中考数学二轮压轴培优专题17二次函数与公共点及交点综合问题（教师版）

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 专题17二次函数与公共点及交点综合
【例1】(2022•大庆)已知二次函数y＝x2+bx+m图象的对称轴为直线x＝2，将二次函数y＝x2+bx+m图象中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图象C．
(1)求b的值；
(2)①当m＜0时，图C与x轴交于点M，N(M在N的左侧)，与y轴交于点P．当△MNP为直角三角形时，求m的值；
②在①的条件下，当图象C中﹣4≤y＜0时，结合图象求x的取值范围；
(3)已知两点A(﹣1，﹣1)，B(5，﹣1)，当线段AB与图象C恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围．


【分析】(1)由二次函数的对称轴直接可求b的值；
(2)①求出M(2﹣，0)，N(2+，0)，再求出MN＝2，MN的中点坐标为(2，0)，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，列出方程即可求解；
②求出抛物线y＝x2﹣4x﹣1(x≥0)与直线y＝﹣4的交点为(1，﹣4)，(3，﹣4)，再求出y＝x2﹣4x﹣1关于x轴对称的抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+1(x＜0)当﹣x2+4x+1＝﹣4时，解得x＝5(舍)或x＝﹣1，抛物线y＝﹣x2+4x+1(x＜0)与直线y＝﹣4的交点为(﹣1，﹣4)，结合图像可得﹣1≤x＜2﹣或0≤x≤1或3≤x＜2+时，﹣4≤y＜0；
(3)通过画函数的图象，分类讨论求解即可．
【解析】(1)∵已知二次函数y＝x2+bx+m图象的对称轴为直线x＝2，
∴b＝﹣4；
(2)如图1：①令x2+bx+m＝0，
解得x＝2﹣或x＝2+，
∵M在N的左侧，
∴M(2﹣，0)，N(2+，0)，
∴MN＝2，MN的中点坐标为(2，0)，
∵△MNP为直角三角形，
∴＝，
解得m＝0(舍)或m＝﹣1；
②∵m＝﹣1，
∴y＝x2﹣4x﹣1(x≥0)，
令x2﹣4x﹣1＝﹣4，
解得x＝1或x＝3，
∴抛物线y＝x2﹣4x﹣1(x≥0)与直线y＝﹣4的交点为(1，﹣4)，(3，﹣4)，
∵y＝x2﹣4x﹣1关于x轴对称的抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+1(x＜0)，
当﹣x2+4x+1＝﹣4时，解得x＝5(舍)或x＝﹣1，
∴抛物线y＝﹣x2+4x+1(x＜0)与直线y＝﹣4的交点为(﹣1，﹣4)，
∴﹣1≤x＜2﹣或0≤x≤1或3≤x＜2+时，﹣4≤y＜0；
(3)y＝x2﹣4x+m关于x轴对称的抛物线解析式为y＝﹣x2+4x﹣m(x＜0)，
如图2，当y＝﹣x2+4x﹣m(x＜0)经过点A时，﹣1﹣4﹣m＝﹣1，
解得m＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x﹣4(x≥0)，当x＝5时，y＝1，
∴y＝x2﹣4x﹣4(x≥0)与线段AB有一个交点，
∴m＝﹣4时，当线段AB与图象C恰有两个公共点；
如图3，当y＝x2﹣4x+m(x≥0)经过点(0，﹣1)时，m＝﹣1，
此时图象C与线段AB有三个公共点，
∴﹣4≤m＜﹣1时，线段AB与图象C恰有两个公共点；
如图4，当y＝﹣x2+4x﹣m(x＜0)经过点(0，﹣1)时，m＝1，
此时图象C与线段AB有两个公共点，
当y＝x2﹣4x+m(x≥0)的顶点在线段AB上时，m﹣4＝﹣1，
解得m＝3，
此时图象C与线段AB有一个公共点，
∴1≤m＜3时，线段AB与图象C恰有两个公共点；
综上所述：﹣4≤m＜﹣1或1≤m＜3时，线段AB与图象C恰有两个公共点．






【例2】．(2022•湖北)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，与y轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B．
(1)求点B的坐标及直线AC的解析式；
(2)当二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x满足m≤x≤m+2时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝2，求m的值；
(3)平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围．

【分析】(1)求出A、B、C三点坐标，再用待定系数法求直线AC的解析式即可；
(2)分四种情况讨论：①当m＞1时，p﹣q＝(m+2)2﹣2(m+2)﹣3﹣m2+2m+3＝2，解得m＝(舍)；②当m+2＜1，即m＜﹣1，p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣(m+2)2+2(m+2)+3＝2，解得m＝﹣(舍)；③当m≤1≤m+1，即0≤m≤1，p﹣q＝(m+2)2﹣2(m+2)﹣3+4＝2，解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1(舍)；④当m+1＜1≤m+2，即﹣1≤m＜0，p﹣q＝m2﹣2m﹣3+4＝2，解得m＝+1(舍)或m＝﹣+1；
(3)分两种情况讨论：①当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位，平移后的抛物线解析式为y＝(x﹣1+h)2﹣4+h，求出直线BA的解析式为y＝x﹣5，联立方程组，由Δ＝0时，解得h＝，此时抛物线的顶点为(，﹣)，此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；②当抛物线向右平移k个单位，则向下平移k个单位，平移后的抛物线解析式为y＝(x﹣1﹣k)2﹣4﹣k，当抛物线经过点B时，此时抛物线的顶点坐标为(4，﹣7)，此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；当抛物线的顶点为(1，﹣4)时，平移后的抛物线与射线BA有两个公共点，由此可求解．
【解析】(1)∵y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣1)2﹣4，
∴顶点A(1，﹣4)，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C(0，﹣3)，
∵CB∥x轴，
∴B(2，﹣3)，
设直线AC解析式为y＝kx+b，
，
解得，
∴y＝﹣x﹣3；
(2)∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝1，
①当m＞1时，
x＝m时，q＝m2﹣2m﹣3，
x＝m+2时，p＝(m+2)2﹣2(m+2)﹣3，
∴p﹣q＝(m+2)2﹣2(m+2)﹣3﹣m2+2m+3＝2，
解得m＝(舍)；
②当m+2＜1，即m＜﹣1，
x＝m时，p＝m2﹣2m﹣3，
x＝m+2时，q＝(m+2)2﹣2(m+2)﹣3，
∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣(m+2)2+2(m+2)+3＝2，
解得m＝﹣(舍)；
③当m≤1≤m+1，即0≤m≤1，
x＝1时，q＝﹣4，
x＝m+2时，p＝(m+2)2﹣2(m+2)﹣3，
∴p﹣q＝(m+2)2﹣2(m+2)﹣3+4＝2，
解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1(舍)；
④当m+1＜1≤m+2，即﹣1≤m＜0，
x＝1时，q＝﹣4，
x＝m时，p＝m2﹣2m﹣3，
∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3+4＝2，
解得m＝1+(舍)或m＝1﹣，
综上所述：m的值﹣1或1﹣；
(3)设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x﹣3，
①如图1，当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位，
∴平移后的抛物线解析式为y＝(x﹣1+h)2﹣4+h，
设直线BA的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
解得，
∴y＝x﹣5，
联立方程组，
整理得x2﹣(3﹣2h)x+h2﹣h+2＝0，
当Δ＝0时，(3﹣2h)2﹣4(h2﹣h+2)＝0，
解得h＝，
此时抛物线的顶点为(，﹣)，此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；
②如图2，当抛物线向右平移k个单位，则向下平移k个单位，
∴平移后的抛物线解析式为y＝(x﹣1﹣k)2﹣4﹣k，
当抛物线经过点B时，(2﹣1﹣k)2﹣4﹣k＝﹣3，
解得k＝0(舍)或k＝3，
此时抛物线的顶点坐标为(4，﹣7)，此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点，
当抛物线的顶点为(1，﹣4)时，平移后的抛物线与射线BA有两个公共点，
∴综上所述：1＜n≤4或n＝．


【例3】(2022•张家界)如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A(1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的函数表达式及点D的坐标；
(2)若四边形BCEF为矩形，CE＝3．点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF向点F运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似时，求运动时间t的值；
(3)抛物线的对称轴与x轴交于点P，点G是点P关于点D的对称点，点Q是x轴下方抛物线上的动点．若过点Q的直线l：y＝kx+m(|k|)与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GA、GB相交于点H、K，求证：GH+GK为定值．

