高中数学高考第4讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

第4讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

一、选择题

1.(2016·全国Ⅱ卷)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为(　　)

A.x＝－(k∈Z)   B.x＝＋(k∈Z)

C.x＝－(k∈Z)   D.x＝＋(k∈Z)

解析　由题意将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y＝2sin，由2x＋＝kπ＋得函数的对称轴为x＝＋(k∈Z)，故选B.

答案　B

2.(2017·衡水中学金卷)若函数y＝sin(ωx－φ)(ω>0，|φ |<)在区间上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　　)

A.ω＝2，φ＝    B.ω＝2，φ＝－

C.ω＝，φ＝    D.ω＝，φ＝－

解析　由图可知，T＝2＝π，所以ω＝＝2，又sin＝0，所以－φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝－kπ(k∈Z)，而|φ|<，所以φ＝，故 选A.

答案　A

3.(2017·昆明市两区七校模拟)将函数f(x)＝sin x－cos x的图象沿着x轴向右平移a(a>0)个单位后的图象关于y轴对称，则a的最小值是(　　)

A.    B.

C.    D.

解析　依题意得f(x)＝2sin，因为函数f(x－a)＝2sin的图象关于y轴对称，所以sin＝±1，a＋＝kπ＋，k∈Z，即a＝kπ＋，k∈Z，

因此正数a的最小值是，选B.

答案　B

4.(2016·长沙模拟)函数f(x)＝3sinx－logx的零点的个数是(　　)

A.2   B.3   C.4   D.5

解析　函数y＝3sinx的周期T＝＝4，由logx＝3，可得x＝.由logx＝－3，可得x＝8.在同一平面直角坐标系中，作出函数y＝3sinx和y＝logx的图象(如图所示)，易知有5个交点，故函数f(x)有5个零点.

答案　D

5.(2017·呼和浩特调研)如图是函数f(x)＝sin 2x和函数g(x)的部分图象，则g(x)的图象可能是由f(x)的图象(　　)

A.向右平移个单位得到的

B.向右平移个单位得到的

C.向右平移个单位得到的

D.向右平移个单位得到的

解析　由函数f(x)＝sin 2x和函数g(x)的部分图象，可得g(x)的图象位于y轴右侧的第一个最高点的横坐标为m，则有－m＝－，解得m＝，故把函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移－＝个单位，即可得到函数g(x)的图象，故选B.

答案　B

二、填空题

6.(2016·龙岩模拟)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y＝a＋Acos(x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃.

解析　因为当x＝6时，y＝a＋A＝28；

当x＝12时，y＝a－A＝18，所以a＝23，A＝5，

所以y＝f(x)＝23＋5cos，

所以当x＝10时，f(10)＝23＋5cos

＝23－5×＝20.5.

答案　20.5

7.(2016·全国Ⅲ卷)函数y＝sin x－cos x的图象可由函数y＝sin x＋cos x的图象至少向右平移________个单位长度得到.

解析　y＝sin x－cos x＝2sin，y＝sin x＋cos x＝2sin，因此至少向右平移个单位长度得到.

答案　

8.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2，且过点，则函数f(x)的解析式为________.

解析　据已知两个相邻最高和最低点距离为2，可得＝2，解得T＝4，故ω＝＝，

即f(x)＝sin.又函数图象过点，

故f(2)＝sin＝－sin φ＝－，

又－≤φ≤，

解得φ＝，故f(x)＝sin.

答案　f(x)＝sin

三、解答题

9.已知函数f(x)＝sin ωx＋cos，其中x∈R，ω＞0.

(1)当ω＝1时，求f的值；

(2)当f(x)的最小正周期为π时，求f(x)在上取得最大值时x的值.

解　(1)当ω＝1时，f＝sin ＋cos

＝＋0＝.

(2)f(x)＝sin ωx＋cos

＝sin ωx＋cos ωx－sin ωx

＝sin ωx＋cos ωx＝sin.

∵＝π，且ω＞0，得ω＝2，∴f(x)＝sin.

由x∈，得2x＋∈，

∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝1.

10.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻最高点的距离为π.

(1)求f的值；

(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.

解　(1)因为f(x)的图象上相邻最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.

又f(x)的图象关于直线x＝对称，所以2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，因为－≤φ＜，所以k＝0，

所以φ＝－＝－，所以f(x)＝sin，

则f＝sin＝sin ＝.

(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到

f的图象，

所以g(x)＝f＝sin

＝sin.

当2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减.

因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z).

11.(2017·西安调研)设函数f(x)＝sin，则下列结论正确的是(　　)

A.f(x)的图象关于直线x＝对称

B.f(x)的图象关于点对称

C.f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数

D.把f(x)的图象向右平移个单位，得到一个偶函数的图象

解析　对于函数f(x)＝sin，当x＝时，

f＝sin ＝，故A错；当x＝时，

f＝sin ＝1，故不是函数的对称点，故B错；函数的最小正周期为T＝＝π，当x∈时，

2x＋∈，此时函数为增函数，故C正确；

把f(x)的图象向右平移个单位，得到g(x)＝sin＝sin 2x，函数是奇函数，故D错.

答案　C

12.(2017·承德一模)已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是(　　)

A.∪[6，＋∞) B.∪

C.(－∞，－2]∪[6，＋∞) D.(－∞，－2]∪

解析　当ω>0时，－ω≤ωx≤ω，由题意知－ω≤－，即ω≥；当ω<0时，ω≤ωx≤－ω，由题意知ω≤－，∴ω≤－2.

综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪.

答案　D

13.已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为________.

解析　f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin.

由2sin＝1得sin＝，

∴ωx＋＝2kπ＋或ωx＋＝2kπ＋π(k∈Z).

令k＝0，得ωx1＋＝，ωx2＋＝π，

∴x1＝0，x2＝.

由|x1－x2|＝，得＝，∴ω＝2.

故f(x)的最小正周期T＝＝π.

答案　π

14.(2017·郑州模拟)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

(1)请将上表数据补充完整，并求出函数f(x)的解析式；

(2)将y＝f(x)的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象.若关于x的方程g(x)－(2m＋1)＝0在区间上有两个不同的解，求实数m的取值范围.

解　(1)根据表中已知数据，

解得A＝5，ω＝2，φ＝－.

数据补全如下表：

且函数表达式为f(x)＝5sin.

(2)通过平移，g(x)＝5sin，

方程g(x)－(2m＋1)＝0可看成函数y＝g(x)和函数y＝2m＋1的图象在上有两个交点，

当x∈时，2x＋∈，为使直线y＝2m＋1与函数y＝g(x)的图象在上有两个交点，结合函数y＝g(x)在[0，]上的图象，

只需≤2m＋1<5，解得≤m<2.

即实数m的取值范围为.