eq \f(m,n)的值为( )
A．eq \f(1,6) B．eq \f(1,4)
C．6 D．4
解析：选A．因为向量|eq \(OA,\s\up6(→))|＝3，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝2，eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))夹角为60°，所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝3×2×cs 60°＝3，
所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))·(meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→)))
＝(m－n)eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))－m|eq \(OA,\s\up6(→))|2＋n|eq \(OB,\s\up6(→))|2
＝3(m－n)－9m＋4n＝－6m＋n＝0，所以eq \f(m,n)＝eq \f(1,6)，故选A．
5．(多选)已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝0，且|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|，下列结论正确的是( )
A．eq \(CA,\s\up6(→))在eq \(CB,\s\up6(→))方向上的投影长为－eq \r(3)
B．eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))
C．eq \(CA,\s\up6(→))在eq \(CB,\s\up6(→))方向上的投影长为eq \r(3)
D．eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))
解析：选BCD．由eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝0得eq \(OB,\s\up6(→))＝－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))，所以四边形OBAC为平行四边形．又O为△ABC外接圆的圆心，所以|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OA,\s\up6(→))|，又|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|，所以△OAB为正三角形．因为△ABC的外接圆半径为2，所以四边形OBAC是边长为2的菱形，所以∠ACB＝eq \f(π,6)，所以eq \(CA,\s\up6(→))在eq \(CB,\s\up6(→))上的投影为|eq \(CA,\s\up6(→))|cseq \f(π,6)＝2×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)，故C正确．因为eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝－2，eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2，故B，D正确．
6．设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于________．
解析：a＋2b＝(－1＋2m，4)，2a－b＝(－2－m，3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－eq \f(1,2)，所以a·b＝－1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋2×1＝eq \f(5,2).
答案：eq \f(5,2)
7．已知点M，N满足|eq \(MC,\s\up6(→))|＝|eq \(NC,\s\up6(→))|＝3，且|eq \(CM,\s\up6(→))＋eq \(CN,\s\up6(→))|＝2eq \r(5)，则M，N两点间的距离为________．
解析：依题意，得|eq \(CM,\s\up6(→))＋eq \(CN,\s\up6(→))|2＝|eq \(CM,\s\up6(→))|2＋|eq \(CN,\s\up6(→))|2＋2eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(CN,\s\up6(→))＝18＋2eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(CN,\s\up6(→))＝20，则eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(CN,\s\up6(→))＝1，故M，N两点间的距离为|eq \(MN,\s\up6(→))|＝|eq \(CN,\s\up6(→))－eq \(CM,\s\up6(→))|
＝eq \r(|\(CN,\s\up6(→))|2＋|\(CM,\s\up6(→))|2－2\(CN,\s\up6(→))·\(CM,\s\up6(→)))
＝eq \r(9＋9－2)＝4.
答案：4
8．(2020·山东师大附中二模改编)已知向量a，b，其中|a|＝eq \r(3)，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________．
解析：由题意，设向量a，b的夹角为θ，因为|a|＝eq \r(3)，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cs θ＝3－2eq \r(3)·cs θ＝0，解得cs θ＝eq \f(\r(3),2).又因为0≤θ≤π，所以θ＝eq \f(π,6).则a·(a＋b)＝|a|2＋|a|·|b|·cs θ＝3＋2eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝6.
答案：eq \f(π,6) 6
9．已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)．
(1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值；
(2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b夹角的大小．
解：(1)由题意得a＋b＝(3，－1＋x)．
由a⊥(a＋b)，可得6＋1－x＝0，
解得x＝7，即b＝(1，7)，
所以|b|＝eq \r(50)＝5eq \r(2).
(2)由题意得，a＋2b＝(4，2x－1)＝(4，－7)，
故x＝－3，所以b＝(1，－3)，
所以cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(（2，－1）·（1，－3）,\r(5)×\r(10))＝eq \f(\r(2),2)，
因为〈a，b〉∈[0，π]，
所以a与b夹角是eq \f(π,4).
10．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足(eq \(AB,\s\up6(→))－teq \(OC,\s\up6(→)))·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，求t的值．
解：(1)由题设知eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，5)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1，1)，则eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝(2，6)，eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝(4，4)．
所以|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝2eq \r(10)，|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|＝4eq \r(2).
故所求的两条对角线的长分别为4eq \r(2)，2eq \r(10).
(2)法一：由题设知：eq \(OC,\s\up6(→))＝(－2，－1)，eq \(AB,\s\up6(→))－teq \(OC,\s\up6(→))＝(3＋2t，5＋t)．
由(eq \(AB,\s\up6(→))－teq \(OC,\s\up6(→)))·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，得：
(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，
从而5t＝－11，
所以t＝－eq \f(11,5).