【分析】(1)二次函数表达式可设为：y＝ax2+bx+3，将A(1，0)、B(4，0)代入y＝ax2+bx+3，解方程可得a和b的值，再利用顶点坐标公式可得点D的坐标；
(2)根据t秒后点M的运动距离为CM＝t，则ME＝3﹣t，点N的运动距离为EN＝2t．分两种情形，当△EMN∽△OBC时，得，解得t＝；当△EMN∽△OCB时，得，解得t＝；
(3)首先利用中点坐标公式可得点G的坐标，利用待定系数法求出直线AG和BG的解析式，再根据直线l：y＝kx+m与抛物线只有一个公共点，联立两函数解析式，可得Δ＝0，再求出点H和k的横坐标，从而解决问题．
【解析】(1)设二次函数表达式为：y＝ax2+bx+3，
将A(1，0)、B(4，0)代入y＝ax2+bx+3得：
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为：，
又∵＝，＝＝，
∴顶点为D；
(2)依题意，t秒后点M的运动距离为CM＝t，则ME＝3﹣t，点N的运动距离为EN＝2t．
①当△EMN∽△OBC时，
∴，
解得t＝；
②当△EMN∽△OCB时，
∴，
解得t＝；
综上所述，当或时，以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似；
(3)∵点关于点D的对称点为点G，
∴，
∵直线l：y＝kx+m与抛物线只有一个公共点，
∴只有一个实数解，
∴Δ＝0，
即：，
解得：，
利用待定系数法可得直线GA的解析式为：，直线GB的解析式为：，
联立，结合已知，
解得：xH＝，
同理可得：xK＝，
则：GH＝＝，GK＝＝×，
∴GH+GK＝+×＝，
∴GH+GK的值为．
【例4】(2022•沈阳)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B(6，0)和点D(4，﹣3)，与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD．
(1)①求抛物线的函数表达式；
②直接写出直线AD的函数表达式；
(2)点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1＝2S2时，求点E的坐标；
(3)点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方的部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下的部分组成新的曲线记为C1，点C的对应点为C′，点G的对应点为G′，将曲线C1沿y轴向下平移n个单位长度(0＜n＜6)．曲线C1与直线BC的公共点中，选两个公共点记作点P和点Q，若四边形C′G′QP是平行四边形，直接写出点P的坐标．


【分析】(1)运用待定系数法即可求得抛物线解析式和直线AD的解析式；
(2)设点E(t，t2﹣t﹣3)，F(x，y)，过点E作EM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，如图1，根据三角形面积关系可得＝，由EM∥FN，可得△BFN∽△BEM，得出＝＝＝，可求得F(2+t，t2﹣t﹣2)，代入直线AD的解析式即可求得点E的坐标；
(3)根据题意可得：点C′(0，3)，G′(2，4)，向上翻折部分的图象解析式为y＝﹣(x﹣2)2+4，向上翻折部分平移后的函数解析式为y＝﹣(x﹣2)2+4﹣n，平移后抛物线剩下部分的解析式为y＝(x﹣2)2﹣4﹣n，利用待定系数法可得：直线BC的解析式为y＝x﹣3，直线C′G′的解析式为y＝x+3，由四边形C′G′QP是平行四边形，分类讨论即可．
【解析】(1)①∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B(6，0)和点D(4，﹣3)，
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣3；
②由①得y＝x2﹣x﹣3，
当y＝0时，x2﹣x﹣3＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣2，
∴A(﹣2，0)，
设直线AD的函数表达式为y＝kx+d，则，
解得：，
∴直线AD的函数表达式为y＝x﹣1；
(2)设点E(t，t2﹣t﹣3)，F(x，y)，过点E作EM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，如图1，
∵S1＝2S2，即＝2，
∴＝2，
∴＝，
∵EM⊥x轴，FN⊥x轴，
∴EM∥FN，
∴△BFN∽△BEM，
∴＝＝＝，
∵BM＝6﹣t，EM＝﹣(t2﹣t﹣3)＝﹣t2+t+3，
∴BN＝(6﹣t)，FN＝(﹣t2+t+3)，
∴x＝OB﹣BN＝6﹣(6﹣t)＝2+t，y＝﹣(﹣t2+t+3)＝t2﹣t﹣2，
∴F(2+t，t2﹣t﹣2)，
∵点F在直线AD上，
∴t2﹣t﹣2＝﹣(2+t)﹣1，
解得：t1＝0，t2＝2，
∴E(0，﹣3)或(2，﹣4)；
(3)∵y＝x2﹣x﹣3＝(x﹣2)2﹣4，
∴顶点坐标为G(2，﹣4)，
当x＝0时，y＝3，即点C (0，﹣3)，
∴点C′(0，3)，G′(2，4)，
∴向上翻折部分的图象解析式为y＝﹣(x﹣2)2+4，
∴向上翻折部分平移后的函数解析式为y＝﹣(x﹣2)2+4﹣n，平移后抛物线剩下部分的解析式为y＝(x﹣2)2﹣4﹣n，
设直线BC的解析式为y＝k′x+d′(k′≠0)，
把点B(6，0)，C(0，﹣3)代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
同理直线C′G′的解析式为y＝x+3，
∴BC∥C′G′，
设点P的坐标为(s，s﹣3)，
∵点C′(0，3)，G′(2，4)，
∴点C′向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点G′，
∵四边形C′G′QP是平行四边形，
∴点Q(s+2，s﹣2)，
当点P，Q均在向上翻折部分平移后的图象上时，
则，
解得：(不符合题意，舍去)，
当点P在向上翻折部分平移后的图象上，点Q在平移后抛物线剩下部分的图象上时，
则，
解得：或(不合题意，舍去)，
当点P在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q在向上翻折部分平移后的图象上时，
则，
解得：或(不合题意，舍去)，
综上所述，点P的坐标为(1+，)或(1﹣，)．


一．解答题(共20小题)
1．(2022•钟楼区校级模拟)如图，已知二次函数y＝x2+mx+m+的图象与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0，﹣)，P是抛物线在直线AC上方图象上一动点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)求△PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，抛物线在点A、B之间的部分(含点A、B)沿x轴向下翻折，得到图象G．现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个公共点，请直接写出图象M的顶点横坐标n的取值范围．

【分析】(1)利用待定系数法即可求得答案；
(2)令y＝0，可求得：A(﹣5，0)，B(﹣1，0)，再运用待定系数法求得直线AC的解析式为y＝﹣x﹣，如图1，设P(t，﹣t2﹣3t﹣)，过点P作PH∥y轴交直线AC于点H，则PH＝﹣t2﹣t，利用S△PAC＝S△PAH+S△PCH＝﹣(t+)2+，即可运用二次函数求最值的方法求得答案；
(3)运用翻折变换的性质可得图象G的函数解析式为：y＝(x+3)2﹣2，顶点坐标为(﹣3，﹣2)，进而根据平移规律可得：图象M的函数解析式为：y＝(x﹣n)2﹣n﹣，顶点坐标为(n，﹣n﹣)，当图象M经过点C(0，﹣)时，可求得：n＝﹣1或n＝2，当图象M的端点B在PC上时，可求得：n＝﹣或n＝(舍去)，就看得出：图象M的顶点横坐标n的取值范围为：﹣≤n≤﹣1或n＝2．
【解析】(1)∵抛物线y＝﹣x2+mx+m+与y轴交于点C(0，﹣)，
∴m+＝﹣，
解得：m＝﹣3，
∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣3x﹣；

(2)在y＝﹣x2﹣3x﹣中，令y＝0，
得：﹣x2﹣3x﹣＝0，
解得：x1＝﹣5，x2＝﹣1，
∴A(﹣5，0)，B(﹣1，0)，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∵A(﹣5，0)，C(0，﹣)，
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣，
如图1，设P(t，﹣t2﹣3t﹣)，过点P作PH∥y轴交直线AC于点H，
则H(t，﹣t﹣)，
∴PH＝﹣t2﹣3t﹣﹣(﹣t﹣)＝﹣t2﹣t，
∴S△PAC＝S△PAH+S△PCH
＝•PH•(xP﹣xA)+•PH•(xC﹣xP)
＝•PH•(xC﹣xA)
＝×(﹣t2﹣t)×[0﹣(﹣5)]
＝t2﹣t
＝﹣(t+)2+，
∴当t＝﹣时，S△PAC取得最大值，
此时，点P的坐标为(﹣，)；

