2023河南省高中毕业班阶段性测试（五）理科数学含答案

这是一份2023河南省高中毕业班阶段性测试（五）理科数学含答案，共15页。试卷主要包含了已知向量，，则，在等差数列中，已知，那么，设函数，若，则的最小值为，函数的图象大致为等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数，则z的虚部为（ ）
A．2B．C．5D．
2．已知集合，，则（ ）
A.B．C．D．
3．函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．已知向量，，则（ ）
A．29B．C．24D．
5．在等差数列中，已知，那么（ ）
A．4B．5C．6D．7
6．甲、乙两班各有10名同学参加智力测试，他们的分数用茎叶图表示如下，则下列判断错误的是（ ）
A．甲班的分数在100以上的人数比乙班的少
B．甲班的极差比乙班的小
C．甲班与乙班的中位数相等
D．甲班的平均数与乙班的相等
7．设函数，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．某多面体的体积是，其三视图如图所示，则侧（左）视图中的（ ）
A．B．C．D．1
9．函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
10．如图所示，圆锥的底面半径为R，母线长为，其内接圆柱的底面积与圆锥的底面积之比为，则该圆柱的表面积为（ ）
A．B．C．D．
11．若，，，则（ ）
A．B．C．D．
12．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内、外两圈的钢骨架是由两个离心率相同的椭圆组成的对称结构．某校体育馆的钢结构与“鸟巢”类似，其平面图如图2所示，内、外椭圆的离心率均为，由外层椭圆长轴的一个端点A和短轴的一个端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，若AC，BD的斜率分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设是定义在R上的奇函数．若当时，，则______．
14．六位身高各不相同的同学拍照留念，摄影师要求前后两排各站三人，则最高的与最矮的在同一排的概率是______．
15．过双曲线的左焦点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，过A，B分别作双曲线的同一条渐近线的垂线，垂足分别为P，Q．若，则双曲线的离心率为______．
16．如图所示，在中，已知，，，D，E，F分别在边AC，BC，AB上，且为等边三角形．则的面积的最小值是______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
已知数列中，，且．
（Ⅰ）证明：是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
18．（12分）
如图，在正三棱柱中，，，D是AC的中点，点E在上且．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
19．（12分）
已知甲、乙两所体校都设有三个考试科目：足球、长跑、跳远．若小明报考甲体校，其每个科目通过的概率均为，若小明报考乙体校，则其足球、长跑、跳远三个科目通过的概率依次为，，m，其中，且每个科目是否通过相互独立．
（Ⅰ）若，A表示事件“小明报考甲体校时恰好通过2个科目”，B表示事件“小明报考乙体校时至多通过2个科目”，求，；
（Ⅱ）若小明报考甲体校相比报考乙体校，通过的科目数的期望值更大，求m的取值范围．
20．（12分）
已知动点P到直线的距离比到点的距离大7．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）记动点P的轨迹为曲线C，点M在直线上运动，过点M作曲线C的两条切线，切点分别为A，B，点N是平面内一定点，线段MA，NA，NB，MB的中点依次为E，F，G，H，若当M点运动时，四边形EFGH总为矩形，求定点N的坐标．
21．（12分）
已知函数．
（Ⅰ）若在区间上单调递减，求实数t的取值范围；
（Ⅱ）若当时，，求实数t的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．
（Ⅰ）求l的普通方程和C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设l和C交于A，B两点，求的面积．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）设的最小值为m，且正实数a，b，c满足，求证：．
2022—2023学年高中毕业班阶段性测试（五）
理科数学·答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．
1．答案 B
命题意图 本题考查复数的基本运算．
解析 ，则z的虚部为．
2．答案 C
命题意图 本题考查集合的表示与运算．
解析 ，所以．
3．答案 C
命题意图 本题考查导数的几何意义．
解析 ，则切线的斜率为，而，所以切线方程为，即.
4．答案 D
命题意图 本题考查平面向量的坐标运算．
解析 ．
5．答案 B
命题意图 本题考查等差数列的性质．
解析 由等差中项的性质得，解得．
6．答案 C
命题意图 本题考查茎叶图以及统计的有关概念．
解析 甲班的分数在100以上的有2人，乙班的分数在100以上的有3人，故A正确；甲班的极差为，乙班的极差为，故B正确；甲班的中位数为，乙班的中位数为，故C错误；甲班的平均数为，乙班的平均数为，故D正确．
7．答案 B
命题意图 本题考查三角函数的图象与性质．
解析 由题意得是的最小值点，则，解得，又因为，故当时，取得最小值．
8．D
命题意图 本题考查三视图．
解析 由三视图还原出原几何体，可知为三棱锥，如图所示，结合三视图得该三棱锥体积为，所以．
9．答案 A
命题意图 本题考查利用函数的性质判断函数图象．
解析 ，令，可得的正零点依次为，，…，当时，，，当时，，，结合选项可知只有A项符合．
10．答案 B
命题意图 本题考查圆锥与圆柱的结构特征．
解析 根据题意，作图如下：
由已知可得，圆锥的内接圆柱的底面半径与圆锥的底面半径之比为，所以圆锥的内接圆柱的底面半径为，即，，根据三角形相似可得，故该内接圆柱的表面积为．
11．答案 A
命题意图 本题考查利用导数研究函数性质．
解析 令函数，则，即函数在R上单调递减，所以，．令函数，，则，令函数，，则，因为在上单调递减，且，，所以，使得，所以在上单调递增，在上单调递减．又因为，，所以在上恒成立，所以，即在上单调递增，所以，即，当时，．所以．
12．答案 C
命题意图 本题考查椭圆的性质，椭圆与直线的位置关系．
解析 设外层椭圆方程为，则内层椭圆方程为，AC的方程为，与联立得，由，得．BD的方程为，与联立得，由，得．因为离心率，所以，从而，当且仅当，即时取等号，故的最小值为．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．答案
命题意图 本题考查函数的奇偶性．
解析 ．
14．答案
命题意图 本题考查排列组合的应用．
解析 六位身高各不相同的同学前后两排各三人排列的方法数为，其中最高的与最矮的在同一排的方法总数为，则所求概率是．
15．答案
命题意图 本题考查双曲线的性质．
解析 如图所示，作，垂足为M，设双曲线的半焦距为，
在中，令，得，解得，则，，又，所以，得，得，得，得，解得，舍去，故双曲线的离心率为．
16．答案
命题意图 本题考查三角函数的应用．
解析 不妨设的边长为a，．在中，．因为，所以在中，可得．根据正弦定理可得，所以，所以，其中．当时，a取得最小值，面积的最小值为．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．命题意图 本题考查数列的递推关系，以及等比数列的性质与求和．
解析 （Ⅰ）因为，所以，又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，
所以
．
18．命题意图 本题考查线面垂直的证明以及利用空间向量计算二面角．
解析 （Ⅰ）如图，连接BD，．
由已知可得，，，，
所以，，，
所以，所以，同理，
又，所以平面．
（Ⅱ）分别以，所在的直线为x，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则点，，，
则，．
设平面的法向量为，
则
令，得平面的一个法向量为．
又易知平面的一个法向量为，
则，
由图可知二面角的平面角为锐角，所以其余弦值为．
19．命题意图 本题考查相互独立事件的概率计算以及随机变量的分布列与期望．
解析 （Ⅰ）；
．
（Ⅱ）设小明报考甲体校通过的科目数为X，报考乙体校通过的科目数为Y，
根据题意可知随机变量，所以.
随机变量Y的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
．
所以．
由题意知，即，
又因为，所以，
所以，m的取值范围是．
20．命题意图 本题考查抛物线的方程，抛物线与直线的位置关系．
解析 （Ⅰ）因为动点P到直线的距离比到点的距离大7，
所以动点P到直线的距离等于到点的距离，
所以动点P的轨迹是以点为焦点，为准线的抛物线，
所以动点P的轨迹方程是．
（Ⅱ）若四边形EFGH为矩形，则．
当点M在处时，两个切点A，B关于y轴对称，故要使得，则点N必须在y轴上．
故设，，，，
C的方程为，求导得，所以切线MA的斜率，
直线MA的方程为，
又点M在直线MA上，所以，整理得，
同理可得，
故和是一元二次方程的根，所以
则
，
可见当时，恒成立，
即点N的坐标为．
21．命题意图 本题考查利用导数研究函数的性质．
解析 （Ⅰ）的定义域为，
．
令，则，
当时，，，则，
即，故在上单调递增，
所以，
要使在区间上单调递减，需满足，
故实数t的取值范围是．
（Ⅱ）即为，得．
令，则．
（i）当时，对任意的，，，则，
此时在上单调递增，故，符合题意．
（ii）当时，令，则，
易知对任意的恒成立，所以在上单调递增，
因为，．
①当，即当时，对任意的，，
此时在上单调递增，则，符合题意；
②当即当时，
由零点存在定理可知，存在，使得，
且当时，，则在上单调递减，
所以，不符合题意；
（iii）当，即当时，对任意的，，
此时，函数在上单调递减，，不符合题意．
综上所述，t的取值范围是．
22．命题意图 本题考查方程的互化、直线与圆的位置关系．
解析 （Ⅰ）由消去参数t，得，
所以l的普通方程为．
由，得，
将代入，得，
所以C的直角坐标方程为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得曲线C的直角坐标方程为，
曲线C是以为圆心，半径为1的圆，
圆心到l的距离为， \l "bkmark6" \ "Current Dcument" 所以．
原点到直线的距离为，
所以．
23．命题意图 本题考查绝对值不等式的性质，基本不等式的应用．
解析 （Ⅰ），
所以的最小值为2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
由基本不等式可得，，．
上述三个不等式相加可得，
所以．
所以，则．