法二：eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝teq \(OC,\s\up6(→))2，eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，5)，
t＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(OC,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\(OC,\s\up6(→))|2))＝－eq \f(11,5).
[综合题组练]
1．(2020·安徽五校联盟第二次质检)已知O是△ABC内部一点，且满足eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0，又eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \r(3)，∠BAC＝60°，则△OBC的面积为( )
A．eq \f(\r(3),2) B．3
C．1 D．2
解析：选C．由eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \r(3)，∠BAC＝60°，可得eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|cs ∠BAC＝eq \f(1,2)·|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3)，所以|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|＝4eq \r(3)，所以S△ABC＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|sin∠BAC＝3，又eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0，所以O为△ABC的重心，所以S△OBC＝eq \f(1,3)S△ABC＝1，故选C．
2．(2020·郑州市第二次质量预测)在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则eq \(CP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))的最小值为( )
A．－eq \f(1,2) B．0
C．4 D．－1
解析：选A．依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0，2)，D(2，0)，所以直线BD的方程为y＝－x＋2，因为点P在边AC的中线BD上，所以可设P(t，2－t)(0≤t≤2)，所以eq \(CP,\s\up6(→))＝(t，2－t)，eq \(BP,\s\up6(→))＝(t，－t)，所以eq \(CP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))＝t2－t(2－t)＝2t2－2t＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,2)，当t＝eq \f(1,2)时，eq \(CP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))取得最小值－eq \f(1,2)，故选A．
3．设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a|＝________，则当t∈[－eq \r(3)，2]时，|a－tb|的取值范围是________．
解析：向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，所以x－2＝0，解得x＝2，所以|a|＝eq \r(22＋12)＝eq \r(5).
|a－tb|2＝a2＋t2b2－2ta·b＝5t2＋5，所以当t＝0时，取得最小值为5；当t＝2时，取得最大值为25.即|a－tb|的取值范围是[eq \r(5)，5]．
答案：eq \r(5) [eq \r(5)，5]
4．在边长为2的菱形ABCD中，已知∠BAD＝60°，E为线段CD上的任意一点，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))的最大值为________；向量eq \(AE,\s\up6(→))的模的取值范围是________．
解析：以AC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由∠BAD＝60°，|AB|＝2，可知△ABD为正三角形，|AO|＝eq \r(3)，|DO|＝1，所以点A(－eq \r(3)，0)，C(eq \r(3)，0)，D(0，1)，B(0，－1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(2eq \r(3)，0)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，1)．因为D，E，C三点共线，所以eq \(AE,\s\up6(→))＝xeq \(AC,\s\up6(→))＋(1－x)eq \(AD,\s\up6(→))，0≤x≤1，即eq \(AE,\s\up6(→))＝x(2eq \r(3)，0)＋(1－x)(eq \r(3)，1)＝(eq \r(3)(1＋x)，1－x)，eq \(BD,\s\up6(→))＝(0，2)，所以eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝2(1－x)．又0≤x≤1，所以0≤eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝2(1－x)≤2，故eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))的最大值为2.
|eq \(AE,\s\up6(→))|＝eq \r(3（1＋x）2＋（1－x）2)＝eq \r(4x2＋4x＋4)＝2eq \r(x2＋x＋1)，又0≤x≤1，故向量eq \(AE,\s\up6(→))的模的取值范围是[2，2eq \r(3)]．
答案：2 [2，2eq \r(3)]
5．(创新型)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(cs B，2cs2 eq \f(C,2)－1)，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.
(1)求∠C的大小；
(2)若点D为边AB上一点，且满足eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))，|eq \(CD,\s\up6(→))|＝eq \r(7)，c＝2eq \r(3)，求△ABC的面积．
解：(1)因为m＝(cs B，cs C)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0，
所以ccs B＋(b－2a)cs C＝0，在△ABC中，由正弦定理得sin Ccs B＋(sin B－2sin A)cs C＝0，
sin A＝2sin Acs C，又sin A≠0，
所以cs C＝eq \f(1,2)，而C∈(0，π)，所以∠C＝eq \f(π,3).
(2)由eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))知，eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))，
所以2eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))，
两边平方得4|eq \(CD,\s\up6(→))|2＝b2＋a2＋2bacs ∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.①
又c2＝a2＋b2－2abcs ∠ACB，
所以a2＋b2－ab＝12.②
由①②得ab＝8，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)absin ∠ACB＝2eq \r(3).