(3)如图2，抛物线y＝﹣x2﹣3x﹣在点A、B之间的部分(含点A、B)沿x轴向下翻折，得到图象G，
∵y＝﹣x2﹣3x﹣＝(x+3)2+2，顶点为(﹣3，2)，
∴图象G的函数解析式为：y＝(x+3)2﹣2，顶点坐标为(﹣3，﹣2)，
∵图象G沿直线AC平移，得到新的图象M，顶点运动的路径为直线y＝﹣x﹣，
∴图象M的顶点坐标为(n，﹣n﹣)，
∴图象M的函数解析式为：y＝(x﹣n)2﹣n﹣，
当图象M经过点C(0，﹣)时，
则：﹣＝(0﹣n)2﹣n﹣，
解得：n＝﹣1或n＝2，
当图象M的端点B在PC上时，
∵线段PC的解析式为：y＝﹣x﹣(﹣≤x≤0)，点B(﹣1，0)运动的路径为直线y＝﹣x﹣，
∴联立可得：，
解得：，
将代入y＝(x﹣n)2﹣n﹣，可得：(﹣﹣n)2﹣n﹣＝，
解得：n＝﹣或n＝(舍去)，
∴图象M的顶点横坐标n的取值范围为：﹣≤n≤﹣1或n＝2．


2．(2022•保定一模)如图，关于x的二次函数y＝x2﹣2x+t2+2t﹣5的图象记为L，点P是L上对称轴右侧的一点，作PQ⊥y轴，与L在对称轴左侧交于点Q；点A，B的坐标分别为(1，0)，(1，1)，连接AB．
(1)若t＝1，设点P，Q的横坐标分别为m，n，求n关于m的关系式；
(2)若L与线段AB有公共点，求t的取值范围；
(3)当2t﹣3＜x＜2t﹣1时，y的最小值为﹣，直接写出t的值．

【分析】(1)当t＝1时，抛物线为y＝x2﹣2x﹣2，可求得它的对称轴为直线x＝1，由点P与点Q关于直线x＝1对称得m+n＝2，即可求得n关于m的关系式；
(2)将y＝x2﹣2x+t2+2t﹣5配成顶点式y＝(x﹣1)2+t2+2t﹣6，则抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，t2+2t﹣6)，再说明线段AB在直线x＝1上，由L与线段AB有公共点可列不等式组得0≤t2+2t﹣6≤1，解不等式组求出它的解集即可；
(3)分三种情况，一是直线x＝2t﹣1在抛物线的对称轴的左侧，在2t﹣3＜x＜2t﹣1范围内图象不存在最低点，因此不存在y的最小值；二是直线x＝1在直线x＝2t﹣3与直线x＝2t﹣1之间时，抛物线的顶点为最低点，可列方程t2+2t﹣6＝﹣，解方程求出符合题意的t值；三是直线x＝2t﹣3在抛物线的对称轴的右侧，在2t﹣3＜x＜2t﹣1范围内图象不存在最低点，因此不存在y的最小值．
【解析】(1)如图1，当t＝1时，L为抛物线y＝x2﹣2x﹣2，
∵y＝x2﹣2x﹣2＝(x﹣1)2﹣3，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵点P、Q分别是对称轴右侧、左侧L上的点，且PQ⊥y轴，
∴m+n＝2，
∴n＝﹣m+2(m＞1)．
(2)如图2，L为抛物线y＝x2﹣2x+t2+2t﹣5＝(x﹣1)2+t2+2t﹣6，
∴L的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，t2+2t﹣6)，
∵A(1，0)，B(1，1)，
∴线段AB在直线x＝1上，
∵L与线段AB有公共点，
∴0≤t2+2t﹣6≤1，
解得﹣1﹣2≤t≤﹣1﹣或﹣1+≤t≤﹣1+2，
∴t的取值范围是﹣1﹣2≤t≤﹣1﹣或﹣1+≤t≤﹣1+2．
(3)当2t﹣1＜1，即t＜1时，如图3，
∵在2t﹣3＜x＜2t﹣1范围内图象不存在最低点，
∴此时不存在y的最小值；
当2t﹣1≥1且2t﹣3≤1，即1≤t≤2时，如图4，
∵L的顶点为最低点，
∴t2+2t﹣6＝﹣，
解得t1＝，t2＝，
∵＜1，
∴t2＝不符合题意，舍去；
当2t﹣3＞1，即t＞2时，如图5，
∵在2t﹣3＜x＜2t﹣1范围内图象不存在最低点，
∴此时不存在y的最小值，
综上所述，t的值为．



3．(2022•广陵区校级二模)在平面直角坐标系中，已知函数y1＝2x和函数y2＝﹣x+6，不论x取何值，y0都取y1与y2二者之中的较小值．
(1)求函数y1和y2图象的交点坐标，并直接写出y0关于x的函数关系式；
(2)现有二次函数y＝x2﹣8x+c，若函数y0和y都随着x的增大而减小，求自变量x的取值范围；
(3)在(2)的结论下，若函数y0和y的图象有且只有一个公共点，求c的取值范围．
【分析】(1)联立两函数解析式求出交点坐标，然后根据一次函数的增减性解答；
(2)根据一次函数的增减性判断出x≥2，再根据二次函数解析式求出对称轴，然后根据二次函数的增减性可得x＜4，从而得解；
(3)①若函数y＝x2﹣8x+c与y0＝﹣x+6只有一个交点，联立两函数解析式整理得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式Δ＝0求出c的值，然后求出x的值，若在x的取值范围内，则符合；②若函数y＝x2﹣8x+c与y0＝﹣x+6有两个交点，先利用根的判别式求出c的取值范围，先求出x＝2与x＝4时的函数值，然后利用一个解在x的范围内，另一个解不在x的范围内列出不等式组求解即可．
【解析】(1)∵，
∴，
∴函数y1和y2图象交点坐标(2，4)；
y0关于x的函数关系式为y0＝ ；

(2)∵对于函数y0，y0随x的增大而减小，
∴y0＝﹣x+6(x ≥2)，
又∵函数y＝x 2﹣8x+c的对称轴为直线x＝4，且a＝1＞0，
∴当x＜4时，y随x的增大而减小，
∴2≤x ＜4；

