高中数学高考第5节 第1课时 椭圆及其性质 教案

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1．椭圆的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；
②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；
③当2a|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝eq \r(a2－c2)＝4，故点P的轨迹方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1.故选A.]
2．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(2)－1,2)
C．2－eq \r(2) D.eq \r(2)－1
D [法一：设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，依题意，显然有|PF2|＝|F1F2|，则eq \f(b2,a)＝2c，即eq \f(a2－c2,a)＝2c，即e2＋2e－1＝0，又00)．因为椭圆的一个焦点为F(1，0)，离心率e＝eq \f(1,2)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(c＝1，,\f(c,a)＝\f(1,2)，,a2＝b2＋c2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2c＝2，,b2＝3，))故椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.]
第1课时 椭圆及其性质
考点1 椭圆的定义及应用
椭圆定义的应用主要有两个方面
一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等．
(1)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
(2)F1，F2是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,7)＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为( )
A．7 B.eq \f(7,4)
C.eq \f(7,2) D.eq \f(7\r(5),2)
(1)A (2)C [(1)由题意可知，CD是线段MF的垂直平分线，
∴|MP|＝|PF|，
∴|PF|＋|PO|＝|PM|＋|PO|＝|MO|(定值)．
又|MO|＞|FO|，
∴点P的轨迹是以F，O为焦点的椭圆，故选A.
(2)由题意得a＝3，b＝eq \r(7)，c＝eq \r(2)，
∴|F1F2|＝2eq \r(2)，|AF1|＋|AF2|＝6.
∵|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cs 45°＝|AF1|2－4|AF1|＋8，
∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8.
∴|AF1|＝eq \f(7,2)，∴S△AF1F2＝eq \f(1,2)×eq \f(7,2)×2eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(7,2).]
本例(1)应用线段中垂线的性质实现了“|PF|＋|PO|”向定值的转化；本例(2)把余弦定理与椭圆的定义交汇在一起，借助方程的思想解出|AF1|，从而求得△AF1F2的面积．
[教师备选例题]
设F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|－|PF1|的最小值为________．
－5 [由椭圆的方程可知F2(3，0)，由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－|PF2|.∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，
当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，
又|MF2|＝eq \r(（6－3）2＋（4－0）2)＝5，2a＝10，
∴|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，
即|PM|－|PF1|的最小值为－5.]
已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________．
3 [设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(r1＋r2＝2a，,req \\al(2,1)＋req \\al(2,2)＝4c2，))所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(req \\al(2,1)＋req \\al(2,2))＝4a2－4c2＝4b2，所以S△PF1F2＝eq \f(1,2)r1r2＝b2＝9，所以b＝3.]
考点2 椭圆的标准方程
定义法
先根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义，并确定a2，b2的值，再结合焦点位置可写出椭圆方程．特别地，利用定义法求椭圆方程要注意条件2a＞|F1F2|.
1.在△ABC中，A(－4，0)，B(4，0)，△ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1(y≠0) B.eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1(y≠0)
C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1(y≠0) D.eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,9)＝1(y≠0)
A [由|AC|＋|BC|＝18－8＝10＞8知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线)．设其方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，则a＝5，c＝4，从而b＝3.
由A，B，C不共线知y≠0.
故顶点C的轨迹方程是eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1(y≠0)．]
2．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,64)－eq \f(y2,48)＝1 B.eq \f(x2,48)＋eq \f(y2,64)＝1
C.eq \f(x2,48)－eq \f(y2,64)＝1 D.eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1
D [设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，又|C1C2|＝8＜16，∴动圆圆心M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16，2c＝8，则a＝8，c＝4，∴b2＝48，故所求的轨迹方程为eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1.]
利用定义法求轨迹方程时，注意检验所求轨迹是否是完整的曲线，倘若不是完整的曲线，应对曲线中的变量x或y进行限制．
待定系数法
利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式．
1.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(5,2)))，(eq \r(3)，eq \r(5))，则椭圆方程为________．
eq \f(y2,10)＋eq \f(x2,6)＝1 [设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n＞0，m≠n)．
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))\s\up8(2)m＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))\s\up8(2)n＝1，,3m＋5n＝1，))
解得m＝eq \f(1,6)，n＝eq \f(1,10).
∴椭圆方程为eq \f(y2,10)＋eq \f(x2,6)＝1.]
2．过点(eq \r(3)，－eq \r(5))，且与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．
eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1 [法一：椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c＝4.
由椭圆的定义知，
2a＝eq \r(（\r(3)－0）2＋（－\r(5)＋4）2)＋eq \r(（\r(3)－0）2＋（－\r(5)－4）2)，
解得a＝2eq \r(5).
由c2＝a2－b2可得b2＝4，
∴所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1.
法二：∵所求椭圆与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1的焦点相同，
∴其焦点在y轴上，
且c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．
∵c2＝16，且c2＝a2－b2，
故a2－b2＝16.①
又点(eq \r(3)，－eq \r(5))在所求椭圆上，
∴eq \f(（－\r(5)）2,a2)＋eq \f(（\r(3)）2,b2)＝1，
则eq \f(5,a2)＋eq \f(3,b2)＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，
∴所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1.]
3．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋eq \f(y2,b2)＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．
x2＋eq \f(3,2)y2＝1 [不妨设点A在第一象限，如图所示．
∵AF2⊥x轴，∴A(c，b2)(其中c2＝1－b2，0＜b＜1，c＞0)．
又∵|AF1|＝3|F1B|，
∴由eq \(AF1,\s\up8(→))＝3eq \(F1B,\s\up8(→))得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5c,3)，－\f(b2,3)))，
代入x2＋eq \f(y2,b2)＝1
得eq \f(25c2,9)＋eq \f(b4,9b2)＝1.
又c2＝1－b2，
∴b2＝eq \f(2,3).
故椭圆E的方程为x2＋eq \f(3,2)y2＝1.]
(1)已知椭圆上两点，常设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)；(2)椭圆的通径(过焦点且与长轴垂直的弦)长为eq \f(2b2,a).
考点3 椭圆的几何性质
椭圆的长轴、短轴、焦距
求解与椭圆几何性质有关的问题，如：顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系，同时要结合图形进行分析．
(1)已知椭圆eq \f(x2,m－2)＋eq \f(y2,10－m)＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于( )
A．8 B．7
C．6 D．5
(2)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为________．
(1)A (2)eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1 [(1)因为椭圆eq \f(x2,m－2)＋eq \f(y2,10－m)＝1的长轴在x轴上，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－2>0，,10－m>0，,m－2>10－m，)) 解得60)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，1)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5),5))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
B [∵F1，F2是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，∴0c，所以b2>c2，所以a2－c2>c2，
所以2e20)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
离心率
e＝eq \f(c,a)，且e∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2