高中数学高考第6节 正弦定理、余弦定理 教案

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1．正弦、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则
2.三角形常用面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A；
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
eq \O([常用结论])
1．在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.
2．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcs C＋ccs B；
b＝acs C＋ccs A；
c＝bcs A＋acs B.
3．内角和公式的变形
(1)sin(A＋B)＝sin C；
(2)cs(A＋B)＝－cs C.
4．角平分线定理：在△ABC中，若AD是角A的平分线，如图，则eq \f(AB,AC)＝eq \f(BD,DC).
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( )
(2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B.( )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．
( )
(4)当b2＋c2－a2＞0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，△ABC为钝角三角形．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
二、教材改编
1．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝eq \f(π,6)，B＝eq \f(π,4)，a＝1，则b＝( )
A．2 B．1
C.eq \r(3) D.eq \r(2)
D [由eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)得b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(sin \f(π,4),sin \f(π,6))＝eq \f(\r(2),2)×2＝eq \r(2).]
2．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有( )
A．无解 B．两解
C．一解 D．解的个数不确定
B [∵bsin A＝24sin 45°＝12eq \r(2)，
∴12eq \r(2)＜18＜24，即bsin A＜a＜b.
∴此三角形有两解．]
3．在△ABC中，acs A＝bcs B，则这个三角形的形状为 ．
等腰三角形或直角三角形 [由正弦定理，得sin Acs A＝sin Bcs B，
即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝eq \f(π,2)，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．]
4．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2eq \r(3)，则△ABC的面积等于 ．
2eq \r(3) [因为eq \f(2\r(3),sin 60°)＝eq \f(4,sin B)，所以sin B＝1，所以 B＝90°，
所以AB＝2，所以S△ABC＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(3)＝2eq \r(3).]
考点1 利用正、余弦定理解三角形问题
解三角形的常见题型及求解方法
(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，可先求出角C及b，再求出c.
(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccs A，先求出a，再求出角B，C.
(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.
(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)可求出c，而通过eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)求角B时，可能有一解或两解或无解的情况．
(1)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cs A＝－eq \f(1,4)，则eq \f(b,c)＝( )
A．6 B．5
C．4 D．3
(2)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.
①求A；
②若eq \r(2)a＋b＝2c，求sin C.
(1)A [∵asin A－bsin B＝4csin C，
∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.
由余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(b2＋c2－4c2＋b2,2bc)＝eq \f(－3c2,2bc)＝－eq \f(1,4)，∴eq \f(b,c)＝6.
故选A.]
(2)[解] ①由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2).
因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.
②由①知B＝120°－C，由题设及正弦定理得eq \r(2)sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即eq \f(\r(6),2)＋eq \f(\r(3),2)cs C＋eq \f(1,2)sin C＝2sin C，可得cs(C＋60°)＝－eq \f(\r(2),2).
由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝eq \f(\r(2),2)，
故sin C＝sin(C＋60°－60°)
＝sin(C＋60°)cs 60°－cs(C＋60°)sin 60°
＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).
解三角形问题，关键是利用正、余弦定理实施边和角的转化，三角变换的相关公式如两角和与差的正、余弦公式，二倍角公式等，作为化简变形的重要依据．
1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin A＋acs B＝0，则B＝ .
eq \f(3π,4) [∵bsin A＋acs B＝0，∴eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,－cs B).由正弦定理，得－cs B＝sin B，∴tan B＝－1.又B∈(0，π)，∴B＝eq \f(3π,4).]
2．在△ABC中，AB＝4，AC＝7，BC边上中线AD＝eq \f(7,2)，则BC＝ .
9 [设BD＝DC＝x，∠ADC＝α，∠ADB＝π－α，
在△ADC中，(7)2＝x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)))eq \s\up20(2)－2x×eq \f(7,2)cs α，①
在△ABD中，(4)2＝x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)))eq \s\up20(2)－2x×eq \f(7,2)cs(π－α)，②
①＋②得x＝eq \f(9,2)，
∴BC＝9.]
3．(2019·贵阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C＝120°.
(1)求边长a；
(2)求AB边上的高CD的长．
[解] (1)由题意得b＝a＋2，c＝a＋4，
由余弦定理cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)得cs 120°＝eq \f(a2＋a＋22－a＋42,2aa＋2)，即a2－a－6＝0，所以a＝3或a＝－2(舍去)，所以a＝3.
(2)法一：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，
由三角形的面积公式得
eq \f(1,2)absin∠ACB＝eq \f(1,2)c×CD，
所以CD＝eq \f(absin∠ACB,c)＝eq \f(3×5×\f(\r(3),2),7)＝eq \f(15\r(3),14)，
即AB边上的高CD＝eq \f(15\r(3),14).
法二：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，
由正弦定理得eq \f(3,sin A)＝eq \f(7,sin∠ACB)＝eq \f(7,sin 120°)，
即sin A＝eq \f(3\r(3),14)，
在Rt△ACD中，CD＝ACsin A＝5×eq \f(3\r(3),14)＝eq \f(15\r(3),14)，
即AB边上的高CD＝eq \f(15\r(3),14).
[教师备选例题]
(2018·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,6))).
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．
[解] (1)在△ABC中，由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
可得bsin A＝asin B，
又由bsin A＝acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,6)))，
得asin B＝acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,6)))，
即sin B＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,6)))，
可得tan B＝eq \r(3).
又因为B∈(0，π)，可得B＝eq \f(π,3).
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝eq \f(π,3)，有b2＝a2＋c2－2accs B＝7，故b＝eq \r(7).
由bsin A＝acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,6)))，可得sin A＝eq \f(\r(3),\r(7)).