(3)①若函数y＝x 2﹣8x+c与y0＝﹣x+6只有一个交点，且交点在2＜x ＜4范围内，
则x 2﹣8x+c＝﹣x+6，即x 2﹣7x+( c﹣6)＝0，
∴Δ＝(﹣7)2﹣4( c﹣6)＝73﹣4c＝0，
解得c＝ ，
此时x1＝x2＝ ，符合2＜x ＜4，
∴c＝ ；
②若函数y＝x 2﹣8x+c与y0＝﹣x+6有两个交点，其中一个在2＜x ＜4范围内，另一个在2＜x ＜4范围外，
∴Δ＝73﹣4c＞0，
解得c ＜ ，
∵对于函数y0，当x＝2时，y0＝4；当x＝4时y0＝2，
又∵当2＜x ＜4时，y随x的增大而减小，
若y＝x 2﹣8x+c与y0＝﹣x+6在2＜x ＜4内有一个交点，
则当x＝2时y＞y0；当x＝4时y＜y0，
即当x＝2时，y≥4；当x＝4时，y≤2，
∴，
解得16＜c ＜18，
又c ＜ ，
∴16＜c ＜18，
综上所述，c的取值范围是：c＝ 或16＜c ＜18．
4．(2022•金华模拟)在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2mx+6m(x≤2m，m为常数)的图象记作G，图象G上点A的横坐标为2m．
(1)当m＝1，求图象G的最低点坐标；
(2)平面内有点C(﹣2，2)．当AC不与坐标轴平行时，以AC为对角线构造矩形ABCD，AB与x轴平行，BC与y轴平行．
①若矩形ABCD为正方形时，求点A坐标；
②图象G与矩形ABCD的边有两个公共点时，求m的取值范围．
【分析】(1)由m＝1代入抛物线解析式，将二次函数解析式化为顶点式求解；
(2)①将x＝2m代入抛物线解析式求出点A坐标，由正方形的性质即可求解；
②分类讨论，数形结合解题，根据A点在图象G上，再在图象G上找一个点可以满足条件，然后根据m的取值范围进行分类讨论进行解题即可．
【解析】(1)m＝1时，y＝x2﹣2x+6＝(x﹣1)2+5，
∴顶点为(1，5)，
∵x≤2，
∴图象G的最低点坐标为(1，5)；
(2)①当x＝2m时，y＝6m，
∴A(2m，6m)，
∵C(﹣2，2)，
∵正方形ABCD中，AB与x轴平行，BC与y轴平行，
∴B(﹣2，6m)，
同理得D(2m，2)，
∵AD＝CD，
∴|6m﹣2|＝|2m+2|，
∴2m+2＝﹣6m+2或2m+2＝﹣2+6m，
解得m＝0或m＝1，
∴点A的坐标为(0，0)或(2，6)；
②∵点A在图象G上，
∴图象G与矩形ABCD已经有一个公共点A，
∵图象G与矩形ABCD的边有两个公共点，
∴只需图象G与矩形ABCD的边再由一个公共点即可；
∵点A的横坐标为2m，
∴A(2m，6m)，
当x＝﹣2时，y＝4+10m，
当4+10m＝6m时，m＝﹣1，
如图1，当m＜﹣1时，图象G在x≤2m时，y随x的增大而减小，
∴矩形与图象G只有一个交点A；
当m＝﹣1时，图象G在x≤2m时，y随x的增大而减小，
当﹣1＜m≤0时，图象G与矩形有两个交点；
当经过点C时，4+10m＝2，
解得m＝﹣，
∴m＞﹣时，图象G与矩形有两个交点；
如图3，
当6m＝2时，即m＝，
当0＜m＜时，2m＞m，
∵x2﹣2mx+4m＝6m，
整理得，x2﹣2mx＝0，
∵Δ＝4m2≥0，
∵m≠0，
∴Δ＞0，
此时图象G与AB边有另一个交点，
∴此时图象G与矩形ABCD有三个交点，
当m＝时，A点坐标为(，2)，此时AC不与x轴平行，不符合题意；
当m＞时，此时图象G与矩形ABCD有两个交点；
综上所述：﹣1＜m≤0或m＞时，图象G与矩形ABCD有两个交点．



5．(2022•清镇市模拟)在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2a2x+1(a≠0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点B．
(1)抛物线的对称轴为直线x＝　a　；(用含字母a的代数式表示)
(2)若AB＝2，求二次函数的表达式；
(3)已知点P(a+4，1)，Q(0，2)，如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，求a的取值范围．
【分析】(1)由抛物线对称轴为直线x＝﹣求解．
(2)由抛物线对称轴及点A坐标可得点B坐标，进而求解．
(3)分类讨论a＞0与a＜0，根据点A，B，P，Q的坐标，结合图象求解．
【解析】(1)∵y＝ax2﹣2a2x+1，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝a．
故答案为：a．
(2)∵A，B关于抛物线对称轴对称，
∴AB＝|2a|＝2，
当a＞0时，a＝1，
∴y＝x2﹣2x+1，
当a＜0时，a＝﹣1，
∴y＝﹣x2﹣2x+1．
(3)将x＝0代入y＝ax2﹣2a2x+1得y＝2，
∴点A坐标为(0，1)，
当a＞0时，抛物线开口向上，点Q(0，2)在点A(0，1)上方，
∵点B与点A关于抛物线对称轴对称，
∴点B坐标为(2a，1)，
∴当a+4≥2a时，点P在抛物线上或在抛物线外部，符合题意，
解得a≤4，

当a＜0时，点Q在抛物线上方，点B在点A左侧，
当点P在抛物线内部时，满足题意，
∴2a≤a+4≤0，
解得a≤﹣4，
综上所述，a≤﹣4或0＜a≤4．
6．(2022•五华区三模)已知抛物线y＝ax2﹣mx+2m﹣3经过点A(2，﹣4)．
(1)求a的值；
(2)若抛物线与y轴的公共点为(0，﹣1)，抛物线与x轴是否有公共点，若有，求出公共点的坐标；若没有，请说明理由；
(3)当2≤x≤4时，设二次函数y＝ax2﹣mx+2m﹣3的最大值为M，最小值为N，若＝，求m的值．
【分析】(1)把点A坐标代入抛物线解析式即可求出a；
(2)由(1)知a＝﹣，再由抛物线与y轴的交点为(0，﹣1)可以求出m的值，然后由Δ＝0，可以得抛物线与x轴有一个公共点，再令y＝0解方程求出x即可；
(3)先求出抛物线对称轴，然后分﹣2m＜2，2≤﹣2m≤4，﹣2m＞4三种情况分别求出函数的最大值M和最小值N，由＝求出m的值．
【解析】(1)∵抛物线y＝ax2﹣mx+2m﹣3经过点A(2，﹣4)，
∴4a﹣2m+2m﹣3＝﹣4，
解得：a＝﹣；
(2)由(1)知a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣mx+2m﹣3，
∵抛物线与y轴的公共点为(0，﹣1)，
∴2m﹣3＝﹣1，
解得m＝1，
∴y＝﹣x2﹣x﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝(﹣1)2﹣4×(﹣)×(﹣1)＝1﹣1＝0，
∴抛物线与x轴是有一个公共点，
令y＝0，则﹣x2﹣x﹣1＝0，
解得：x1＝x2＝﹣2，
∴公共点的坐标为(﹣2，0)；
(3)由(1)知，抛物线解析式为y＝﹣x2﹣mx+2m﹣3，
∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣2m，
①当﹣2m＜2，即m＞﹣1时，
∵a＜0，抛物线开口向下，
∴当2≤x≤4时，y随x的增大而减小，
∴当x＝2时，M＝ymax＝﹣×22﹣2m+2m﹣3＝﹣4，
当x＝4时，N＝ymin＝﹣×16﹣4m+2m﹣3＝﹣2m﹣7，
∵＝，
∴＝，
解得：m＝﹣，不符合题意；
②当2≤﹣2m≤4即﹣2≤m≤﹣1时，
若直线x＝2与直线x＝﹣2m接近时，
则当x＝﹣2m时y取得最大值，即M＝﹣×(﹣2m)2﹣m×(﹣2m)+2m﹣3＝m2+2m﹣3，
当x＝4时，y取得最小值，即N＝﹣×42﹣4m+2m﹣3＝﹣2m﹣7，
∵＝，
∴＝，
解得：m1＝﹣，m2＝﹣(不合题意，舍去)；
若直线x＝4与直线x＝﹣2m接近时，
则当x＝﹣2m时y取得最大值，即M＝﹣×(﹣2m)2﹣m×(﹣2m)+2m﹣3＝m2+2m﹣3，
当x＝2时，y取得最小值，即N＝﹣×22﹣2m+2m﹣3＝﹣4，
∵＝，
∴＝，
解得：m1＝，m2＝(不符合题意，舍去)；
③当﹣2m＞4即m＜﹣2时，
∵a＜0，抛物线开口向下，
∴当2≤x≤4时，y随x的增大而增大，
∴当x＝2时，N＝﹣×22﹣2m+2m﹣3＝﹣4，
当x＝4时，M＝﹣×16﹣4m+2m﹣3＝﹣2m﹣7，
∵＝，
∴＝，
解得：m＝﹣(不符合题意，舍去)，
综上所述，m的值为﹣或．
7．(2022•秦淮区二模)在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象的顶点坐标是(2，1)，与y轴的交点坐标是(0，5)．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)在同一平面直角坐标系中，若该二次函数的图象与一次函数y＝x+n(n为常数)的图象有2个公共点，求n的取值范围．
【分析】(1)设抛物线解析式为y＝a(x﹣2)2+1，再将(0，5)代入即可求解；
(2)二次函数的图象与一次函数y＝x+n(n为常数)的图象有两个交点可列出方程a(x﹣2)2+1＝x+n，再利用Δ＞0，即可求出解．
【解析】(1)∵二次函数图象的顶点是(2，1)，
∴设二次函数的表达式为y＝a(x﹣2)2+1，
将点(0，5)代入y＝a(x﹣2)2+1，
得5＝a(0﹣2)2+1，
解得：a＝1，
∴二次函数的表达式为：y＝(x﹣2)2+1．
(2)二次函数的图象与一次函数y＝x+n(n为常数)的图象有2个公共点，
∴得(x﹣2)2+1＝x+n，
化简得：x2﹣5x+5﹣n＝0，
∵有2个公共点，
∴Δ＞0，
∴25﹣4(5﹣n)＞0，
解得n＞．
∴n的取值范围为：n．
8．(2022•盐城二模)若二次函数y＝ax2+bx+a+2的图象经过点A(1，0)，其中a、b为常数．
(1)用含有字母a的代数式表示抛物线顶点的横坐标；
(2)点B(﹣，1)、C(2，1)为坐标平面内的两点，连接B、C两点．
①若抛物线的顶点在线段BC上，求a的值；
②若抛物线与线段BC有且只有一个公共点，求a的取值范围．

