高中数学高考第6节 双曲线 教案

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1．双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当2a|F1F2|时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
3.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝eq \r(2).
eq \O([常用结论])
1．过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为eq \f(2b2,a)，也叫通径．
2．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
3．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
4．与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t(t≠0)．
5．当已知双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)．
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )
(2)方程eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )
(3)双曲线eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝0，即eq \f(x,m)±eq \f(y,n)＝0.( )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq \r(2).( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
二、教材改编
1．双曲线eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1的焦距为( )
A．5 B.eq \r(5) C．2eq \r(5) D．1
C [由双曲线eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1，易知c2＝3＋2＝5，所以c＝eq \r(5)，所以双曲线eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1的焦距为2eq \r(5).]
2．以椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为( )
A．x2－eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,3)－y2＝1
C．x2－eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1
A [设要求的双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，
由椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，在x轴上的顶点为(±2,0)．
所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0)．
所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，
所以双曲线的标准方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.]
3．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,3)＝1(a>0)的离心率为2，则a＝( )
A．2 B.eq \f(\r(6),2) C.eq \f(\r(5),2) D．1
D [依题意，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2＋3),a)＝2，∴eq \r(a2＋3)＝2a，则a2＝1，a＝1.]
4．经过点A(5，－3)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为 ．
eq \f(x2,16)－eq \f(y2,16)＝1 [设双曲线的方程为x2－y2＝λ，把点A(5，－3)代入，得λ＝16，
故所求方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,16)＝1.]
考点1 双曲线的定义及应用
双曲线定义的两个应用
(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的关系．
(1)设P是双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,20)＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于( )
A．1 B．17
C．1或17 D．以上均不对
(2)已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,14)＝1(x≥eq \r(2)) B.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,14)＝1(x≤－eq \r(2))
C.eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,14)＝1(x≥eq \r(2)) D.eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,14)＝1(x≤－eq \r(2))
(3)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于( )
A．2 B．4 C．6 D．8
(1)B (2)A (3)B [(1)根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8⇒|PF2|＝1或17.
又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17，故选B.
(2)设动圆的半径为r，由题意可得|MC1|＝r＋eq \r(2)，|MC2|＝r－eq \r(2)，所以|MC1|－|MC2|＝2eq \r(2)，故由双曲线的定义可知动点M在以C1(－4,0)，C2(4,0)为焦点，实轴长为2a＝2eq \r(2)的双曲线的右支上，即a＝eq \r(2)，c＝4⇒b2＝16－2＝14，故动圆圆心M的轨迹方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,14)＝1(x≥eq \r(2))，故选A.
(3)由双曲线的方程得a＝1，c＝eq \r(2)，
由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cs 60°，
即(2eq \r(2))2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝22＋|PF1|·|PF2|，
解得|PF1|·|PF2|＝4，故选B.]
[母题探究]
1．本例(3)中，若将条件“∠F1PF2＝60°”改为|PF1|＝2|PF2|，试求cs∠F1PF2的值．
[解] 根据双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2，则|PF1|＝2|PF2|＝4，又|F1F2|＝2eq \r(2)
∴cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝eq \f(42＋22－2\r(2)2,2×4×2)＝eq \f(3,4).
2．本例(3)中，若将条件“∠F1PF2＝60°”，改为eq \(PF1,\s\up14(→))·eq \(PF2,\s\up14(→))＝0，则△F1PF2的面积是多少？
[解] 不妨设点P在双曲线的右支上．
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
由eq \(PF1,\s\up14(→))·eq \(PF2,\s\up14(→))＝0，得eq \(PF1,\s\up14(→))⊥eq \(PF2,\s\up14(→)).
在△F1PF2中，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|＝8，
∴|PF1||PF2|＝2.
∴S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|＝1.
(1)求双曲线上的点到焦点的距离时，要注意取舍，如本例T(1)；(2)利用定义求双曲线方程时，要注意所求是双曲线一支，还是整个双曲线，如本例T(2)．
1.已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1(y＞0) B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1(x＞0)
C.eq \f(y2,4)－eq \f(x2,5)＝1(y＞0) D.eq \f(y2,4)－eq \f(x2,5)＝1(x＞0)
B [由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(x＞0，a＞0，b＞0)，由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5，所以点P的轨迹方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1(x＞0)．]
2．已知双曲线x2－eq \f(y2,24)＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝eq \f(4,3)|PF2|，则△F1PF2的面积为( )
A．48 B．24 C．12 D．6
B [由双曲线的定义可得
|PF1|－|PF2|＝eq \f(1,3)|PF2|＝2a＝2，
解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，
又|F1F2|＝10，
由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，因此S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝24.]
