高中数学高考第06讲 二次函数与幂函数 （讲）解析版

第06讲  二次函数与幂函数

【学科素养】数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象、数据分析

【课标解读】

1.了解二次函数、幂函数的概念，掌握幂函数，，的图象和性质。

2.了解幂函数的变化特征。

【备考策略】

1.与二次函数相关的单调性、最值问题，除单独考查外，多在题目中应用函数的图象和性质；

2.幂函数的图象与性质的应用；

3.在分段函数中考查幂函数的图象和性质。

【核心知识】

知识点一  幂函数

(1)幂函数的定义

一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.

(2)常见的5种幂函数的图象

(3)幂函数的性质

①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；

③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.

知识点二   二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式：

一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).

顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).

零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.

(2)二次函数的图象和性质

【特别提醒】

1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.

2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0，当时，恒有f(x)<0.

【高频考点】

高频考点一   幂函数的图象与性质

例1.(2018·上海卷)已知α∈，.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.

【答案】－1

【解析】由题意知α可取－1，1，3.又y＝xα在(0，＋∞)上是减函数，

∴α<0，取α＝－1.

【方法技巧】幂函数的性质与图象特征的关系

(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．

(2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．

(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.　

【变式探究】(2021·衡水中学调研)已知点(m,8)在幂函数f (x)＝(m－1)xn的图象上．设a＝f ，b＝f (ln π)，c＝f (2)，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a<c<b  B．a<b<c  C．b<c<a  D．b<a<c

【答案】A　

【解析】因为f (x)＝(m－1)xn为幂函数，

所以m－1＝1，则m＝2，f (x)＝xn.

又点(2,8)在函数f (x)＝xn的图象上，

所以8＝2n，知n＝3，故f (x)＝x3，且在R上是增函数．

又ln π>1>2＝>，

所以f (ln π)>f (2)>f ，则b>c>a.

【变式探究】(2021·山西省晋城模拟)当0<x<1时，f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x－2的大小关系是________．

【解析】如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0，1)上的图象，由此可知h(x)>g(x)>f(x)．

【答案】h(x)>g(x)>f(x)

高频考点二   求二次函数的解析式

例2.(2021·辽宁省鞍山模拟)已知二次函数f (x)＝x2－bx＋c满足f (0)＝3，对∀x∈R，都有f (1＋x)＝f (1－x)成立，则f (x)＝________.

【答案】x2－2x＋3　

【解析】由f (0)＝3，得c＝3.又f (1＋x)＝f (1－x)，

所以函数f (x)的图象关于直线x＝1对称，

所以＝1，所以b＝2，所以f (x)＝x2－2x＋3.

【方法技巧】求二次函数解析式的策略

（1）已知三点坐标，选用一般式

（2）已知顶点坐标、对称轴、最值，选用顶点式

（3）已知与x轴两点坐标，选用零点式

【变式探究】(2021·吉林省四平模拟)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．

【解】法一：(利用一般式)

设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得

解得所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.

法二：(利用顶点式)

设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．

因为f(2)＝f(－1)，

所以抛物线的对称轴为x＝＝.

所以m＝.

又根据题意函数有最大值8，所以n＝8，

所以f(x)＝a＋8.

因为f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.

法三：(利用零点式)

由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，

故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，

即f(x)＝ax2－ax－2a－1.

又函数有最大值8，即＝8.

解得a＝－4或a＝0(舍去)，

所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.

高频考点三　二次函数的图象及应用

例3.(2021·黑龙江省双鸭山模拟)已知abc>0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)

【答案】D

【解析】A项，因为a<0，－<0，所以b<0.

又因为abc>0，所以c>0，而f(0)＝c<0，故A错．

B项，因为a<0，－>0，所以b>0.

又因为abc>0，所以c<0，而f(0)＝c>0，故B错．

C项，因为a>0，－<0，所以b>0.又因为abc>0，

所以c>0，而f(0)＝c<0，故C错．

D项，因为a>0，－>0，所以b<0，因为abc>0，

所以c<0，而f(0)＝c<0，故选D.

【方法技巧】1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.

2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.

【变式探究】(2021·江苏省常州模拟)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1.

