北师大版高中数学选择性必修第一册1-1-5两条直线的交点坐标课件

第一章内容索引自主预习 新知导学合作探究 释疑解惑自主预习 新知导学两条直线的交点坐标1.一般地,对于两条不重合的直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,可以用直线的斜率(斜率存在时)或法向量先定性判断两条直线是否相交,若相交,则依据直线方程的概念可知,两条直线l1,l2交点的坐标就是两个方程的公共解 .2.已知直线3x+5y+m=0与直线x-y+1=0的交点在x轴上,则m=　　　　　. 解析:直线x-y+1=0与x轴的交点为(-1,0),则点(-1,0)在直线3x+5y+m=0上,于是3×(-1)+5×0+m=0,得m=3.答案:3合作探究 释疑解惑【例1】 判断下列各组直线的位置关系,若相交,求出交点坐标.(1)l1:2x+y+3=0,l2:x-2y-1=0;(2)l1:x+3y-1=0,l2:2x+6y-2=0;(3)l1:6x-2y+3=0,l2:3x-y+2=0.由方程组解的个数判断两直线的位置关系根据方程组解的个数判断两直线的位置关系,在解方程时,要先观察方程系数.若方程组有唯一解,则两直线相交;若方程组无解,则两直线平行;若方程组有无数多个解,则两直线重合.也可根据直线的斜率和截距的关系判断两直线的位置关系.【例2】 求过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程.解法二:由题意可设所求直线方程为(2x-3y-3)+λ(x+y+2)=0(λ∈R),即(2+λ)x+(λ-3)y+(2λ-3)=0.(*)若将本例中的“平行”改为“垂直”,如何求解?解:设所求直线方程为(2x-3y-3)+λ(x+y+2)=0,即(2+λ)x+(λ-3)y+(2λ-3)=0,由于所求直线与直线3x+y-1=0垂直,因此3(2+λ)+(λ-3)×1=0,解得λ=- ,所以所求直线方程为5x-15y-18=0.两条直线的交点坐标就是联立两直线方程所得方程组的解.本例解法一采用常规方法,先通过方程组求出两直线交点,再根据平行直线求出斜率,由点斜式求解;而解法二则采用了过直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0,其中λ∈R),直接设出过两直线交点的方程,再根据平行条件求出待定系数即可.【例3】 求证:无论k取任何实数,直线(k+1)x-(k-1)y-2k=0必过定点,并求出此定点.证法一:由k的任意性,取k=0,得x+y=0,①取k=1,得x-1=0.②由①②,得直线x+y=0与直线x-1=0的交点坐标为(1,-1).将点(1,-1)的坐标代入原直线方程,可知(k+1)×1-(k-1)×(-1)-2k=0恒成立,所以直线(k+1)x-(k-1)y-2k=0必过定点,定点为(1,-1).此为直线方程的点斜式,该直线一定过点(1,-1);当k=1时,直线方程为x=1,也必过定点(1,-1).综上,该直线必过定点,定点的坐标为(1,-1).证法三:直线方程可整理为x+y+k(x-y-2)=0,则直线(k+1)x-(k-1)y-2k=0过直线l1:x+y=0与直线l2:x-y-2=0的交点.所以直线恒过定点(1,-1).直线过定点问题是直线方程中常见的问题,解决方法主要是根据参数的任意性列方程组求解,常见方法有:(1)特值法:对直线系中的参数赋值,可得直线系中的不同直线,联立其中两条便可求出其交点坐标,该坐标即为所求定点.(用于客观题)(2)恒等式法:该类问题可转化为关于参数的恒等式问题,根据恒等式的性质,由参数的系数和常数项均为零,就可以求得该定点坐标.(3)直线系方程法.【例4】 △ABC的一个内角的平分线所在直线的方程是y=2x,若A,B两点的坐标分别为(-4,2),(3,1),则点C的坐标为　　　　　. 解析:分别把A,B两点的坐标代入y=2x知,点A,B都不在直线y=2x上,∴直线y=2x是∠ACB的平分线所在的直线.设点A(-4,2)关于直线y=2x的对称点为A'(a,b),即A'(4,-2).∵直线y=2x是∠ACB的平分线所在的直线,∴点A'在直线BC上,答案:(2,4) 有关对称问题的两种主要类型(1)中心对称:①点P(x,y)关于O(a,b)的对称点P'(x',y')满足②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.(2)轴对称:①若点A(a,b)关于直线Ax+By+C=0(AB≠0)的对称点为A'(m,n),则有②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.