高中数学高考第5节 离散型随机变量及其分布列 教案

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1．随机变量的有关概念
(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．
(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．
2．离散型随机变量分布列的概念及性质
(1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：
此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．
(2)分布列的性质
①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；
②eq \(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))pi＝1．
3．常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，则其分布列为，其中p＝P(X＝1)称为成功概率．
(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝eq \f(Ceq \\al(k,M)Ceq \\al(n－k,N－M),Ceq \\al(n,N))，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布．
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1.( )
(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( )
(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，则它服从两点分布．( )
(4)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
二、教材改编
1．设随机变量X的分布列如下：
则p为( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,12)
C [由分布列的性质知，eq \f(1,12)＋eq \f(1,6)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,6)＋p＝1，∴p＝1－eq \f(3,4)＝eq \f(1,4).]
2．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
D [P(ξ≤1)＝1－P(ξ＝2)＝1－eq \f(Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(2,2),Ceq \\al(3,6))＝eq \f(4,5).]
3．有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是________．
0，1，2，3 [因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取出的次品数X的可能取值为0，1，2，3.]
4．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的分布列为________．
[因为X的所有可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝eq \f(Ceq \\al(2,2),Ceq \\al(2,5))＝0.1，P(X＝1)＝eq \f(Ceq \\al(1,3)·Ceq \\al(1,2),Ceq \\al(2,5))＝0.6，P(X＝2)＝eq \f(Ceq \\al(2,3),Ceq \\al(2,5))＝0.3，所以X的分布列为
]
考点1 离散型随机变量的分布列的性质
分布列性质的2个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性．
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．
1.随机变量X的分布列如下：
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________．
eq \f(2,3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(1,3))) [因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，所以b＝eq \f(1,3)，所以P(|X|＝1)＝a＋c＝eq \f(2,3).又a＝eq \f(1,3)－d，c＝eq \f(1,3)＋d，根据分布列的性质，得0≤eq \f(1,3)－d≤eq \f(2,3)，0≤eq \f(1,3)＋d≤eq \f(2,3)，所以－eq \f(1,3)≤d≤eq \f(1,3).]
2．设随机变量X的分布列为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝\f(k,5)))＝ak(k＝1，2，3，4，5)．
(1)求a；
(2)求Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X≥\f(3,5)))；
(3)求Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)＜X≤\f(7,10))).
[解] (1)由分布列的性质，得Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝\f(1,5)))＋Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝\f(2,5)))＋Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝\f(3,5)))＋Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝\f(4,5)))＋P(X＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，
所以a＝eq \f(1,15).
(2)Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X≥\f(3,5)))＝Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝\f(3,5)))＋Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝\f(4,5)))＋P(X＝1)＝3×eq \f(1,15)＋4×eq \f(1,15)＋5×eq \f(1,15)＝eq \f(4,5).
(3)Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)＜X≤\f(7,10)))＝Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝\f(1,5)))＋Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝\f(2,5)))＋Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝\f(3,5)))＝eq \f(1,15)＋eq \f(2,15)＋eq \f(3,15)＝eq \f(6,15)＝eq \f(2,5).
由于分布列中每个概率值均为非负数，故在利用概率和为1求参数值时，务必要检验．
[教师备选例题]
设离散型随机变量X的分布列为
(1)求随机变量Y＝2X＋1的分布列；
(2)求随机变量η＝|X－1|的分布列；
(3)求随机变量ξ＝X2的分布列．
[解] (1)由分布列的性质知，
0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.
首先列表为：
从而Y＝2X＋1的分布列为
(2)列表为
∴P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，
P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，
P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，
P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.
故η＝|X－1|的分布列为
(3)首先列表为
从而ξ＝X2的分布列为
考点2 求离散型随机变量的分布列
离散型随机变量分布列的求解步骤
(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义．
(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率．
(3)画表格：按规范要求形式写出分布列．
(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．
已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或检测出3件正品时检测结束．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列．
[解] (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(A)＝eq \f(Aeq \\al(1,2)Aeq \\al(1,3),Aeq \\al(2,5))＝eq \f(3,10).
(2)X的可能取值为200，300，400.
