高中数学高考第5章 §5 5　复　数课件PPT

这是一份高中数学高考第5章 §5 5　复　数课件PPT，共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，a＝c且b＝d，a＝cb＝－d，a＋bi，探究核心题型，复数的概念，因为z＝2－i，复数的四则运算，复数的几何意义，复数的三角形式等内容，欢迎下载使用。
1.通过方程的解，认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.
LUOSHIZHUGANZHISHI
1.复数的有关概念(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 是实部， 是虚部，i为虚数单位.(2)复数的分类：复数z＝a＋bi(a，b∈R)
实数(b 0)，虚数(b 0)(其中，当a 0时为纯虚数).
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔ (a，b，c，d∈R).(4)共轭复数：a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔ (a，b，c，d∈R).(5)复数的模：向量 的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作 或 ，即|z|＝|a＋bi|＝ (a，b∈R).
2.复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点Z(a，b).(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量 .3.复数的四则运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ ；
(a＋c)＋(b＋d)i
(a－c)＋(b－d)i
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
2.－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N).5.复数z的方程在复平面上表示的图形(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)复数z＝a－bi(a，b∈R)中，虚部为b.(　　)(2)复数可以比较大小.(　　)(3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数.(　　)(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.(　　)
1.已知复数z满足(2＋i)z＝1－i，其中i是虚数单位，则z在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
2.复数z＝(3＋i)(1－4i)，则复数z的实部与虚部之和是_____.
z＝(3＋i)(1－4i)＝3－12i＋i＋4＝7－11i，故实部和虚部之和为7－11＝－4.
3.若z＝(m2＋m－6)＋(m－2)i为纯虚数，则实数m的值为______.
TANJIUHEXINTIXING
例1　 (1)(2021·浙江)已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i(i为虚数单位)，则a等于A.－1 B.1 C.－3 D.3
方法一　因为(1＋ai)i＝－a＋i＝3＋i，所以－a＝3，解得a＝－3.
A.i B.－i C.1 D.－1
∴z(1－i)＝(2－i)(1－i)，∴z＝2－i，
1.(2020·全国Ⅲ)若 (1＋i)＝1－i，则z等于A.1－i B.1＋i C.－i D.i
2.(2020·全国Ⅰ)若z＝1＋i，则|z2－2z|等于A.0 B.1 C. D.2
方法一　z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2，|z2－2z|＝|－2|＝2.方法二　|z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|(1＋i)(－1＋i)|＝|1＋i|·|－1＋i|＝2.
解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
跟踪训练1　(1)(2022·衡水中学模拟)已知 ＝1－yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x＋yi的共轭复数为A.2＋i B.2－iC.1＋2i D.1－2i
∴x＋yi＝2＋i，∴其共轭复数为2－i.
例2　(1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知z＝2－i，则z( ＋i)等于A.6－2i B.4－2iC.6＋2i D.4＋2i
(2)(多选)设z1，z2，z3为复数，z1≠0.下列命题中正确的是A.若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3B.若z1z2＝z1z3，则z2＝z3C.若 2＝z3，则|z1z2|＝|z1z3|D.若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2
由|i|＝|1|，知A错误；z1z2＝z1z3，则z1(z2－z3)＝0，又z1≠0，所以z2＝z3，故B正确；|z1z2|＝|z1||z2|，|z1z3|＝|z1||z3|，又 2＝z3，所以|z2|＝| 2|＝|z3|，故C正确，令z1＝i，z2＝－i，满足z1z2＝|z1|2，不满足z1＝z2，故D错误.
(2020·新高考全国Ⅰ) 等于A.1 B.－1 C.i D.－i
所以z4的虚部是－2.
(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算.(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.
跟踪训练2　(1)(2021·全国乙卷)设iz＝4＋3i，则z等于A.－3－4i B.－3＋4i C.3－4i D.3＋4i
方法一　(转化为复数除法运算)因为iz＝4＋3i，
方法二　(利用复数的代数形式)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由iz＝4＋3i，可得i(a＋bi)＝4＋3i，即－b＋ai＝4＋3i，
方法三　(巧用同乘技巧)因为iz＝4＋3i，所以iz·i＝(4＋3i)·i，所以－z＝4i－3，所以z＝3－4i.
例3　(1)(2021·新高考全国Ⅱ)复数 在复平面内对应的点所在的象限为A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
(2)(2020·全国Ⅱ)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝ ＋i，则|z1－z2|＝______.
方法一　设z1－z2＝a＋bi，a，b∈R，
因为|z1|＝|z2|＝2，所以|2z1|＝|2z2|＝4，
①2＋②2，得a2＋b2＝12.
如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
1.(2020·北京)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i·z等于A.1＋2i B.－2＋i C.1－2i D.－2－i
由题意知，z＝1＋2i，∴i·z＝i(1＋2i)＝－2＋i.
2.(2019·全国Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A.(x＋1)2＋y2＝1 B.(x－1)2＋y2＝1C.x2＋(y－1)2＝1 D.x2＋(y＋1)2＝1
∵z在复平面内对应的点为(x，y)，∴z＝x＋yi(x，y∈R).∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.
