高中数学高考第7讲　解三角形应用举例

这是一份高中数学高考第7讲　解三角形应用举例，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第7讲　解三角形应用举例一、选择题1.在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为(　　)A. km    B. kmC. km    D.2 km解析　如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，∴＝，∴AC＝2×＝(km).答案　A2.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)A.10海里    B.10海里C.20海里    D.20海里解析　如图所示，易知，在 △ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10(海里).答案　A3.(2017·合肥调研)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为(　　)A.a km    B. a kmC.a km    D.2a km解析　由题图可知，∠ACB＝120°，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝a2＋a2－2·a·a·＝3a2，解得AB＝a(km).答案　B4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为(　　)A.8 km/h    B.6 km/hC.2 km/h    D.10 km/h解析　设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin θ＝＝，从而cos θ＝，所以由余弦定理得＝＋12－2××2×1×，解得v＝6.选B.答案　B5.如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于(　　)A.5    B.15C.5   D.15解析　在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得＝，所以BC＝15.在Rt△ABC中，AB＝BCtan ∠ACB＝15×＝15.答案　D二、填空题6.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分.解析　由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，由正弦定理得＝，所以AC＝＝＝10，所以海轮航行的速度为＝(海里/分).答案　7.江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析　如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝＝＝10(m).答案　108.在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________m.解析　如图，由已知可得∠BAC＝30°，∠CAD＝30°，∴∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°.又AB＝200 m，∴AC＝(m).在△ACD中，由余弦定理得，AC2＝2CD2－2CD2·cos 120°＝3CD2，∴CD＝AC＝(m).答案　三、解答题9.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上.(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值.解　(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC＝28.所以渔船甲的速度为＝14海里/时.(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得＝，即sin α＝＝＝.10.(2015·安徽卷)在△ABC中，A＝，AB＝6，AC＝3，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长.解　设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝(3)2＋62－2×3×6×cos＝18＋36－(－36)＝90，所以a＝3.又由正弦定理，得sin B＝＝＝，由题设知0<B<，所以cos B＝＝＝.在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B.由正弦定理，得AD＝＝＝＝.11.(2016·全国Ⅲ卷)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝(　　)A.    B.C.－    D.－解析　设BC边上的高AD交BC于点D，由题意B＝，BD＝BC，DC＝BC，tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝2，tan A＝＝－3，所以cos A＝－.答案　C12.如图所示，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝a，从D，C两点测得A点仰角分别为α，β(α＜β)，则点A离地面的高AB等于(　　)A.  　　　 B.C.  　　　 D.解析　结合题图示可知，∠DAC＝β－α.在△ACD中，由正弦定理得：＝，∴AC＝＝.在Rt△ABC中，AB＝ACsin β＝.答案　A13.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于________m.解析　如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60 m，在Rt△ACD中，CD＝＝＝60(m)，在Rt△ABD中，BD＝＝＝＝60(2－)(m)，∴BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)(m).答案　120(－1)14.如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向距A为(－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：≈2.449).解　设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则有CD＝10t(海里)，BD＝10t(海里).在△ABC中，∵AB＝(－1)海里，AC＝2海里，∠BAC＝45°＋75°＝120°，根据余弦定理，可得BC＝＝(海里).根据正弦定理，可得sin∠ABC＝＝＝.∴∠ABC＝45°，易知CB方向与正北方向垂直，从而∠CBD＝90°＋30°＝120°.在△BCD中，根据正弦定理，可得sin∠BCD＝＝＝，∴∠BCD＝30°，∠BDC＝30°，∴BD＝BC＝(海里)，则有10t＝，t＝≈0.245小时＝14.7分钟.故缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船.