【分析】(1)将点A(1，0)代入抛物线解析式，可得b＝﹣2﹣2a，继而求出抛物线对称轴即可求解；
(2)①根据题意将x＝1+，y＝1，代入抛物线解方程即可求解；
②分a＞0；a＜0且a≠﹣1；a＝﹣1三种情况进行讨论求解即可得a的取值范围．
【解析】(1)∵y＝ax2+bx+a+2的图象经过点A(1，0)，
即当x＝1时，y＝a+b+a+2＝0，
∴b＝﹣2﹣2a，
∴y＝ax2﹣(2a+2)x+a+2，
∴对称轴x＝﹣＝＝1+，
∴抛物线顶点的横坐标为1+；

(2)①抛物线的顶点在线段BC上，且点B(﹣，1)、C(2，1)，
∴顶点纵坐标为1，且﹣≤1+≤2，
当x＝1+时，y＝1，即a(1+)2﹣(2a+2)(1+)+a+2＝1，
整理得：﹣＝1，
解得：a＝﹣1，
检验，当a＝﹣1时，a≠0，
∴a＝﹣1；
②∵对称轴x＝1+，
当a＞0时，对称轴x＝1+在点A(1，0)的右侧，即xx＝1+＞1，
∵抛物线与线段BC有且只有一个公共点，点B(﹣，1)、C(2，1)，
∴当x＝2时，y＜1，即4a﹣2(2a+2)+a+2＜1，
解得：a＜3，
当x＝﹣时，y＞1，即a+(2a+2)+a+2≥1，
解得：a≥﹣，
∴0＜a＜3，
当a＜0，且a≠﹣1时，对称轴x＝1+在点A (1，0)的左侧，即x＝1+＜1，抛物线开口向下，且过点A (1，0)，
当x＝﹣时，y＞1，即a+(2a+2)+a+2＞1，
解得：a＞﹣，
∵a＜0，
∴﹣＜a＜0；
由①知，当a＝﹣1时，抛物线顶点恰好在线段BC上，
∴当a＝﹣1时，抛物线与线段BC有且只有一个公共点，
综上所述，抛物线与线段BC有且只有一个公共点时，a的取值范围是0＜a＜3或﹣＜a＜0或a＝﹣1．
9．(2022•滑县模拟)如图，已知二次函数y＝x2+2x+c与x轴正半轴交于点B(另一个交点为A)，与y轴负半轴交于点C，且OC＝3OB．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设直线AC的解析式为y＝kx+b，求点A的坐标，并结合图象写出不等式x2+2x+c≥kx+b的解集；
(3)已知点P(﹣3，1)，Q(2，2t+1)，且线段PQ与抛物线y＝x2+2x+c有且只有一个公共点，直接写出t的取值范围．

【分析】(1)设B(m，0)，可得C(0，﹣3m)，代入y＝x2+2x+c即可解得抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
(2)令y＝0可得A(﹣3，0)，由图象即得不等式x2+2x+c≥kx+b的解集为x≤﹣3或x≥0；
(3)设直线x＝2与抛物线y＝x2+2x﹣3交于K，当Q在K及K下方时，线段PQ与抛物线y＝x2+2x﹣3有且只有一个公共点，在y＝x2+2x﹣3中，令x＝2得y＝5，根据2t+1≤5，可得t的取值范围是t≤2．
【解析】(1)设B(m，0)，则OB＝m，
∵OC＝3OB，
∴OC＝3m，C(0，﹣3m)，
将B(m，0)，C(0，﹣3m)代入y＝x2+2x+c得：
，
解得(此时B不在x轴正半轴，舍去)或，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
(2)在y＝x2+2x﹣3中，令y＝0得x2+2x﹣3＝0，
解得x＝﹣3或x＝1，
∴A(﹣3，0)，
由图象可知，当x≤﹣3或x≥0时，抛物线在直线上方，即x2+2x+c≥kx+b，
∴不等式x2+2x+c≥kx+b的解集为x≤﹣3或x≥0；
(3)设直线x＝2与抛物线y＝x2+2x﹣3交于K，如图：

由图可知，当Q在K及K下方时，线段PQ与抛物线y＝x2+2x﹣3有且只有一个公共点，
在y＝x2+2x﹣3中，令x＝2得y＝22+2×2﹣3＝5，
∴2t+1≤5，
解得t≤2，
答：线段PQ与抛物线y＝x2+2x+c有且只有一个公共点，t的取值范围是t≤2．
10．(2022春•龙凤区期中)如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、B(点B在右侧)，与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a，动点P、Q同时从原点O出发，沿射线OB分别以每秒和2个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行．
(1)求a的值及t＝1秒时点P的坐标；
(2)当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；
(3)在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点(0，0)的对称点为R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．

【分析】(1)将A(a，﹣2a)代入y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2可求a的值，设P(m，﹣2m)，由OP＝，可求m的值，从而求出P点坐标；
(2)分别求出P(t，﹣2t)，Q(2t，﹣4t)，M(2t，﹣2t)，N(t，﹣4t)，根据在矩形移动的过程中，M点最先与抛物线有交点，点N是抛物线与矩形最后有交点，即可求t的范围；
(3)设R(m，﹣m2﹣2m+2)，则R'(﹣m，m2+2m﹣2)，由R′M＝，可得当(m+1)2＝时，R'M有最小值，解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1，即可求R(﹣1，)或(﹣﹣1，)．
【解析】(1)当x＝a时，y＝﹣2a，
∴A(a，﹣2a)，
∴﹣2a＝﹣a2﹣2a+4﹣a2，
解得a＝，
由题意可知a＝﹣，
∴y＝﹣x2﹣2x+2，
当t＝1时，OP＝，
设P(m，﹣2m)，
∴m＝，
∴m＝1，
∴P(1，﹣2)；
(2)由题意可知，OP＝t，OQ＝2t，
∴P(t，﹣2t)，Q(2t，﹣4t)，
∵四边形PMQN是矩形，
∴M(2t，﹣2t)，N(t，﹣4t)，
在矩形移动的过程中，M点最先与抛物线有交点，点N是抛物线与矩形最后有交点，
当M点在抛物线上时，﹣4t2﹣4t+2＝﹣2t，
解得t＝或t＝﹣1(舍)，
当N点在抛物线上时，﹣t2﹣2t+2＝﹣4t，
解得t＝1+或t＝﹣1﹣(舍)，
∴≤t≤1+时，矩形PMQN与抛物线有公共点；
(3)设R(m，﹣m2﹣2m+2)，
∴R'(﹣m，m2+2m﹣2)，
由(2)知，M(1，﹣1)，
∴R′M＝＝，
当(m+1)2＝时，R'M有最小值，
∴m＝﹣1或m＝﹣﹣1，
当y＝0时，﹣x2﹣2x+2＝0，
解得x＝﹣1+或x＝﹣1﹣，
∴抛物线与x轴的交点为(﹣1+，0)，(﹣1﹣，0)，
∵R点在x轴上方，
∴﹣1﹣＜m＜﹣1+，
∴m＝﹣1或m＝﹣﹣1，
∴R(﹣1，)或(﹣﹣1，)．
11．(2022春•鼓楼区校级期末)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2(a+1)x+a+2(a≠0)．
(1)当a＝﹣时，求抛物线的对称轴及顶点坐标；
(2)请直接写出二次函数图象的对称轴是直线(用含a的代数式表示)及二次函数图象经过的定点坐标是 　(1，0)　．
(3)若当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式；
(4)已知点A(0，﹣3)、B(5，﹣3)，若抛物线与线段AB只有一个公共点，请直接写出a的取值范围．
【分析】(1)利用对称轴公式求得对称轴为直线x＝﹣7，再代入解析式求得y的值，即可求得顶点坐标；
(2)利用对称轴公式求得对称轴，把解析式变形得到y＝(x﹣1)[a(x﹣1)﹣2]，即可得到二次函数经过的定点坐标为(1，0)；
(3)根据(2)可知：二次函数图象的对称轴为直线x＝1+，分a＞0或a＜0两种情况，分对称轴在已知范围的左边，中间，右边分类讨论最值即可解答；
(4)分类讨论顶点在线段AB上，a＞0，a＜0，由点A，B和抛物线的位置结合图象求解．
【解析】(1)a＝﹣时，y＝﹣x2﹣x+
∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣7，
把x＝﹣7代入y＝﹣x2﹣x+得，y＝8，
∴顶点坐标为(﹣7，8)；
(2)∵y＝ax2﹣2(a+1)x+a+2(a≠0)．
∴对称轴为直线x＝﹣＝1+，
∵y＝ax2﹣2(a+1)x+a+2＝a(x﹣1)2﹣2(x﹣1)＝(x﹣1)[a(x﹣1)﹣2]，
∴二次函数经过的定点坐标为(1，0)；
故答案为：(1，0)；
(3)由(2)知：二次函数图象的对称轴为直线x＝1+，
分两种情况：
①当a＜0时，1+＜1，
在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而减小，
∴当x＝1时，y＝0，
而当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，
所以此种情况不成立；
②当a＞0时，1+＞1，
i)当1＜1+≤3时，即a≥，
当x＝5时，二次函数的最大值为y＝25a﹣10(a+1)+a+2＝8，
∴a＝1，
此时二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3；
ii)当1+＞3时，
在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而减小，即x＝1有最大值，
所以此种情况不成立；
综上所述：此时二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+3；
(4)分三种情况：
①当抛物线的顶点在线段AB上时，抛物线与线段AB只有一个公共点，
即当y＝﹣3时，ax2﹣2(a+1)x+a+2＝﹣3，
ax2﹣2(a+1)x+a+5＝0，
Δ＝4(a+1)2﹣4a(a+5)＝0，
∴a＝，
当a＝时，x2﹣x+＝0，
解得：x1＝x2＝4(符合题意，如图1)，