P(X＝200)＝eq \f(Aeq \\al(2,2),Aeq \\al(2,5))＝eq \f(1,10)，
P(X＝300)＝eq \f(Aeq \\al(3,3)＋Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,2),Aeq \\al(3,5))＝eq \f(3,10)，
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)
＝1－eq \f(1,10)－eq \f(3,10)＝eq \f(6,10)＝eq \f(3,5).
故X的分布列为
求解本题的关键是明确题设限制条件：“不放回”、“直到检测出2件次品或检测出3件正品时检测结束”．
[教师备选例题]
一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．
(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；
(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列．
[解] (1)由题意知，在7张卡片中，编号为3的卡片有2张，故所求概率为P＝1－eq \f(Ceq \\al(4,5),Ceq \\al(4,7))＝1－eq \f(5,35)＝eq \f(6,7).
(2)由题意知，X的可能取值为1，2，3，4，且
P(X＝1)＝eq \f(Ceq \\al(3,3),Ceq \\al(4,7))＝eq \f(1,35)，P(X＝2)＝eq \f(Ceq \\al(3,4),Ceq \\al(4,7))＝eq \f(4,35)，
P(X＝3)＝eq \f(Ceq \\al(3,5),Ceq \\al(4,7))＝eq \f(2,7)，P(X＝4)＝eq \f(Ceq \\al(3,6),Ceq \\al(4,7))＝eq \f(4,7).
所以随机变量X的分布列是
袋子中有1个白球和2个红球．
(1)每次取1个球，不放回，直到取到白球为止，求取球次数X的分布列；
(2)每次取1个球，有放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过5次，求取球次数X的分布列；
(3)每次取1个球，有放回，共取5次，求取到白球次数X的分布列．
[解] (1)X可能取值1，2，3.
P(X＝1)＝eq \f(1,Aeq \\al(1,3))＝eq \f(1,3)，P(X＝2)＝eq \f(Aeq \\al(1,2)×1,Aeq \\al(2,3))＝eq \f(1,3)，P(X＝3)＝eq \f(Aeq \\al(2,2),Aeq \\al(3,3))＝eq \f(1,3).
所以X分布列为
(2)X可能取值为1，2，3，4，5.
P(X＝k)＝(eq \f(2,3))k－1×eq \f(1,3)，k＝1，2，3，4，
P(X＝5)＝(eq \f(2,3))4.故X分布列为
(3)因为X～B(5，eq \f(1,3))，所以X的分布列为
P(X＝k)＝Ceq \\al(k,5)(eq \f(1,3))k(eq \f(2,3))5－k，k＝0，1，2，3，4，5.
考点3 超几何分布
求超几何分布的分布列的步骤
端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列．
[解] (1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则
P(A)＝eq \f(Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,5),Ceq \\al(3,10))＝eq \f(1,4).
(2)X的所有可能值为0，1，2，且
P(X＝0)＝eq \f(Ceq \\al(3,8),Ceq \\al(3,10))＝eq \f(7,15)，P(X＝1)＝eq \f(Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,8),Ceq \\al(3,10))＝eq \f(7,15)，
P(X＝2)＝eq \f(Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,8),Ceq \\al(3,10))＝eq \f(1,15).
综上知，X的分布列为
[母题探究]
1．在本例条件下，求至少有一个豆沙粽的概率．
[解] 由题意知，至少有一个豆沙粽的概率
P＝P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq \f(7,15)＋eq \f(1,15)＝eq \f(8,15).
2．若本例中的X表示取到的粽子的种类，求X的分布列．
[解] 由题意知X的所有可能值为1，2，3，且
P(X＝1)＝eq \f(Ceq \\al(3,3)＋Ceq \\al(3,5),Ceq \\al(3,10))＝eq \f(1＋10,120)＝eq \f(11,120)，
P(X＝3)＝eq \f(Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,5),Ceq \\al(3,10))＝eq \f(30,120)＝eq \f(1,4)，
P(X＝2)＝1－P(X＝1)－P(X＝3)＝1－eq \f(11,120)－eq \f(30,120)＝eq \f(79,120).