由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.
跟踪训练3　(1)如图，若向量 对应的复数为z，则z＋表示的复数为A.1＋3i B.－3－iC.3－i D.3＋i
由题图可得Z(1，－1)，即z＝1－i，
任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成z＝r(cs θ＋isin θ)的形式.其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量 所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角.
我们把r(cs θ＋isin θ)叫做复数的三角形式.对应于复数的三角形式，把z＝a＋bi叫做复数的代数形式.
复数乘、除运算的三角表示：已知复数z1＝r1(cs θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cs θ2＋isin θ2)，则z1·z2＝r1r2[cs(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)].
例2　(多选)已知i为虚数单位，z1＝ (cs 60°＋isin 60°)，z2＝2 (sin 30°－ics 30°)，则z1·z2的三角形式不为下列选项的有A.4(cs 90°＋isin 90°)B.4(cs 30°＋isin 30°)C.4(cs 30°－isin 30°)D.4(cs 0°＋isin 0°)
＝4(cs 360°＋isin 360°).
KESHIJINGLIAN
1.(2022·福州模拟)已知i是虚数单位，则“a＝i”是“a2＝－1”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
i是虚数单位，则i2＝－1，“a＝i”是“a2＝－1”的充分条件；由a2＝－1，得a＝±i，故“a＝i”是“a2＝－1”的不必要条件；故“a＝i”是“a2＝－1”的充分不必要条件.
2.设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝3－i，则z1z2等于A.－10 B.10 C.－8 D.8
∵z1＝3－i，z1，z2在复平面内所对应的点关于虚轴对称，∴z2＝－3－i，∴z1z2＝－9－1＝－10.
4.已知i是虚数单位，则复数z＝i2 023＋i(i－1)在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
因为z＝i2 023＋i(i－1)＝－i－1－i＝－1－2i，所以复数z在复平面内对应的点是(－1，－2)，位于第三象限.
5.(2022·潍坊模拟)在复数范围内，已知p，q为实数，1－i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，则p＋q等于A.2 B.1 C.0 D.－1
因为1－i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，则1＋i是方程x2＋px＋q＝0的另一根，
解得p＝－2，q＝2，所以p＋q＝0.
6.(多选)(2022·苏州模拟)若复数z满足(1＋i)·z＝5＋3i(其中i是虚数单位)，则A.z的虚部为－iB.z的模为C.z的共轭复数为4－iD.z在复平面内对应的点位于第四象限
z的共轭复数为4＋i，C错误；z在复平面内对应的点为(4，－1)，位于第四象限，D正确.
8.(2022·温州模拟)已知复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，且 ＝3＋2i，则a＝____，b＝____.
即m＝2时，复数z是实数.
当m2－2m≠0，且m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数.
即m＝－3时，复数z是纯虚数.
10.如图所示，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求：
(3)B点对应的复数.
∴B所对应的复数为1＋6i.
11.(多选)欧拉公式exi＝cs x＋isin x是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项正确的是A.复数e2i对应的点位于第二象限 B. 为纯虚数
对于A，e2i＝cs 2＋isin 2，
12.(多选)(2022·武汉模拟)下列说法正确的是A.若|z|＝2，则z· ＝4B.若复数z1，z2满足|z1＋z2|＝|z1－z2|，则z1z2＝0C.若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虚部相等D.“a≠1”是“复数z＝(a－1)＋(a2－1)i(a∈R)是虚数”的必要不充分 条件
若|z|＝2，则z· ＝|z|2＝4，故A正确；设z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)，由|z1＋z2|＝|z1－z2|，可得|z1＋z2|2＝(a1＋a2)2＋(b1＋b2)2＝|z1－z2|2＝(a1－a2)2＋(b1－b2)2则a1a2＋b1b2＝0，而z1z2＝(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝a1a2－b1b2＋a1b2i＋b1a2i＝2a1a2＋a1b2i＋b1a2i不一定为0，故B错误；
当z＝1－i时，z2＝－2i为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C错误；若复数z＝(a－1)＋(a2－1)i(a∈R)是虚数，则a2－1≠0，即a≠±1，所以“a≠1”是“复数z＝(a－1)＋(a2－1)i(a∈R)是虚数”的必要不充分条件，故D正确.
＝(a－i)(1＋i)－(b－2i)＝a＋ai－i＋1－b＋2i＝(a＋1－b)＋(a＋1)i，
14.(2022·上海市静安区模拟)投掷两颗六个面上分别刻有1到6的点数的均匀的骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数为 虚数的概率为_____.
即m≠n，故有6×6－6＝30(种)情况，
15.(2022·青岛模拟)已知复数z满足|z－1－i|≤1，则|z|的最小值为
令z＝x＋yi(x，y∈R)，则由题意有(x－1)2＋(y－1)2≤1，∴|z|的最小值即为圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的动点到原点的最小距离，
16.(2022·张家口调研)已知复数z满足z2＝3＋4i，且z在复平面内对应的点位于第三象限.(1)求复数z；
设z＝c＋di(c