②当a＞0时，如图2，

当x＝0时，y＞﹣3；当x＝5时，y＜﹣3，
∴，
解得：﹣5＜a＜，
∴0＜a＜；
③当a＜0时，如图3，

当x＝0时，y＞﹣3；当x＝5时，y＜﹣3，
∴，
解得：﹣5＜a＜，
∴﹣5＜a＜0；
综上所述，a的取值范围是：a＝或0＜a＜或﹣5＜a＜0．
12．(2022•绥江县二模)已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a(a＜0)的图象经过(3，0)．
(1)求二次函数的对称轴；
(2)点A的坐标为(1，0)，将点A向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到点B，若二次函数的图象与线段AB有公共点，求a的取值范围．
【分析】(1)首先利用待定系数法确定函数解析式，然后利用对称轴方程求解；
(2)根据平移的性质求得B(2，3)，然后由“二次函数的图象与线段AB有公共点”得到4a﹣4a﹣3a≤3，通过解该不等式求得答案．
【解析】(1)∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a(a＜0)的图象经过(3，0)，
∴把(3，0)代入y＝ax2+bx﹣3a，得
9a+3b﹣3a＝0，
化简，得b＝﹣2a，
∴二次函数的对称轴为：．

(2)∵点A的坐标为(1，0)，将点A向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到点B，
∴B(2，3)，
∵a＜0，开口向下，
∴二次函数图象与线段AB有交点时，4a﹣4a﹣3a≤3，
解得a≥﹣1，
故a的取值范围是：﹣1≤a＜0．
13．(2022•南京一模)已知二次函数y＝a(x﹣1)(x﹣1﹣a)(a为常数，且a≠0)．
(1)求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点；
(2)若点(0，y1)，(3，y2)在函数图象上，比较y1与y2的大小；
(3)当0＜x＜3时，y＜2，直接写出a的取值范围．
【分析】(1)令y＝0，可得出x的两个解，且两个解不相等即可得出结论；
(2)先求出y1﹣y2＝3a(a﹣1)，然后分三种情况讨论即可；．
(3)先求出抛物线与x轴的交点，对称轴，顶点坐标，然后在0＜x＜3范围内分a＞0和a＜0两种情况确定函数的最大值，从而得出结论．
【解答】(1)证明：令y＝0，即a(x﹣1)(x﹣1﹣a)＝0，
∵a≠0，
∴x﹣1＝0或x﹣1﹣a＝0，即x1＝1，x2＝1+a，
∵1≠1+a，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴该函数的图象与x轴总有两个公共点；
(2)∵点(0，y1)，(3，y2)在函数图象上，
∴y1＝a2+a，y2＝﹣2a2+4a．
∴y1﹣y2＝a2+a+2a2﹣4a＝3a2﹣3a．
∴当a＜0或a＞1时，y1＞y2，
当a＝1时，y1＝y2，
当0＜a＜1时，y1＜y2；
(3)∵二次函数v＝a(x﹣1)(x﹣1﹣a)，
整理可得：y＝ax2﹣a(a+2)x+a(a+1)，
由(1)可知：当y＝0时，解得：x＝1，x＝1+a，
∴二次函数的图象交轴于(﹣1，0)和(1+a，0)两点，
对称轴x＝﹣＝，
当x＝时，
y＝a(﹣1)(﹣1﹣a)＝a××(﹣)＝﹣
∴二次函数图象的顶点坐标为(，﹣)，
由(2)可知：当x＝0时，y1＝a2+a，
当t＝3时，y2＝﹣2a2+4a，
当a＞0时，二次函数的图象开口向上，
∵0＜x＜3，
∴，
解得：﹣2≤a≤1，
∴0＜a≤I，
当a＜0时，二次函数图象开口向下，
∵对称轴x＝，
当0＜＜3，即_2＜a＜0时，
二次函数图象在顶点处取得最大值，
∴﹣＜2
解得：a＞﹣2，
∴﹣2＜a＜0，
当≤0，即a≤﹣2，
由题意可知，a2+a≤2，解得：﹣2≤a≤1，
即a＝﹣2，
综上所述，当0＜x＜3时，y＜2，a的取值范围是：﹣2≤a≤1，且a≠0．
14．(2022•余姚市一模)已知：一次函数y1＝2x﹣2，二次函数y2＝﹣x2+bx+c(b，c为常数)，
(1)如图，两函数图象交于点(3，m)，(n，﹣6)．求二次函数的表达式，并写出当y1＜y2时x的取值范围．
(2)请写出一组b，c的值，使两函数图象只有一个公共点，并说明理由．

【分析】(1)将(3，m)，(n，﹣6)代入直线解析式求出点坐标，然后通过待定系数法求解，根据图象可得y1＜y2时x的取值范围．
(2)﹣x2+bx+c＝2x﹣2，由Δ＝0求解．
【解析】(1)将(3，m)代入y1＝2x﹣2得m＝6﹣2＝4，
将(n，﹣6)代入y1＝2x﹣2得﹣6＝2n﹣2，
解得n＝﹣2，
∴抛物线经过点(3，4)，(﹣2，﹣6)，
将(3，4)，(﹣2，﹣6)代入y2＝﹣x2+bx+c得，
解得，
∴y＝﹣x2+3x+4，
由图象可得﹣2＜x＜3时，抛物线在直线上方，
∴y1＜y2时x的取值范围是﹣2＜x＜3．
(2)令﹣x2+bx+c＝2x﹣2，整理得x2+(2﹣b)x﹣(2+c)＝0，
当Δ＝(2﹣b)2+4(2+c)＝0时，两函数图象只有一个公共点，
∴b＝2，c＝﹣2，满足题意．
15．(2022•花溪区模拟)已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A(﹣2，1)，B(2，﹣3)两点
(1)求分别以A(﹣2，1)，B(2，﹣3)两点为顶点的二次函数表达式；
(2)求b的值，判断此二次函数图象与x轴的交点情况，并说明理由；
(3)设(m，0)是该函数图象与x轴的一个公共点．当﹣3＜m＜﹣1时，结合函数图象，写出a的取值范围．