3．若双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则|PF|＋|PA|的最小值是( )
A．8 B．9 C．10 D．12
B [由题意知，双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1的左焦点F的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4,0)，由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋eq \r(4－12＋0－42)＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．]
考点2 双曲线的标准方程
求双曲线方程的思路
(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上或y轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．
(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一般方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)求解．
(1)(2019·荆门模拟)方程eq \f(x2,m＋2)＋eq \f(y2,m－3)＝1表示双曲线的一个充分不必要条件是( )
A．－3＜m＜0 B．－1＜m＜3
C．－3＜m＜4 D．－2＜m＜3
(2)[一题多解]已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，则该双曲线的标准方程是( )
A.eq \f(7x2,16)－eq \f(y2,12)＝1 B.eq \f(y2,3)－eq \f(x2,2)＝1
C．x2－eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(3y2,23)－eq \f(x2,23)＝1
(3)(2018·天津高考)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1 B.eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1 D.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,3)＝1
(1)B (2)C (3)C [(1)方程eq \f(x2,m＋2)＋eq \f(y2,m－3)＝1表示双曲线，则(m＋2)(m－3)＜0，解得－2＜m＜3.∵要求充分不必要条件，∴选项范围是－2＜m＜3的真子集，只有选项B符合题意．故选B.
(2)法一：当其中的一条渐近线方程y＝eq \r(3)x中的x＝2时，y＝2eq \r(3)＞3，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程是eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4,a2)－\f(9,b2)＝1，,\f(b,a)＝\r(3)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝\r(3)，))所以该双曲线的标准方程为x2－eq \f(y2,3)＝1，故选C.
法二：因为双曲线的渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，即eq \f(y,\r(3))＝±x，所以可设双曲线的方程是x2－eq \f(y2,3)＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x2－eq \f(y2,3)＝1，故选C.
(3)如图，不妨设A在B的上方，则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(b2,a))).
其中的一条渐近线为bx－ay＝0，则d1＋d2＝eq \f(bc－b2＋bc＋b2,\r(a2＋b2))＝eq \f(2bc,c)＝2b＝6，∴b＝3. 又由e＝eq \f(c,a)＝2，知a2＋b2＝4a2，∴a＝eq \r(3).
∴双曲线的方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1. 故选C.]
已知双曲线的渐近线方程，用渐近线方程设出双曲线方程，运算过程较为简单．
[教师备选例题]
设双曲线与椭圆eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,36)＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为(eq \r(15)，4)，则此双曲线的标准方程是 ．
eq \f(y2,4)－eq \f(x2,5)＝1 [法一：椭圆eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,36)＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，根据双曲线的定义知2a＝|eq \r(\r(15)－02＋4－32)－eq \r(\r(15)－02＋4＋32)|
＝4，故a＝2.
又b2＝32－22＝5，故所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,4)－eq \f(x2,5)＝1.
法二：椭圆eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,36)＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝9，①
又点(eq \r(15)，4)在双曲线上，所以eq \f(16,a2)－eq \f(15,b2)＝1，②
联立①②解得a2＝4，b2＝5.故所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,4)－eq \f(x2,5)＝1.
1.(2019·湘潭模拟)以双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为( )
A．x2－y2＝1 B.eq \f(x2,9)－y2＝1
C.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,9)＝1
D [由题可知，所求双曲线的顶点坐标为(±3,0)．又因为双曲线的渐近线互相垂直，所以a＝b＝3，则该双曲线的方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,9)＝1.故选D.]
2．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|－|PF2|＝4b，且双曲线的焦距为2eq \r(5)，则该双曲线的标准方程为( )
A.eq \f(x2,4)－y2＝1 B.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1
C．x2－eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,3)＝1
A [由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|－|PF2|＝2a＝4b，,c2＝a2＋b2，,2c＝2\r(5)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,b2＝1，))则该双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－y2＝1.]
3．经过点P(3,2eq \r(7))，Q(－6eq \r(2)，7)的双曲线的标准方程为 ．
eq \f(y2,25)－eq \f(x2,75)＝1 [设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，
因为所求双曲线经过点P(3,2eq \r(7))，Q(－6eq \r(2)，7)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9m＋28n＝1，,72m＋49n＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－\f(1,75)，,n＝\f(1,25).))
故所求双曲线方程为eq \f(y2,25)－eq \f(x2,75)＝1.]
考点3 双曲线的几何性质
求双曲线的离心率(或其范围)
求双曲线的离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
(1)(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C．2 D.eq \r(5)
(2)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，2)) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(5,3)))
C．(1,2] D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，＋∞))
(1)A (2)B [(1)令双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c,0)，则c＝eq \r(a2＋b2).
如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝eq \f(c,2)，由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，
得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)))eq \s\up20(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)))eq \s\up20(2)＝a2，∴eq \f(c,a)＝eq \r(2)，即离心率e＝eq \r(2).
故选A.
(2)由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝4|PF2|，所以|PF2|＝eq \f(2a,3)，由双曲线上的点到焦点的最短距离为c－a，可得eq \f(2a,3)≥c－a，解得eq \f(c,a)≤eq \f(5,3)，即e≤eq \f(5,3)，又双曲线的离心率e＞1，故该双曲线离心率的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(5,3)))，故选B.]