6.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点．
(1)若θ＝eq \f(3,4)π，设点D为线段OA上的动点，求|eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))|的最小值；
(2)若θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，向量m＝eq \(BC,\s\up6(→))，n＝(1－cs θ，sin θ－2cs θ)，求m·n的最小值及对应的θ值．
解：(1)设D(t，0)(0≤t≤1)，
由题意知Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，
所以eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)＋t，\f(\r(2),2)))，
所以|eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))|2＝eq \f(1,2)－eq \r(2)t＋t2＋eq \f(1,2)
＝t2－eq \r(2)t＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(\r(2),2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,2)，
所以当t＝eq \f(\r(2),2)时，|eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))|有最小值，为eq \f(\r(2),2).
(2)由题意得C(cs θ，sin θ)，m＝eq \(BC,\s\up6(→))＝(cs θ＋1，sin θ)，
则m·n＝1－cs2θ＋sin2θ－2sin θcs θ＝1－cs 2θ－sin 2θ＝1－eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,4)))，
因为θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以eq \f(π,4)≤2θ＋eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4)，
所以当2θ＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)，即θ＝eq \f(π,8)时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,4)))取得最大值1.
所以当θ＝eq \f(π,8)时，m·n取得最小值，为1－eq \r(2).
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cs_θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cs_θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cs_θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cs_θ的乘积
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝eq \r(a·a)
|a|＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))
夹角
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)))
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
一、知识梳理
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．
(2)范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°．
[注意] 当a与b同向时，θ＝0°；a与b反向时，θ＝180°；a与b垂直时，θ＝90°.
2．平面向量的数量积
[注意] 投影和两向量的数量积都是数量，不是向量．
3．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量数量积的坐标运算及有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，a·b＝x1x2＋y1y2.
常用结论
(1)两向量a与b为锐角⇔a·b＞0且a与b不共线．
(2)两向量a与b为钝角⇔a·b＜0且a与b不共线．
(3)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
(4)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(5)a与b同向时，a·b＝|a||b|.
(6)a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
二、教材衍化
已知a·b＝－12eq \r(2)，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|为( )
A．12 B．6
C．3eq \r(3) D．3
解析：选B．a·b＝|a|·|b|cs 135°＝－12eq \r(2)，所以|b|＝eq \f(－12\r(2),4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2))))＝6.
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( )
(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.( )
(4)(a·b)c＝a(b·c)．( )
(5)两个向量的夹角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).( )
(6)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)×
二、易错纠偏
常见误区eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))(1)没有找准向量的夹角致误；
(2)不理解向量的数量积的几何意义致误；
(3)向量的数量积的有关性质应用不熟练致误．
1．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝eq \r(10)，则eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))的值为________．
解析：在△ABC中，由余弦定理得cs A＝eq \f(AC2＋AB2－BC2,2×AC×AB)＝eq \f(22＋32－（\r(10)）2,2×2×3)＝eq \f(1,4).
所以eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(BA,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|cs(π－A)＝－|eq \(BA,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|·cs A＝－3×2×eq \f(1,4)＝－eq \f(3,2).
答案：－eq \f(3,2)
2．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．
解析：由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cs θ＝4×cs 120°＝－2.
答案：－2
3．已知向量a与b的夹角为eq \f(π,3)，|a|＝|b|＝1，且a⊥(a－λb)，则实数λ＝________．
解析：由题意，得a·b＝|a||b|cs eq \f(π,3)＝eq \f(1,2)，因为a⊥(a－λb)，所以a·(a－λb)＝|a|2－λa·b＝1－eq \f(λ,2)＝0，所以λ＝2.
答案：2
考点一 平面向量数量积的运算(基础型)
复习指导eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系．
3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
核心素养：数学运算、数学抽象
(一题多解)(2019·高考天津卷)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2eq \r(3)，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝________．
【解析】 法一：在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2，则eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))－eq \(AB2,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))＝5×2eq \r(3)×cs 30°＋5×2×cs 180°－12－2eq \r(3)×2×cs 150°＝15－10－12＋6＝－1.
法二：在△ABD中，由余弦定理可得
BD＝eq \r(25＋12－2×5×2\r(3)×cs 30°)＝eq \r(7)，
所以cs∠ABD＝eq \f(12＋7－25,2×2\r(3)×\r(7))＝－eq \f(\r(21),14)，则sin∠ABD＝eq \f(5\r(7),14).设eq \(BD,\s\up6(→))与eq \(AE,\s\up6(→))的夹角为θ，则cs θ＝cs(180°－∠ABD＋30°)＝－cs(∠ABD－30°)＝－cs∠ABD·cs 30°－sin∠ABD·sin 30°＝－eq \f(\r(7),14)，在△ABE中，易得AE＝BE＝2，故eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \r(7)×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(7),14)))＝－1.