【分析】(1)利用待定系数法即可求得；
(2)把已知点代入解析式，两式联立即可求出b的值；
(3)把m代入ax2+bx+c＝0中，写出判别式的值，根据图象经过(﹣2，1)，(2，﹣3)两点，分a＞0和a＜0两种情况讨论即可．
【解析】(1)当顶点为A时，设二次函数的解析式为y＝a(x+2)2+1，
把B的坐标代入得，﹣3＝16a+1，
解得a＝﹣，
故当A为顶点时的二次函数表达式为y＝﹣(x+2)2+1；
当顶点为B时，设二次函数的解析式为y＝a(x﹣2)2﹣3，
把A的坐标代入得，1＝16a﹣3，
解得a＝，
故当B为顶点时的二次函数表达式为y＝(x﹣2)2﹣3；
(2)把(﹣2，1)，(2，﹣3)代入y＝ax2+bx+c中，
得：，
两式相减得﹣4＝4b，
∴b＝﹣1；
∵二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A(﹣2，1)，B(2，﹣3)两点，
∴此二次函数图象与x轴有两个交点．
(3)∵b＝﹣1，
∴y＝ax2﹣x+c，
∵经过A(﹣2，1)，
∴4a+2+c＝1，
∴c＝﹣1﹣4a，
由题意得：am2﹣m+c＝0，
∴am2﹣m﹣1﹣4a＝0，
△＝1﹣4a(﹣1﹣4a)＝1+4a+16a2，
当a＞0时，
则当x＝﹣1时，y＝a+1﹣1﹣4a＜0，解得a＞0；
当a＜0时，
则当x＝﹣3时，y＝9a+3﹣1﹣4a＝5a+2＜0，解得a＜﹣．
则a＜﹣．
综上：a＞0或a＜﹣．
16．(2022•无锡模拟)在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是(0，﹣3)，(0，4)，点P(m，0)(m≠0)是x轴上一个动点，过点A作直线AC⊥BP于点D，直线AC与x轴交于点C，过点P作PE∥y轴，交AC于点E．
(1)当点P在x轴的正半轴上运动时，是否存在点P，使△OCD与△OBD相似？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
(2)小明通过研究发现：当点P在x轴上运动时，点E(x，y)也相应的在二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象上运动，为了确定函数解析式小明选取了一些点P的特殊的位置，计算了点E(x，y)的坐标，列表如下：
x
　﹣2　
　0　
　2　
y
　0　
　﹣3　
　0　
请填写表中空格，并根据表中数据求出二次函数的函数解析式；
(3)把(2)中所求的抛物线向左平移n个单位长度，把直线y＝﹣2x﹣4向下平移n个单位长度，如果平移后的抛物线对称轴右边部分与平移后的直线有公共点，那么请直接写出n的取值范围．
【分析】(1)由图形可知，∠ABD＝∠ACO，当∠OPD＝∠PDO时，△OCD与△OBD相似，通过证∠BAP＝∠PAD，△BOP∽△BDA，利用相似三角形的性质，三角形内角分线的性质即可求出m值；
(2)当点P与点C，点O重合时，求出点E的坐标，问题可解；
(3)先求出平移后的抛物线和平移后的直线的解析式，将平移后的直线方程代入平移后的抛物线解析式求出m的值即可求出n的取值范围．
【解析】(1)存在点P，使△OCD与△OBD相似，理由如下：
如图，
∵BP⊥AC，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，
∵∠OAC+∠ACO＝90°，
∴∠ABD＝∠ACO，
当∠COD＝∠BDO时，OP＝PD，△OCD∽△DBO，
连接AP，则∠AOD＝∠ADO，
∴AO＝AD，
∵A(0，﹣3)，B(0，4)，
∴OB＝4，OA＝AD＝3，
∵AP＝AP，
∴△AOP≌△ADP(SAS)，
∴∠BAP＝∠DAP，OP＝DP，
∴BP：OP＝BP：PD＝AB：AD，
∵P(m，0)，OP＝PD＝m，AB＝OB+OA＝7，AD＝AO＝3，
∴BP：m＝7：3，
∴BP＝m，
由△BOP∽△BDA得，OP：AD＝OB：BD，BD＝BP+PD＝m，
∴m：3＝4：(m)，解得m＝(负值舍去)；
∴m的值为．
(2)点P与点C重合时，点P与点E重合，分两种情况：
①当m＞0时，如图，
∵∠APB＝90°，PO⊥AB，
∴Rt△OPB∽Rt△OAP，
∴OP：OA＝OB：OP，
∴OP：3＝4：OP，
∴OP＝2，
∴P(2，0)，即点E的坐标为(2，0)；
同理，当m＜0时，如图，点E的坐标为(﹣2，0)；
当点P与原点重合，点E与点A重合时，点E的坐标为(0，﹣3)；
填写表格如下：
x
﹣2
0
2
y
0
﹣3
0
∴抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)关于y轴对称，b＝0，c＝﹣3，
∴12a﹣3＝0，解得a＝，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3．
(3)∵抛物线y＝x2﹣3向左平移n个单位后为：y＝(x+n)2﹣3，
∴抛物线的顶点为(﹣n，﹣3)，
直线y＝﹣2x﹣4向下平移n个单位为：y＝﹣2x﹣4﹣n，
将顶点(﹣n，﹣3)代入y＝﹣2x﹣4﹣n得，﹣2(﹣n)﹣4﹣n＝﹣3，解得n＝1，
∴平移后的抛物线对称轴右边部分与平移后的直线有公共点时n的取值范围为n＞1．




17．(2022•朝阳区校级一模)在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+2mx﹣6m(x≤2m，m为常数)的图象记作G，图象G上点A的横坐标为2m．平面内有点C(﹣2，﹣2)．当AC不与坐标轴平行时，以AC为对角线构造矩形ABCD，AB与x轴平行，BC与y轴平行．
(1)当m＝﹣2，求图象G的最高点坐标；
(2)若图象G过点(3，﹣9)，求出m的取值范围；
(3)若矩形ABCD为正方形时，求点A坐标；
(4)图象G与矩形ABCD的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围．
【分析】(1)由m＝﹣2代入抛物线解析式，将二次函数解析式化为顶点式求解．
(2)由抛物线解析式可得抛物线经过定点(3，﹣9)，根据3≤2m求解．
(3)将x＝2m代入抛物线解析式求出点A坐标，由正方形的性质可得|xA﹣xC|＝|yA﹣yC|，进而求解．
(4)分类讨论，根据AB与CD，AD与BC的位置关系，结合对应抛物线的顶点位置结合图象求解．
【解析】(1)m＝﹣2时，y＝﹣x2﹣4x+12＝﹣(x+2)2+16(x≤﹣4)，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为(﹣2，16)，
∵﹣4＜﹣2，
∴x＝﹣4时，y＝﹣16+16+12＝12为函数最大值，
∴图象G的最高点坐标为(﹣4，12)．
(2)∵y＝﹣x2+2mx﹣6m＝﹣(x﹣m)2+m2﹣6m，
∴抛物线对称轴为直线x＝m，
将x＝3代入y＝﹣x2+2mx﹣6m＝﹣9，
∴抛物线过定点(3，﹣9)，
∴2m≥3，
解得m≥．
(3)将x＝2m代入y＝﹣x2+2mx﹣6m得y＝﹣6m，
∴点A坐标为(2m，﹣6m)，
∵C(﹣2，﹣2)，
∴|xA﹣xC|＝|yA﹣yC|，
∴2m+2＝﹣6m+2或2m+2＝﹣2+6m，
解得m＝0或m＝1，
∴点A坐标为(0，0)或(2，﹣6)．
(4)点A为抛物线与矩形交点，
当m＞0时，抛物线对称轴在线段AD左侧，y轴右侧，
当﹣6m＜﹣2时，AB在CD下方，m＞，
∴当抛物线顶点(m，m2﹣6m)在CD下方时满足题意，
∴m2﹣6m＜﹣2，
解得3﹣＜m＜3+，