下面四个结论中正确的是(　　)

A． b2<4ac B．2a－b＝1

C．a－b＋c＝0 D．5a<b

【答案】D　

【解析】因为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，A错误；二次函数的图象的对称轴为直线x＝－1，即－＝－1，得2a－b＝0，B错误；结合图象知，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，C错误；因为函数的图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，D正确．故选D．

高频考点四  二次函数的单调性

例4.（2021·广东广雅中学模拟）已知函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是(　　)

A．[－3,0)　　　　　　　 B．(－∞，－3]

C．[－2,0]  D．[－3,0]

【答案】D　

【解析】当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上递减，满足题意．

当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝，

由f(x)在[－1，＋∞)上递减知解得－3≤a＜0.

综上，a的取值范围为[－3,0]．

【方法技巧】

(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．

(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．

【变式探究】（2021·山东淄博模拟）函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是(　　)

A．f(bx)≤f(cx)   B．f(bx)≥f(cx)

C．f(bx)>f(cx)  D．与x有关，不确定

【答案】A

【解析】 由题意知，函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴b＝2，又f(0)＝3，∴c＝3，则bx＝2x，cx＝3x.易知f(x)在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x)；若x＜0，则3x＜2x＜1，∴f(3x)>f(2x)．∴f(3x)≥f(2x)，即f(bx)≤f(cx)．故选A.

高频考点五   二次函数的最值问题

例5.(2021·安徽省芜湖模拟)已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，x∈[－1，2]．

(1)若a＝1，求f(x)的最大值与最小值；

(2)f(x)的最小值记为g(a)，求g(a)的解析式以及g(a)的最大值．

【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，x∈[－1，2]，

则当x＝1时，f(x)的最小值为0，x＝－1时，f(x)的最大值为4.

(2)f(x)＝(x－a)2＋1－a2，x∈[－1，2]，

当a<－1时，f(x)的最小值为f(－1)＝2＋2a，

当－1≤a≤2时，f(x)的最小值为f(a)＝1－a2，

当a>2时，f(x)的最小值为f(2)＝5－4a，

则g(a)＝

可知，g(a)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，g(a)的最大值为g(0)＝1.

【方法技巧】(1)确定二次函数图象应关注的三个要点

一是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；

二是看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置；

三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点，函数图象的最高点或最低点等．

从这三个方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也可以从图象中得到如上信息．

(2)二次函数最值的求法

二次函数的区间最值问题一般有三种情况：①对称轴和区间都是给定的；②对称轴动，区间固定；③对称轴定，区间变动．解决这类问题的思路是抓住“三点一轴”进行数形结合，三点指的是区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴．具体方法是利用函数的单调性及分类讨论的思想求解．

对于②、③，通常要分对称轴在区间内、区间外两大类情况进行讨论．

【变式探究】(2021·福建省福清华侨中学模拟)若函数f(x)＝ax2＋20x＋14(a＞0)对任意实数t，在闭区间[t－1，t＋1]上总存在两实数x1，x2，使得|f(x1)－f(x2)|≥8成立，则实数a的最小值为________．

【解析】因为a＞0，所以二次函数f(x)＝ax2＋20x＋14的图象开口向上．

在闭区间[t－1，t＋1]上总存在两实数x1，x2，

使得|f(x1)－f(x2)|≥8成立，

只需t＝－时f(t＋1)－f(t)≥8，

即a(t＋1)2＋20(t＋1)＋14－(at2＋20t＋14)≥8，

即2at＋a＋20≥8，将t＝－代入得a≥8.

所以a的最小值为8.

故答案为8.

【答案】8

高频考点六  　二次函数中的恒成立问题

例6.（2021·湖北武汉模拟） 已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是________．

【答案】(－∞，－1)

【解析】f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，

即x2－3x＋1－m>0，

令g(x)＝x2－3x＋1－m，

要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，

只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．

∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，

∴g(x)min＝g(1)＝－m－1.

由－m－1>0，得m＜－1.

因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．

【方法技巧】由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键

(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.

(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.

【变式探究】(2021·山东省烟台模拟)设函数f (x)＝ax2－2x＋2，对于满足1<x<4的一切x值都有f (x)>0，则实数a的取值范围为________．

　【解析】由题意得a>－对1<x<4恒成立．

又－＝－2＋，<<1，

所以max＝.所以a>.