【答案】 －1
eq \a\vs4\al()
求向量a，b的数量积a·b的两种方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
当已知向量是非坐标形式时，若图形适合建立平面直角坐标系时，可建立坐标系，运用坐标法求解．
1．(2020·河南新乡二模)已知a＝(1，2)，b＝(m，m＋3)，c＝(m－2，－1)，若a∥b，则b·c＝( )
A．－7 B．－3
C．3 D．7
解析：选B．因为a＝(1，2)，b＝(m，m＋3)，a∥b，所以1×(m＋3)－2m＝0，所以m＝3，所以b·c＝m(m－2)－(m＋3)＝－3，故选B．
2．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，3)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(3，t)，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝1，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
解析：选C．因为eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，t)－(2，3)＝(1，t－3)，因为|eq \(BC,\s\up6(→))|＝1，所以eq \r(1＋（t－3）2)＝1，所以t＝3，所以eq \(BC,\s\up6(→))＝(1，0)，所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝2×1＋3×0＝2，故选C．
3．(一题多解)(2020·湖南省五市十校联考)在直角三角形ABC中，∠C＝eq \f(π,2)，AB＝4，AC＝2，若eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(AB,\s\up6(→))，则eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝( )
A．－18 B．－6eq \r(3)
C．18 D．6eq \r(3)
解析：选C．通解：由∠C＝eq \f(π,2)，AB＝4，AC＝2，得CB＝2eq \r(3)，eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝0.eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))·eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \f(3,2)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)(eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→)))·eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(CB,\s\up6(→))2＝18，故选C．
优解一：如图，以C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，则C(0，0)，A(2，0)，B(0，2eq \r(3))．由题意得∠CBA＝eq \f(π,6)，又eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(AB,\s\up6(→))，所以D＝(－1，3eq \r(3))，则eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝(－1，3eq \r(3))·(0，2eq \r(3))＝18，故选C．
优解二：因为∠C＝eq \f(π,2)，AB＝4，AC＝2，所以CB＝2eq \r(3)，所以eq \(AB,\s\up6(→))在eq \(CB,\s\up6(→))上的投影为2eq \r(3)，又eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(AB,\s\up6(→))，所以eq \(AD,\s\up6(→))在eq \(CB,\s\up6(→))上的投影为eq \f(3,2)×2eq \r(3)＝3eq \r(3)，则eq \(CD,\s\up6(→))在eq \(CB,\s\up6(→))上的投影为3eq \r(3)，所以eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝|eq \(CB,\s\up6(→))|·|eq \(CD,\s\up6(→))|cs〈eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))〉＝2eq \r(3)×3eq \r(3)＝18，故选C．
考点二 平面向量数量积的应用(基础型)
eq \a\vs4\al(复习,指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
核心素养：数学运算、逻辑推理
角度一 求两平面向量的夹角
(1)(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,3)
C．eq \f(2π,3) D．eq \f(5π,6)
(2)已知向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(x，1)(x＞0)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，2)，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(5)，则eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为( )
A．eq \f(2π,3) B．eq \f(π,6)
C．eq \f(π,4) D．eq \f(π,3)
【解析】 (1)法一：由题意得，(a－b)·b＝0⇒a·b＝|b|2，所以|a||b|·csa，b＝|b|2，因为|a|＝2|b|，所以2|b|2csa，b＝|b|2⇒csa，b＝eq \f(1,2)，所以a，b＝eq \f(π,3)，故选B．
法二：如图，设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则eq \(BA,\s\up6(→))＝a－b，所以B＝eq \f(π,2)，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝2|eq \(OB,\s\up6(→))|，所以∠AOB＝eq \f(π,3)，即a，b＝eq \f(π,3).
(2)因为eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝(1－x，1)，
所以|eq \(BC,\s\up6(→))|2＝(1－x)2＋1＝5，即x2－2x－3＝0，解得x＝3或x＝－1(舍)．设eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为θ，则cs θ＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(2),2)，所以θ＝eq \f(π,4).
【答案】 (1)B (2)C
eq \a\vs4\al()
求向量夹角问题的方法
(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系．
(2)若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cs〈a，b〉＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2))) .
角度二 求平面向量的模
(1)(一题多解)(2020·唐山市摸底考试)已知e1，e2是两个单位向量，且|e1＋e2|＝eq \r(3)，则|e1－e2|＝________．
(2)设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a|＝________，则当t∈[－eq \r(3)，2]时，|a－tb|的取值范围是________．
【解析】 (1)法一：|e1＋e2|＝eq \r(3)，两边平方，得eeq \\al(2,1)＋2e1·e2＋eeq \\al(2,2)＝3，又e1，e2是单位向量，所以2e1·e2＝1，所以|e1－e2|2＝eeq \\al(2,1)－2e1·e2＋eeq \\al(2,2)＝1，所以|e1－e2|＝1.
法二：如图，设eq \(AB,\s\up6(→))＝e1，eq \(AD,\s\up6(→))＝e2，又e1，e2是单位向量，所以|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AD,\s\up6(→))|＝1，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，连接AC，BD，所以eq \(AC,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq \(DB,\s\up6(→))＝e1－e2，因为|e1＋e2|＝eq \r(3)，即|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(3)，所以∠ABC＝120°，则∠DAB＝60°，所以|eq \(DB,\s\up6(→))|＝1，即|e1－e2|＝1.
(2)向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，所以x－2＝0，解得x＝2，所以|a|＝eq \r(22＋12)＝eq \r(5).
|a－tb|2＝a2＋t2b2－2ta·b＝5t2＋5，所以当t＝0时，取得最小值为5；当t＝2时，最大值为25.即|a－tb|的取值范围是[eq \r(5)，5]．
【答案】 (1)1 (2)eq \r(5) [eq \r(5)，5]
eq \a\vs4\al()
求向量的模或其范围的方法
(1)定义法：|a|＝eq \r(a2)＝eq \r(a·a)，|a±b|＝eq \r(（a±b）2)＝eq \r(a2±2a·b＋b2).
(2)坐标法：设a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(x2＋y2).
(3)几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用解三角形的相关知识求解．
[提醒] (1)求形如ma＋nb的向量的模，可通过平方，转化为数量的运算．
(2)用定义法和坐标法求模的范围时，一般把它表示成某个变量的函数，再利用函数的有关知识求解；用几何法求模的范围时，注意数形结合的思想，常用三角不等式进行最值的求解．
角度三 两平面向量垂直问题
已知向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为120°，且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝2.若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，且eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，则实数λ的值为________．
【解析】 因为eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，所以eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0.
又eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))，
所以(λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝0，
即(λ－1)eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))－λeq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AC,\s\up6(→))2＝0，
所以(λ－1)|eq \(AC,\s\up6(→))||eq \(AB,\s\up6(→))|cs 120°－9λ＋4＝0.
所以(λ－1)×3×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))－9λ＋4＝0.解得λ＝eq \f(7,12).
【答案】 eq \f(7,12)
eq \a\vs4\al()
两向量垂直的应用
两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.
[注意] 若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.
1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(eq \r(3)，eq \r(2))，则|a＋2b|＝( )
A．2eq \r(2) B．2eq \r(5)
C．eq \r(17) D．eq \r(15)
解析：选C．因为a－b＝(eq \r(3)，eq \r(2))，所以|a－b|＝eq \r(5)，所以|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝5－2a·b＝5，则a·b＝0，所以|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝17，所以|a＋2b|＝eq \r(17).故选C．
2．已知在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝0，(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，则四边形ABCD是( )
A．矩形 B．正方形
C．菱形 D．梯形
解析：选C．因为eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝0，所以eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，所以四边形ABCD是平行四边形．又(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，所以四边形的对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．
3．(一题多解)已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，设向量eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))的夹角为θ，则cs θ＝________．
解析：法一：因为2eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，所以E为BC的中点．设正方形的边长为2，则|eq \(AE,\s\up6(→))|＝eq \r(5)，|eq \(BD,\s\up6(→))|＝2eq \r(2)，eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))))·(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)|eq \(AD,\s\up6(→))|2－|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)×22－22＝－2，所以cs θ＝eq \f(\(AE,\s\up6(→))·\(BD,\s\up6(→)),|\a\vs4\al(\(AE,\s\up6(→)))||\a\vs4\al(\(BD,\s\up6(→)))|)＝eq \f(－2,\r(5)×2\r(2))＝－eq \f(\r(10),10).
法二：因为2eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，所以E为BC的中点．
设正方形的边长为2，建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则点A(0，0)，B(2，0)，D(0，2)，E(2，1)，所以eq \(AE,\s\up6(→))＝(2，1)，eq \(BD,\s\up6(→))＝(－2，2)，所以eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝2×(－2)＋1×2＝－2，故cs θ＝eq \f(\(AE,\s\up6(→))·\(BD,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\(AE,\s\up6(→))||\(BD,\s\up6(→))|))＝eq \f(－2,\r(5)×2\r(2))＝－eq \f(\r(10),10).
答案：－eq \f(\r(10),10)
考点三 向量数量积的综合应用(综合型)
eq \a\vs4\al(复习,指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))解决此类问题的关键是把向量关系转化为向量数量积的有关运算，进一步转化为实数运算，进而利用相关知识求解．
(2020·广州海珠区摸底)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cs(A－B)，sin(A－B))，n＝(cs B，－sin B)，且m·n＝－eq \f(3,5).