当﹣1＜m≤0时，AD在BC右侧，抛物线对称轴在AD右侧，抛物线在矩形内部的部分y随x增大而增大，满足题意，

当m＜﹣1时，图象G与矩形只有1交点为A，
综上所述，3﹣＜m＜3+或﹣1＜m≤0．
18．(2022•如东县一模)定义：若两个函数的图象关于某一点P中心对称，则称这两个函数关于点P互为“伴随函数”．例如，函数y＝x2与y＝﹣x2关于原点O互为“伴随函数”．
(1)函数y＝x+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 　y＝x﹣1　，函数y＝(x﹣2)2+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 　y＝﹣(x+2)2﹣1　；
(2)已知函数y＝x2﹣2x与函数G关于点P(m，3)互为“伴随函数”．若当m＜x＜7时，函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，求m的取值范围；
(3)已知点A(0，1)，点B(4，1)，点C(2，0)，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a(a＞0)与函数N关于点C互为“伴随函数”，将二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a(a＞0)与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段AB恰有2个公共点，直接写出a的取值范围．
【分析】(1)结合新定义利用待定系数法解答即可；
(2)利用数形结合的方法结合图象，利用新定义的规定解得即可；
(3)利用分类讨论的方法分三种情况解答：①当“伴随函数”的顶点在AB上时，求得函数N的顶点坐标，利用对称性求得对称点的坐标，利用待定系数法即可求解；②当两个函数的交点在AB上时，利用两函数与x轴的交点坐标，求函数N的解析式，令y＝1，即可求得a值；③当“伴随函数”经过点B时，将坐标代入函数N的解析式即可确定a的取值范围．
【解析】(1)∵两个函数是关于原点O的“伴随函数”，
∴两个函数的点分别关于原点中心对称，
设函数y＝x+1上的任一点为(x，y)，则它的对称点为(﹣x，﹣y)，
将(﹣x，﹣y)代入函数y＝x+1得：
﹣y＝﹣x+1，
∴y＝x﹣1．
函数y＝x+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为y＝x﹣1；
同理可得，函数y＝(x﹣2)2+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为y＝﹣(x+2)2﹣1，
故答案为：y＝x﹣1；y＝﹣(x+2)2﹣1；
(2)如图，当m＜x＜7时，函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，

∵“伴随函数”的开口方向向下，
∴在对称轴的左侧y随自变量x的增大而增大，
∴m＜7，同时“伴随函数”的对称轴应与直线x＝7重合或在直线x＝7的左侧，
∴m≥，
∴m≥4，
综上，函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，m的取值范围为4≤m＜7；
(3)a的取值范围为a＝或a＝或a＞．理由：
①当“伴随函数”的顶点在AB上时，如图，

∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a(x﹣1)2﹣4a，
∴二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a的对称轴为直线x＝1，
∵点C(2，0)为对称中心，
∴函数N的对称轴为直线x＝3，
∴函数N的顶点坐标为(3，1)，
∵(3，1)关于点C(2，0)对称的点为(1，﹣1)，
∴将(1，﹣1)代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得：
a﹣2a﹣3a＝﹣1，
∴a＝；
②当两个函数的交点在AB上时，如图，

二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴的交点为(﹣1，0)和(3，0)，
∵点C(2，0)为对称中心，
∴函数N与x轴的交点为(5，0)和(1，0)，
∴函数N的解析式为y＝﹣ax2+6ax﹣5a，
当y＝1时，
，
解得：a＝；
③当“伴随函数”经过点B时，如图，

∵点B(4，1)，
∴1＝﹣a×16+6a×4﹣5a，
解得：a＝．
综上，图形W与线段AB恰有2个公共点，a的取值范围为a＝或a＝或a＞．
19．(2022•南京模拟)对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“距离”，记作d(M，N)．特别的，当图形M，N有公共点时，记作d(M，N)＝0．一次函数y＝kx+2的图象为L，L与y轴交点为D，在△ABC中，A(0，1)，B(﹣1，0)，C(1，0)．
(1)求d(点D，△ABC)＝　1　；当k＝1时，求d(L，△ABC)＝　　；
(2)若d(L，△ABC)＝0，直接写出k的取值范围 　k≥2或k≤﹣2　；
(3)函数y＝x+b的图象记为W，若d(W，△ABC)≤2，则b的取值范围是 　﹣1﹣2≤b≤1+2　．

【分析】(1)将x＝0代入直线解析式求出点D坐标，然后结合图象求解．
(2)分别求出直线经过点B，C时k的值，结合图象求解．
(3)由y＝x+b与AB平行，结合图象分别求出d(W，△ABC)＝2时b的值，进而求解．
【解析】(1)将x＝0代入y＝kx+2得y＝2，
∴D(0，2)，
∴d(点D，△ABC)＝点D(0，2)到点A(0，1)的距离，
即AD＝2﹣1＝1，
当k＝1时，y＝x+2，直线L与AB平行，
如图，作AE⊥直线y＝x+2，

∵三角形ADE为等腰直角三角形，AD＝1，
∴AF＝＝，
故答案为：1，．
(2)若d(L，△ABC)＝0，则直线L与三角形ABC有交点，
当直线L经过点B时，将(﹣1，0)代入y＝kx+2得0＝﹣k+2，
解得k＝2，

∴k≥2满足题意，
当直线L经过点C时，将(1，0)代入y＝kx+2得0＝k+2，
解得k＝﹣2，

∴k≤﹣2满足题意，
故答案为：k≥2或k≤﹣2．
(3)将x＝0代入y＝x+b得y＝b，
∴直线y＝x+b与y轴交点为(0，b)，
如图，当b＞0时，设直线y＝x+b与y轴交点为M，与x轴交点为N，作AG⊥MN于点G，

∵直线MN∥AB，
∴当AG＝2时，AM＝AG＝2，
∴点M坐标为(0，1+2)，
∴b＝1+2，
当b＜0时，设直线y＝x+b与y轴交点为Q，与x轴交点为P，作CH⊥PQ于点H，

同理，当CH＝2时，CP＝CH＝2，
∴OQ＝OP＝OC+CP＝1+2，
∴b＝﹣1﹣2，
∴﹣1﹣2≤b≤1+2时符合题意．
故答案为：﹣1﹣2≤b≤1+2．
20．(2022•南京模拟)若一个函数图象上存在横纵坐标互为相反数的点，我们将其称之为“反值点”，例如直线y＝x+2的图象上的(﹣1，1)即为反值点．
(1)判断反比例函数的图象上是否存在反值点？若存在，求出反值点的坐标，若不存在，说明理由；
(2)判断关于x的函数(a是常数)的图象上是否存在反值点？若存在，求出反值点的坐标，若不存在，说明理由；
(3)将二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象向上平移m(m为常数，且m＞0)个单位后，若在其图象上存在两个反值点，求m的取值范围．
【分析】(1)当y＝﹣x时，由“反值点”的定义列出方程，解方程即可得出结论；
(2)若y＝﹣x，可得，即可判定此方程无解，据此即可解答；
(3)首先根据在其图象上存在两个反值点，可得x2﹣2x﹣3+m＝﹣x，再根据一元二次方程根的判别式及m＞0，即可求得m的取值范围．
【解析】(1)反比例函数的图象上存在反值点．理由如下：
∵一个函数图象上存在横纵坐标互为相反数的点，我们将其称之为“反值点“，
∴当y＝﹣x时，即，
解得：x＝3或x＝﹣3，
当x＝3时，，
当x＝﹣3时，，
∴反值点的坐标为(3，﹣3)或(﹣3，3)；
(2)关于x的函数(a是常数)的图象上不存在反值点．理由如下：
∵一个函数图象上存在横纵坐标互为相反数的点，我们将其称之为“反值点，
∴若y＝﹣x，则，
整理，得：x2+2x+a2+2＝0，
∴Δ＝22﹣4(a2+2)＝﹣4(a2+1)，
∵a2+1＞0，
∴﹣4(a2+1)＜0，
∴此方程无实数根，
∴假设不成立，
∴关于x的函数(a是常数)的图象上不存在反值点；
(3)由题意可知：将二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象向上平移m(m为常数，且m＞0)个单位后所得函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3+m，
∵在其图象上存在两个反值点，
∴x2﹣2x﹣3+m＝﹣x，
整理，得：x2﹣x+m﹣3＝0，
∴Δ＝(﹣1)2﹣4×1×(m﹣3)＝13﹣4m＞0，
解得：，
∵m＞0，
∴m的取值范围是．