本例T(2)利用双曲线右支上的点到右焦点的距离不小于c－a建立不等式求解，同时应注意双曲线的离心率e＞1.
[教师备选例题]
(2019·沈阳模拟)设F1，F2分别为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是双曲线C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝4a，且△PF1F2的最小内角的正弦值为eq \f(1,3)，则双曲线C的离心率为( )
A．2 B．3 C.eq \r(2) D.eq \r(3)
C [不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a.△PF1F2的最小内角的正弦值为eq \f(1,3)，其余弦值为eq \f(2\r(2),3)，因为|PF1|＞|PF2|，|F1F2|＞|PF2|，所以∠PF1F2为△PF1F2的最小内角．由余弦定理可得|PF2|2＝|F1F2|2＋|PF1|2－2|F1F2||PF1|cs∠PF1F2，即a2＝4c2＋9a2－2×2c×3a×eq \f(2\r(2),3)，所以离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(2).故选C.]
与渐近线有关的问题
与渐近线有关的结论
(1)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±eq \f(a,b)x.
(2)e2＝1＋eq \f(b2,a2)⇒eq \f(b2,a2)＝e2－1⇒eq \f(b,a)＝eq \r(e2－1).
(1)(2019·武汉模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m＞0，n＞0)的离心率与椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．4x±3y＝0
B．3x±4y＝0
C．4x±3y＝0或3x±4y＝0
D．4x±5y＝0或5x±4y＝0
(2)(2019·张掖模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的顶点到其一条渐近线的距离为1，焦点到其一条渐近线的距离为eq \r(2)，则其一条渐近线的倾斜角为( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
(1)A (2)B [(1)由题意知，椭圆中a＝5，b＝4，∴椭圆的离心率e＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(3,5)，∴双曲线的离心率为eq \r(1＋\f(n2,m2))＝eq \f(5,3)，∴eq \f(n,m)＝eq \f(4,3)，∴双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(n,m)x＝±eq \f(4,3)x，即4x±3y＝0.故选A.
(2)设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的右顶点A(a,0)，右焦点F2(c,0)到渐近线y＝eq \f(b,a)x的距离分别为1和eq \r(2)，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(ab,\r(a2＋b2))＝1，,\f(bc,\r(a2＋b2))＝\r(2)，))即eq \f(a,c)＝eq \f(\r(2),2).
则eq \f(b2,a2)＝eq \f(c2－a2,a2)＝eq \f(c2,a2)－1＝2－1＝1，即eq \f(b,a)＝1.
设渐近线y＝eq \f(b,a)x的倾斜角为θ，则tan θ＝eq \f(b,a)＝1.
所以θ＝45°，故选B.]
双曲线中，焦点到一条渐近线的距离等于b是常用的结论．
[教师备选例题]
(2019·衡水模拟)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作圆x2＋y2＝a2的切线，交双曲线右支于点M.若∠F1MF2＝45°，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±eq \r(2)xB．y＝±eq \r(3)xC．y＝±xD．y＝±2x
A [如图，作OA⊥F1M于点A，F2B⊥F1M于点B.因为F1M与圆x2＋y2＝a2相切，∠F1MF2＝45°，所以|OA|＝a，|F2B|＝|BM|＝2a，|F2M|＝2eq \r(2)a，|F1B|＝2b.又点M在双曲线上，所以|F1M|－|F2M|＝2a＋2b－2eq \r(2)a＝2a，整理得b＝eq \r(2)a.所以eq \f(b,a)＝eq \r(2).所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq \r(2)x.故选A.]
1.已知双曲线eq \f(y2,m)－eq \f(x2,9)＝1(m＞0)的一个焦点在直线x＋y＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±eq \f(3,4)xB．y＝±eq \f(4,3)xC．y＝±eq \f(2\r(2),3)xD．y＝±eq \f(3\r(2),4)x
B [由双曲线eq \f(y2,m)－eq \f(x2,9)＝1(m＞0)的焦点在y轴上，且在直线x＋y＝5上，直线x＋y＝5与y轴的交点为(0,5)，
有c＝5，则m＋9＝25，得m＝16，
所以双曲线的方程为eq \f(y2,16)－eq \f(x2,9)＝1，
故双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(4,3)x.故选B.]
2．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A(2，eq \r(2))在双曲线C上，若AF2⊥F1F2，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±eq \r(2)x
C．y＝±2x D．y＝±eq \r(6)x
A [因为AF2⊥F1F2，A(2，eq \r(2))，所以F1(－2,0)，F2(2,0)，由双曲线的定义可知2a＝|AF1|－|AF2|＝eq \r(－2－22＋0－\r(2)2)－eq \r(2)＝2eq \r(2)，即a＝eq \r(2)，所以b＝eq \r(22－\r(2)2)＝eq \r(2)，故双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故选A.]标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1
(a＞0，b＞0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1
(a＞0，b＞0)
图形
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
性质
离心率
e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))∈(1，＋∞)
实、虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；
a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)