(1)求sin A的值；
(2)若a＝4eq \r(2)，b＝5，求角B的大小及向量eq \(BA,\s\up6(→))在eq \(BC,\s\up6(→))方向上的投影．
【解】 (1)由m·n＝－eq \f(3,5)，
得cs(A－B)cs B－sin(A－B)sin B＝－eq \f(3,5)，
所以cs A＝－eq \f(3,5).因为0
(2)由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(5×\f(4,5),4\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，因为a>b，所以A>B，则B＝eq \f(π,4)，由余弦定理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4\r(2)))eq \s\up12(2)＝52＋c2－2×5c×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))，解得c＝1.
故向量eq \(BA,\s\up6(→))在eq \(BC,\s\up6(→))方向上的投影为
|eq \(BA,\s\up6(→))|cs B＝ccs B＝1×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),2).
eq \a\vs4\al()
平面向量与三角函数的综合问题
(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
(2020·石家庄模拟)已知A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cs B，cs A)，且m·n＝sin 2C．
(1)求角C的大小；
(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且eq \(CA,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝18，求边c的长．
解：(1)由已知得m·n＝sin Acs B＋cs Asin B＝sin(A＋B)，
因为A＋B＋C＝π，
所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
所以m·n＝sin C，又m·n＝sin 2C，
所以sin 2C＝sin C，所以cs C＝eq \f(1,2).
又0＜C＜π，所以C＝eq \f(π,3).
(2)由已知及正弦定理得2c＝a＋b.
因为eq \(CA,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝18，
所以abcs C＝18，所以ab＝36.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcs C＝(a＋b)2－3ab，
所以c2＝4c2－3×36，
所以c2＝36，所以c＝6.
[基础题组练]
1．设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于( )
A．－eq \f(3,2) B．－eq \f(5,3)
C．eq \f(5,3) D．eq \f(3,2)
解析：选A．c＝a＋kb＝(1，2)＋k(1，1)＝(1＋k，2＋k)，因为b⊥c，所以b·c＝0，b·c＝(1，1)·(1＋k，2＋k)＝1＋k＋2＋k＝3＋2k＝0，所以k＝－eq \f(3,2).
2．(2020·湖南省五市十校联考)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a＋b|＝( )
A．eq \r(6) B．eq \r(5)
C．2 D．eq \r(3)
解析：选A．由题意知，a·(a－2b)＝a2－2a·b＝1－2a·b＝0，所以2a·b＝1，所以|a＋b|＝eq \r(a2＋2a·b＋b2)＝eq \r(1＋1＋4)＝eq \r(6).故选A．
3．(2020·广州市综合检测(一))a，b为平面向量，已知a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A．－eq \f(4,5) B．－eq \f(3,5)
C．eq \f(3,5) D．eq \f(4,5)
解析：选B．设b＝(x，y)，则有a－2b＝(2，4)－(2x，2y)＝(2－2x，4－2y)＝(0，8)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2－2x＝0,4－2y＝8))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝－2))，故b＝(1，－2)，|b|＝eq \r(5)，|a|＝2eq \r(5)，cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(2－8,\r(5)×2\r(5))＝－eq \f(3,5)，故选B．
4．已知向量|eq \(OA,\s\up6(→))|＝3，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝2，eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，若eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为60°，且eq \(OC,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，则实数eq \f(m,n)的值为( )
A．eq \f(1,6) B．eq \f(1,4)
C．6 D．4
解析：选A．因为向量|eq \(OA,\s\up6(→))|＝3，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝2，eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))夹角为60°，所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝3×2×cs 60°＝3，
所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))·(meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→)))
＝(m－n)eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))－m|eq \(OA,\s\up6(→))|2＋n|eq \(OB,\s\up6(→))|2
＝3(m－n)－9m＋4n＝－6m＋n＝0，所以eq \f(m,n)＝eq \f(1,6)，故选A．
5．(多选)已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝0，且|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|，下列结论正确的是( )
A．eq \(CA,\s\up6(→))在eq \(CB,\s\up6(→))方向上的投影长为－eq \r(3)
B．eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))
C．eq \(CA,\s\up6(→))在eq \(CB,\s\up6(→))方向上的投影长为eq \r(3)
D．eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))
解析：选BCD．由eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝0得eq \(OB,\s\up6(→))＝－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))，所以四边形OBAC为平行四边形．又O为△ABC外接圆的圆心，所以|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OA,\s\up6(→))|，又|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|，所以△OAB为正三角形．因为△ABC的外接圆半径为2，所以四边形OBAC是边长为2的菱形，所以∠ACB＝eq \f(π,6)，所以eq \(CA,\s\up6(→))在eq \(CB,\s\up6(→))上的投影为|eq \(CA,\s\up6(→))|cseq \f(π,6)＝2×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)，故C正确．因为eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝－2，eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2，故B，D正确．
6．设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于________．
解析：a＋2b＝(－1＋2m，4)，2a－b＝(－2－m，3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－eq \f(1,2)，所以a·b＝－1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋2×1＝eq \f(5,2).
答案：eq \f(5,2)
7．已知点M，N满足|eq \(MC,\s\up6(→))|＝|eq \(NC,\s\up6(→))|＝3，且|eq \(CM,\s\up6(→))＋eq \(CN,\s\up6(→))|＝2eq \r(5)，则M，N两点间的距离为________．
解析：依题意，得|eq \(CM,\s\up6(→))＋eq \(CN,\s\up6(→))|2＝|eq \(CM,\s\up6(→))|2＋|eq \(CN,\s\up6(→))|2＋2eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(CN,\s\up6(→))＝18＋2eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(CN,\s\up6(→))＝20，则eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(CN,\s\up6(→))＝1，故M，N两点间的距离为|eq \(MN,\s\up6(→))|＝|eq \(CN,\s\up6(→))－eq \(CM,\s\up6(→))|
＝eq \r(|\(CN,\s\up6(→))|2＋|\(CM,\s\up6(→))|2－2\(CN,\s\up6(→))·\(CM,\s\up6(→)))
＝eq \r(9＋9－2)＝4.
答案：4
8．(2020·山东师大附中二模改编)已知向量a，b，其中|a|＝eq \r(3)，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________．
解析：由题意，设向量a，b的夹角为θ，因为|a|＝eq \r(3)，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cs θ＝3－2eq \r(3)·cs θ＝0，解得cs θ＝eq \f(\r(3),2).又因为0≤θ≤π，所以θ＝eq \f(π,6).则a·(a＋b)＝|a|2＋|a|·|b|·cs θ＝3＋2eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝6.
答案：eq \f(π,6) 6
9．已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)．
(1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值；
(2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b夹角的大小．
解：(1)由题意得a＋b＝(3，－1＋x)．
由a⊥(a＋b)，可得6＋1－x＝0，
解得x＝7，即b＝(1，7)，
所以|b|＝eq \r(50)＝5eq \r(2).
(2)由题意得，a＋2b＝(4，2x－1)＝(4，－7)，
故x＝－3，所以b＝(1，－3)，
所以cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(（2，－1）·（1，－3）,\r(5)×\r(10))＝eq \f(\r(2),2)，
因为〈a，b〉∈[0，π]，
所以a与b夹角是eq \f(π,4).
10．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足(eq \(AB,\s\up6(→))－teq \(OC,\s\up6(→)))·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，求t的值．
解：(1)由题设知eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，5)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1，1)，则eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝(2，6)，eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝(4，4)．
所以|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝2eq \r(10)，|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|＝4eq \r(2).
故所求的两条对角线的长分别为4eq \r(2)，2eq \r(10).
(2)法一：由题设知：eq \(OC,\s\up6(→))＝(－2，－1)，eq \(AB,\s\up6(→))－teq \(OC,\s\up6(→))＝(3＋2t，5＋t)．
由(eq \(AB,\s\up6(→))－teq \(OC,\s\up6(→)))·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，得：
(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，
从而5t＝－11，
所以t＝－eq \f(11,5).
法二：eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝teq \(OC,\s\up6(→))2，eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，5)，
t＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(OC,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\(OC,\s\up6(→))|2))＝－eq \f(11,5).
[综合题组练]
1．(2020·安徽五校联盟第二次质检)已知O是△ABC内部一点，且满足eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0，又eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \r(3)，∠BAC＝60°，则△OBC的面积为( )
A．eq \f(\r(3),2) B．3
C．1 D．2
解析：选C．由eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \r(3)，∠BAC＝60°，可得eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|cs ∠BAC＝eq \f(1,2)·|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3)，所以|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|＝4eq \r(3)，所以S△ABC＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|sin∠BAC＝3，又eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0，所以O为△ABC的重心，所以S△OBC＝eq \f(1,3)S△ABC＝1，故选C．
2．(2020·郑州市第二次质量预测)在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则eq \(CP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))的最小值为( )
A．－eq \f(1,2) B．0
C．4 D．－1
解析：选A．依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0，2)，D(2，0)，所以直线BD的方程为y＝－x＋2，因为点P在边AC的中线BD上，所以可设P(t，2－t)(0≤t≤2)，所以eq \(CP,\s\up6(→))＝(t，2－t)，eq \(BP,\s\up6(→))＝(t，－t)，所以eq \(CP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))＝t2－t(2－t)＝2t2－2t＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,2)，当t＝eq \f(1,2)时，eq \(CP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))取得最小值－eq \f(1,2)，故选A．
3．设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a|＝________，则当t∈[－eq \r(3)，2]时，|a－tb|的取值范围是________．
解析：向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，所以x－2＝0，解得x＝2，所以|a|＝eq \r(22＋12)＝eq \r(5).