综上可知，X的分布列为
超几何分布描述的是不放回抽样问题，其实质是古典概型，主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型．
[教师备选例题]
(2018·天津高考)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列；
②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．
【解】 (1)由题意得，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
(2)①随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.
P(X＝k)＝eq \f(Ceq \\al(k,4)·Ceq \\al(3－k,3),Ceq \\al(3,7))(k＝0，1，2，3)．
则P(X＝0)＝eq \f(Ceq \\al(3,3),Ceq \\al(3,7))＝eq \f(1,35)，P(X＝1)＝eq \f(Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,4),Ceq \\al(3,7))＝eq \f(12,35)，
P(X＝3)＝eq \f(Ceq \\al(3,4),Ceq \\al(3,7))＝eq \f(4,35)，则P(X＝2)＝1－eq \f(1,35)－eq \f(12,35)－eq \f(4,35)＝eq \f(18,35)，
所以，随机变量X的分布列为
②设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A＝B∪C，且B与C互斥．由①知，P(B)＝P(X＝2)，P(C)＝P(X＝1)，
故P(A)＝P(B∪C)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＝eq \f(6,7).
所以，事件A发生的概率为eq \f(6,7).
在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：
(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列；
(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
[解] (1)由于从10件产品中任取3件的结果数为Ceq \\al(3,10)，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为Ceq \\al(k,3)Ceq \\al(3－k,7)，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X＝k)＝eq \f(Ceq \\al(k,3)Ceq \\al(3－k,7),Ceq \\al(3,10))，k＝0，1，2，3.
所以随机变量X的分布列为
(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3.
由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，
而P(A1)＝eq \f(Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,3),Ceq \\al(3,10))＝eq \f(3,40)，P(A2)＝P(X＝2)＝eq \f(7,40)，
P(A3)＝P(X＝3)＝eq \f(1,120).
∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为
P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq \f(3,40)＋eq \f(7,40)＋eq \f(1,120)＝eq \f(31,120).
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
X
0
1
…
m
P
eq \f(Ceq \\al(0,M)Ceq \\al(n－0,N－M),Ceq \\al(n,N))
eq \f(Ceq \\al(1,M)Ceq \\al(n－1,N－M),Ceq \\al(n,N))
…
eq \f(Ceq \\al(m,M)Ceq \\al(n－m,N－M),Ceq \\al(n,N))
X
2
5
P
0.3
0.7
X
1
2
3
4
5
P
eq \f(1,12)
eq \f(1,6)
eq \f(1,3)
eq \f(1,6)
p
X
0
1
2
P
0.1
0.6
0.3
X
0
1
2
P
0.1
0.6
0.3
X
－1
0
1
P
a
b
c
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
X
0
1
2
3
4
2X＋1
1
3
5
7
9
Y
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
X
0
1
2
3
4
|X－1|
1
0
1
2
3
η
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.3
0.3
X
0
1
2
3
4
X2
0
1
4
9
16
ξ
0
1
4
9
16
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
X
200
300
400
P
eq \f(1,10)
eq \f(3,10)
eq \f(3,5)
X
1
2
3
4
P
eq \f(1,35)
eq \f(4,35)
eq \f(2,7)
eq \f(4,7)
X
1
2
3
P
eq \f(1,3)
eq \f(1,3)
eq \f(1,3)
X
1
2
3
4
5
P
eq \f(1,3)
eq \f(2,9)
eq \f(4,27)
eq \f(8,81)
eq \f(16,81)
X
0
1
2
3
4
5
P
(eq \f(2,3))5
eq \f(5×24,35)
eq \f(10×23,35)
eq \f(10×22,35)
eq \f(5×2,35)
eq \f(1,35)
X
1
2
3
P
eq \f(7,15)
eq \f(7,15)
eq \f(1,15)
X
1
2
3
P
eq \f(11,120)
eq \f(79,120)
eq \f(1,4)
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,35)
eq \f(12,35)
eq \f(18,35)
eq \f(4,35)
X
0
1
2
3
P
eq \f(7,24)
eq \f(21,40)
eq \f(7,40)
eq \f(1,120)