因为a＜c，故cs A＝eq \f(2,\r(7)).
因此sin 2A＝2sin Acs A＝eq \f(4\r(3),7)，
cs 2A＝2cs2A－1＝eq \f(1,7)，
所以，sin(2A－B)＝sin 2Acs B－cs 2Asin B＝eq \f(4\r(3),7)×eq \f(1,2)－eq \f(1,7)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),14).
考点2 利用正、余弦定理解决三角形面积问题
三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asineq \f(A＋C,2)＝bsin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
[解] (1)由题设及正弦定理得sin Asineq \f(A＋C,2)＝sin Bsin A.
因为sin A≠0，所以sineq \f(A＋C,2)＝sin B.
由A＋B＋C＝180°，可得sineq \f(A＋C,2)＝cseq \f(B,2)，
故cseq \f(B,2)＝2sineq \f(B,2)cseq \f(B,2).
因为cseq \f(B,2)≠0，故sineq \f(B,2)＝eq \f(1,2)，所以B＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝eq \f(\r(3),4)a.
由正弦定理得a＝eq \f(csin A,sin C)＝eq \f(sin120°－C,sin C)＝eq \f(\r(3),2tan C)＋eq \f(1,2).
由于△ABC为锐角三角形，故0°＜A＜90°，0°＜C＜90°.
由(1)知A＋C＝120°，
所以30°＜C＜90°，故eq \f(1,2)＜a＜2，从而eq \f(\r(3),8)＜S△ABC＜eq \f(\r(3),2).
因此，△ABC面积的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),8)，\f(\r(3),2))).
(1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值)，一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积，再代入公式求解．
(2)若已知三边，可先求一个角的余弦值，再求正弦值，最后代入公式得面积．
(3)若求面积的最值，一般表示为一个内角的三角函数，利用三角函数的性质求解，也可结合基本不等式求解．
1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝eq \f(π,3)，则△ABC的面积为 ．
6eq \r(3) [法一：因为a＝2c，b＝6，B＝eq \f(π,3)，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccs eq \f(π,3)，得c＝2eq \r(3)，所以a＝4eq \r(3)，所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×4eq \r(3)×2eq \r(3)×sin eq \f(π,3)＝6eq \r(3).
法二：因为a＝2c，b＝6，B＝eq \f(π,3)，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccs eq \f(π,3)，得c＝2eq \r(3)，所以a＝4eq \r(3)，所以a2＝b2＋c2，所以A＝eq \f(π,2)，所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)×2eq \r(3)×6＝6eq \r(3).]
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acs B.
(1)证明：A＝2B；
(2)若△ABC的面积S＝eq \f(a2,4)，求角A的大小．
[解] (1)证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acs B，
故2sin Acs B＝sin B＋sin(A＋B)
＝sin B＋sin Acs B＋cs Asin B，
于是sin B＝sin(A－B)．
又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，
所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，
因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.
(2)由S＝eq \f(a2,4)，得eq \f(1,2)absin C＝eq \f(a2,4)，
故有sin Bsin C＝eq \f(1,2)sin A＝eq \f(1,2)sin 2B＝sin Bcs B，
由sin B≠0，得sin C＝cs B.
又B，C∈(0，π)．所以C＝eq \f(π,2)±B.
当B＋C＝eq \f(π,2)时，A＝eq \f(π,2)；
当C－B＝eq \f(π,2)时，A＝eq \f(π,4).
综上，A＝eq \f(π,2)或A＝eq \f(π,4).
[教师备选例题]
已知△ABC的面积为3eq \r(3)，AC＝2eq \r(3)，BC＝6，延长BC至D，使∠ADC＝45°.
(1)求AB的长；
(2)求△ACD的面积．
[解] (1)因为S△ABC＝eq \f(1,2)×6×2eq \r(3)×sin∠ACB＝3eq \r(3)，
所以sin∠ACB＝eq \f(1,2)，∠ACB＝30°或150°，
又∠ACB＞∠ADC，且∠ADC＝45°，所以∠ACB＝150°，
在△ABC中，由余弦定理得AB2＝12＋36－2×2eq \r(3)×6cs 150°＝84，所以AB＝eq \r(84)＝2eq \r(21).
(2)在△ACD中，因为∠ACB＝150°，∠ADC＝45°，
所以∠CAD＝105°，
由正弦定理得eq \f(CD,sin∠CAD)＝eq \f(AC,sin∠ADC)，
所以CD＝3＋eq \r(3)，
又∠ACD＝180°－150°＝30°，
所以S△ACD＝eq \f(1,2)AC·CD·sin∠ACD＝eq \f(1,2)×2eq \r(3)×(3＋eq \r(3))×eq \f(1,2)＝eq \f(3\r(3)＋1,2).
考点3 判断三角形的形状
判断三角形形状的两种思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcs C＋ccs B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
B [由正弦定理得sin Bcs C＋sin Ccs B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，∴sin A＝1，
即A＝eq \f(π,2)，∴△ABC为直角三角形．]
在判断三角形的形状时，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应提取公因式，以免漏解．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形
B．等腰非等边三角形
C．等边三角形
D．钝角三角形
C [因为eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(a,c)，所以eq \f(a,b)＝eq \f(a,c).所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(bc,2bc)＝eq \f(1,2).因为A∈(0，π)，所以A＝eq \f(π,3).所以△ABC是等边三角形．]定理
正弦定理
余弦定理
内容
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R.
a2＝b2＋c2－2bccs A；
b2＝c2＋a2－2cacs B；
c2＝a2＋b2－2abcs C.
变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
c＝2Rsin C；
(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(3)eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝eq \f(a,sin A)＝2R.
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ac)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab).