高中数学高考第5章 §5 2　平面向量基本定理及坐标表示

这是一份高中数学高考第5章 §5 2　平面向量基本定理及坐标表示，共18页。试卷主要包含了了解平面向量基本定理及其意义等内容，欢迎下载使用。
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
知识梳理
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)).
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
常用结论
已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))；已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底．( × )
(2)设{a，b}是平面内的一个基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2).( × )
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．( √ )
教材改编题
1．(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2,3)，e2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(3,4)))
答案 BD
2．若P1(1,3)，P2(4,0)，且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为( )
A．(2,2) B．(3，－1)
C．(2,2)或(3，－1) D．(2,2)或(3,1)
答案 A
解析 设P(x，y)，由题意知eq \(P1P,\s\up6(—→))＝eq \f(1,3)eq \(P1P2,\s\up6(—→))，
∴(x－1，y－3)＝eq \f(1,3)(4－1,0－3)＝(1，－1)，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＝1，,y－3＝－1，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝2.))
3．已知向量a＝(x,1)，b＝(2，x－1)，若(2a－b)∥a，则x为________．
答案 2或－1
解析 2a－b＝(2x－2,3－x)，
∵(2a－b)∥a，
∴2x－2＝x(3－x)，
即x2－x－2＝0，解得x＝2或x＝－1.
题型一 平面向量基本定理的应用
例1 (1)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq \(EB,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)) B.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))
C.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)) D.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))
答案 A
(2)如图，已知平面内有三个向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，其中eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))的夹角为30°，且|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3).若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝______.
答案 6
解析 方法一 如图，作平行四边形OB1CA1，
则eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OB1,\s\up6(—→))＋eq \(OA1,\s\up6(—→))，
因为eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))的夹角为30°，
所以∠B1OC＝90°.
在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3)，
所以|eq \(OB1,\s\up6(—→))|＝2，|eq \(B1C,\s\up6(—→))|＝4，
所以|eq \(OA1,\s\up6(—→))|＝|eq \(B1C,\s\up6(—→))|＝4，
所以eq \(OC,\s\up6(→))＝4eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))，
所以λ＝4，μ＝2，
所以λ＋μ＝6.
方法二 以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(1,0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，C(3，eq \r(3))．
由eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＝λ－\f(1,2)μ，,\r(3)＝\f(\r(3),2)μ，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝4，,μ＝2.))
所以λ＋μ＝6.
教师备选
1.(2022·山东省实验中学等四校联考)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝eq \f(π,2)，AC＝2AB，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，则向量eq \(AD,\s\up6(→))等于( )
A．a＋b B.eq \f(1,2)a＋b
C．a＋eq \f(1,2)b D．a＋eq \f(2,3)b
答案 C
解析 设圆的半径为r，
在Rt△ABC中，∠ABC＝eq \f(π,2)，AC＝2AB，
所以∠BAC＝eq \f(π,3)，∠ACB＝eq \f(π,6)，
又∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，
所以∠ACB＝∠BAD＝∠CAD＝eq \f(π,6)，
则根据圆的性质得BD＝AB，
又因为在Rt△ABC中，AB＝eq \f(1,2)AC＝r＝OD，
所以四边形ABDO为菱形，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AO,\s\up6(→))＝a＋eq \f(1,2)b.
2.(2022·苏州质检)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若eq \(CG,\s\up6(→))＝λeq \(CD,\s\up6(→))＋μeq \(CB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则eq \f(λ,μ)＝________.
答案 eq \f(1,2)
解析 由题图可设eq \(CG,\s\up6(→))＝xeq \(CE,\s\up6(→))(0