|a－tb|2＝a2＋t2b2－2ta·b＝5t2＋5，所以当t＝0时，取得最小值为5；当t＝2时，取得最大值为25.即|a－tb|的取值范围是[eq \r(5)，5]．
答案：eq \r(5) [eq \r(5)，5]
4．在边长为2的菱形ABCD中，已知∠BAD＝60°，E为线段CD上的任意一点，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))的最大值为________；向量eq \(AE,\s\up6(→))的模的取值范围是________．
解析：以AC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由∠BAD＝60°，|AB|＝2，可知△ABD为正三角形，|AO|＝eq \r(3)，|DO|＝1，所以点A(－eq \r(3)，0)，C(eq \r(3)，0)，D(0，1)，B(0，－1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(2eq \r(3)，0)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，1)．因为D，E，C三点共线，所以eq \(AE,\s\up6(→))＝xeq \(AC,\s\up6(→))＋(1－x)eq \(AD,\s\up6(→))，0≤x≤1，即eq \(AE,\s\up6(→))＝x(2eq \r(3)，0)＋(1－x)(eq \r(3)，1)＝(eq \r(3)(1＋x)，1－x)，eq \(BD,\s\up6(→))＝(0，2)，所以eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝2(1－x)．又0≤x≤1，所以0≤eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝2(1－x)≤2，故eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))的最大值为2.
|eq \(AE,\s\up6(→))|＝eq \r(3（1＋x）2＋（1－x）2)＝eq \r(4x2＋4x＋4)＝2eq \r(x2＋x＋1)，又0≤x≤1，故向量eq \(AE,\s\up6(→))的模的取值范围是[2，2eq \r(3)]．
答案：2 [2，2eq \r(3)]
5．(创新型)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(cs B，2cs2 eq \f(C,2)－1)，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.
(1)求∠C的大小；
(2)若点D为边AB上一点，且满足eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))，|eq \(CD,\s\up6(→))|＝eq \r(7)，c＝2eq \r(3)，求△ABC的面积．
解：(1)因为m＝(cs B，cs C)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0，
所以ccs B＋(b－2a)cs C＝0，在△ABC中，由正弦定理得sin Ccs B＋(sin B－2sin A)cs C＝0，
sin A＝2sin Acs C，又sin A≠0，
所以cs C＝eq \f(1,2)，而C∈(0，π)，所以∠C＝eq \f(π,3).
(2)由eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))知，eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))，
所以2eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))，
两边平方得4|eq \(CD,\s\up6(→))|2＝b2＋a2＋2bacs ∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.①
又c2＝a2＋b2－2abcs ∠ACB，
所以a2＋b2－ab＝12.②
由①②得ab＝8，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)absin ∠ACB＝2eq \r(3).
6.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点．
(1)若θ＝eq \f(3,4)π，设点D为线段OA上的动点，求|eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))|的最小值；
(2)若θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，向量m＝eq \(BC,\s\up6(→))，n＝(1－cs θ，sin θ－2cs θ)，求m·n的最小值及对应的θ值．
解：(1)设D(t，0)(0≤t≤1)，
由题意知Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，
所以eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)＋t，\f(\r(2),2)))，
所以|eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))|2＝eq \f(1,2)－eq \r(2)t＋t2＋eq \f(1,2)
＝t2－eq \r(2)t＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(\r(2),2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,2)，
所以当t＝eq \f(\r(2),2)时，|eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))|有最小值，为eq \f(\r(2),2).
(2)由题意得C(cs θ，sin θ)，m＝eq \(BC,\s\up6(→))＝(cs θ＋1，sin θ)，
则m·n＝1－cs2θ＋sin2θ－2sin θcs θ＝1－cs 2θ－sin 2θ＝1－eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,4)))，
因为θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以eq \f(π,4)≤2θ＋eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4)，
所以当2θ＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)，即θ＝eq \f(π,8)时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,4)))取得最大值1.
所以当θ＝eq \f(π,8)时，m·n取得最小值，为1－eq \r(2).
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cs_θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cs_θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cs_θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cs_θ的乘积
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝eq \r(a·a)
|a|＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))
夹角
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)))
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
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