高中数学高考第4讲　幂函数与二次函数

第4讲　幂函数与二次函数

一、选择题

1.(2017·郑州外国语学校期中)已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的所有α的值为(　　)

A.1，3    B.－1，1

C.－1，3    D.－1，1，3

解析　因为函数y＝xα为奇函数，故α的可能值为－1，1，3.又y＝x－1的值域为{y|y≠0}，函数y＝x，y＝x3的值域都为R.所以符合要求的α的值为1，3.

答案　A

2.已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则(　　)

A.a>0，4a＋b＝0  B.a<0，4a＋b＝0

C.a>0，2a＋b＝0  D.a<0，2a＋b＝0

解析　因为f(0)＝f(4)>f(1)，所以函数图象应开口向上，即a>0，且其对称轴为x＝2，即－＝2，所以4a＋b＝0.

答案　A

3.在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax＋的图象可能是(　　)

解析　若a<0，由y＝xa的图象知排除C，D选项，由y＝ax＋的图象知应选B；若a>0，y＝xa的图象知排除A，B选项，但y＝ax＋的图象均不适合，综上选B.

答案　B

4.(2017·焦作模拟)函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋∞)上一定(　　)

A.有最小值    B.有最大值

C.是减函数    D.是增函数

解析　∵f(x)＝x2－2ax＋a在(－∞，1)上有最小值，且f(x)关于x＝a对称，∴a<1，则g(x)＝x＋－2a(x>1).

若a≤0，则g(x)在(1，＋∞)上是增函数，

若0<a<1，则g(x)在(，＋∞)上是增函数，

∴g(x)在(1，＋∞)上是增函数，

综上可得g(x)＝x＋－2a在(1，＋∞)上是增函数.

答案　D

5.若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是(　　)

A.(－∞，－2)    B.(－2，＋∞)

C.(－6，＋∞)    D.(－∞，－6)

解析　不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max，

令f(x)＝x2－4x－2，x∈(1，4)，

所以f(x)<f(4)＝－2，所以a<－2.

答案　A

二、填空题

6.已知P＝2－，Q＝，R＝，则P，Q，R的大小关系是________.

解析　P＝2－＝，根据函数y＝x3是R上的增函数，且>>，得>>，即P>R>Q.

答案　P>R>Q

7.若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是________.

解析　由f(x)＝－x2＋2ax在[1，2]上是减函数可得[1，2]⊆[a，＋∞)，∴a≤1.

∵y＝在(－1，＋∞)上为减函数，

∴由g(x)＝在[1，2]上是减函数可得a>0，

故0<a≤1.

答案　(0，1]

8.已知函数y＝f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝(x－1)2，若当x∈时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为________.

解析　当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)2，

∵x∈，

∴f(x)min＝f(－1)＝0，f(x)max＝f(－2)＝1，

∴m≥1，n≤0，m－n≥1.∴m－n的最小值是1.

答案　1

三、解答题

9.已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)的图象经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围.

解　幂函数f(x)的图象经过点(2，)，

∴＝2(m2＋m)－1，即2＝2(m2＋m)－1.

∴m2＋m＝2.解得m＝1或m＝－2.

又∵m∈N*，∴m＝1.∴f(x)＝x，

则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数.

由f(2－a)>f(a－1)得

解得1≤a<.∴a的取值范围为.

10.已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.

(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；

(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值.

解　(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，

对称轴x＝－∈[－2，3]，

∴f(x)min＝f＝－－3＝－，

f(x)max＝f(3)＝15，∴值域为.

(2)对称轴为x＝－.

①当－≤1，即a≥－时，

f(x)max＝f(3)＝6a＋3，

∴6a＋3＝1，即a＝－满足题意；

②当－>1，即a<－时，

f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，

∴－2a－1＝1，即a＝－1满足题意.

综上可知，a＝－或－1.

11.(2016·浙江卷)已知函数f(x)＝x2＋bx，则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的(　　)

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件

C.充分必要条件    D.既不充分也不必要条件

解析　∵f(x)＝x2＋bx＝－，当x＝－时，f(x)min＝－.

又f(f(x))＝(f(x))2＋bf(x)＝－，当f(x)＝－时，f(f(x))min＝－，当－≥－时，f(f(x))可以取到最小值－，即b2－2b≥0，解得b≤0或b≥2，故“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的充分不必要条件.

答案　A

12.(2017·长沙一中期中测试)函数f(x)＝(m2－m－1)x4m9－m5－1是幂函数，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0，若a，b∈R，且a＋b>0，则f(a)＋f(b)的值(　　)

A.恒大于0    B.恒小于0

C.等于0    D.无法判断

解析　依题意，幂函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，

∴解得m＝2，则f(x)＝x2 015.

∴函数f(x)＝x2 015在R上是奇函数，且为增函数.

由a＋b>0，得a>－b，

∴f(a)>f(－b)，则f(a)＋f(b)>0.

答案　A

13.已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是______.

解析　作出函数y＝f(x)的图象如图.则当0<k<1时，关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根.

答案　(0，1)

14.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R).

(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，

F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；

(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围.

解　(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，

解得a＝1，b＝2，∴f(x)＝(x＋1)2.

∴F(x)＝

∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.

(2)由a＝1，c＝0，得f(x)＝x2＋bx，

从而|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立等价于－1≤x2＋bx≤1在区间(0，1]上恒成立，

即b≤－x且b≥－－x在(0，1]上恒成立.

又－x的最小值为0，－－x的最大值为－2.

∴－2≤b≤0.

故b的取值范围是[－2，0].