专题 等时圆模型(课件)-高中物理课件（人教版2019必修第一册）

第四章 运动和力的关系专题　等时圆模型五类光滑斜面（等时圆模型）典例分析拓展 最速降线θggsinθgcosθ五类光滑斜面（等时圆模型）屋檐倾角多大时，下雨天最不容易积水 ？质点从竖直面内的圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等,如图乙所示;等时性的证明设某一条光滑弦与水平方向的夹角为α,圆的直径为d(如图丁)。质点沿光滑弦做初速度为零的匀加速直线运动,加速度为a=g sin α,位移为s=d sin α,所以运动时间为t0= = = 。质点从竖直面内的圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等,如图甲所示;实验中摩擦等因素会对运动时间产生影响两个竖直面内的圆环相切且两环的竖直直径均过切点,质点沿不同的光滑弦上端由静止开始经切点滑到下端所用时间相等,如图丙所示。“等时圆”模型模型示例分析思路等时圆的构建和内外点的时间比较等时轨道的构建和时间的定性判断 ❶设置顶点1，过顶点1作竖直线 ❷设置顶点2，过顶点2作轨道垂线 ❸找圆心，作等时圆 ❹找等时点和确定非等时点，在圆上等时；圆内时短；圆外时长典例分析【例题】如图所示,位于竖直平面内的固定光滑圆环轨道与水平面相切于M点,与竖直墙相切于A点。竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°,C是圆环轨道的圆心。已知在同一时刻a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道AM、BM运动到M点;c球由C点自由下落到M点。则 (    　)A.a球最先到达M点B.b球最先到达M点C.c球最先到达M点D.b球和c球都可能最先到达M点C审题关键　这里只有a球路径属于等时圆模型,b、c球如何跟等时圆模型建立联系?提示:b球路径比等时圆弦长要长,c球路径是直径的1/2解析　由等时圆模型知,a球运动时间小于b球运动时间,a球运动时间和沿过CM的直径的下落时间相等,所以从C点自由下落到M点的c球运动时间最短,故C正确。【例题】[构造等时圆]如图所示,固定支架ACB中,AC竖直,AB为光滑钢丝,AC=BC=l,一穿在钢丝中的小球从A点静止出发,则它滑到B点的时间t为 (　　)A. 　　    B. 　　    C.2 　　    D.  C解析    AC=BC=l,以C点为圆心、长度l为半径画圆,则A、B两点均在圆周上,所以t= =2 ,C正确。【例题】如图，在斜坡上有一根旗杆长为L，现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝AB滑至斜坡底部，又知OB=L。求小环从A滑到B的时间。【例题】（2021年全国甲卷T14）如图，将光滑长平板的下端置于铁架台水平底座上的挡板P处，上部架在横杆上。横杆的位置可在竖直杆上调节，使得平板与底座之间的夹角θ可变。将小物块由平板与竖直杆交点Q处静止释放，物块沿平板从Q点滑至P点所用的时间t与夹角θ的大小有关。若θ由30°逐渐增大至60°，物块的下滑时间t将（ ）A.逐渐增大　　　　　　　　B.逐渐减小C.先增大后减小　　　　　　　　D.先减小后增大D解析：【例题】（2022年全国乙卷T16）固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环。小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于（ ）A.它滑过的弧长B.它下降的高度C.它到P点的距离D.它与P点的连线扫过的面积C暂时超纲解析：【例题】[等时圆扩展](2020山东聊城模拟)如图所示,ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆,a、b、c、d位于同一圆周上,a点为圆周的最高点,d点为最低点。每根杆上都套有一个完全相同的小滑环(图中未画出),三个滑环分别从a、b、c点无初速度释放,下列关于它们下滑到d的过程的说法中正确的是(　　)A.沿cd细杆下滑的滑环用时最长B.重力对各环的冲量中沿ad下滑的最小C.弹力对各环的冲量中沿cd下滑的最大D.各力对各环的冲量大小相等 C暂时超纲拓展 最速降线 在一个斜面上，摆几条轨道，一条是直线，其他是曲线，起点高度以及终点高度都相同。一样的小球同时从起点向下滑落，哪个小球先到终点。伽利略于1630年提出了这个问题，当时他认为这条线应该是一条圆弧，可是后来人们发现这个答案是错误的！1696年，瑞士数学家约翰·伯努利解决了这个问题，他还拿这个问题向其他数学家提出了公开挑战。牛顿、莱布尼兹、洛比达以及雅克布·伯努利等解决了这个问题。这条最速降线就是一条摆线，也叫旋轮线。值得一提的是，53岁的牛顿在铸币局下班后，晚上回家看到挑战信后，生气的牛顿说“我讨厌有人在数学问题上挑战我”。他只花了几个小时的时间就用几何方法证明了这个最速降线是一条摆线。拓展 摆线（电磁复合场中的特殊题型）摆线，又称旋轮线、圆滚线，在数学中，摆线定义为一个圆沿一条直线运动时，圆边界上一定点所形成的轨迹。（最速降线是把下图上翻180°）最速降线（摆线）还有一个非常重要的性质——等时性。即摆线上除了终点之外的任何一点放置一个物体（轨道光滑），物体滑到底端所用的时间总是相等的。上：可以看出，此结果十分类似于单摆的周期公式，更准确地说用该式与单摆小角度时的周期公式相吻合。说明单摆（上图红球）的等时性是小角度摆动下的一个近似结论。感谢您的耐心聆听I'd like to finish by saying how grateful I am for your attention.