北师大版高中数学选择性必修第一册2-3-1抛物线及其标准方程课件

第二章内容索引自主预习 新知导学合作探究 释疑解惑自主预习 新知导学一、抛物线的定义1.平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作 抛物线 .这个定点F叫作抛物线的 焦点 ,这条定直线l叫作抛物线的 准线 .2.一动圆的圆心在抛物线y2=8x上且恒与直线x+2=0相切,则动圆必过定点(　　).A.(4,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(0,-2)解析:直线x+2=0为抛物线的准线,所以动圆过抛物线的焦点(2,0).故选B.答案:B二、抛物线的标准方程1.抛物线的标准方程 表2-3-1 2.抛物线y2=2x的焦点坐标是　　　　　,准线方程是　　　　　.  合作探究 释疑解惑【例1】 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.(1)y2=40x;(2)4x2=y;(3)6y2+11x=0.已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程的方法先将所给方程化为标准形式,由标准方程得到参数p,从而得焦点坐标和准线方程.需注意p>0,焦点所在位置由标准方程一次项确定,系数为正,焦点在正半轴;系数为负,焦点在负半轴.【例2】 根据下列条件确定抛物线的标准方程.(1)关于y轴对称且过点(-1,-3);(2)过点(4,-8);(3)焦点在直线x-2y-4=0上;(4)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为 .(2)由题意,可设所求抛物线方程为y2=2px(p>0)或x2=-2p'y(p'>0),将点(4,-8)的坐标代入y2=2px,得p=8,将点(4,-8)的坐标代入x2=-2p'y,得p'=1.故所求抛物线方程为y2=16x或x2=-2y.1.求抛物线方程,通常用待定系数法.(1)若能确定抛物线的焦点位置,则可直接设出抛物线的标准方程,求出p值即可;(2)若抛物线的焦点位置不确定,则要分情况讨论.2.焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2=ax(a≠0),焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2=ay(a≠0).【例3】 已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,求点P到点A(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值.如答图2-3-1 ,设抛物线的准线为l,过点P向直线l作垂线,垂足为Q,连接PF,AF.由抛物线的定义知,|PA|+|PQ|=|PA|+|PF|≥|AF|,当且仅当点P在AF上时取等号.答图2-3-1 1.若将本例中的点A(0,2)改为点A(3,2),求点P到点A(3,2)的距离与点P到该抛物线焦点的距离之和的最小值.解:由题意可知,抛物线y2=2x的焦点坐标为 ,设为F.如如答图2-3-2,设抛物线的准线为l,过点P向直线l作垂线,垂足为Q,过点A向直线l作垂线,垂足为Q'.由抛物线的定义知,|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|≥|AQ'|,当且仅当点P在AQ'上时取等号.答图2-3-2 2.若将本例中的点(0,2)换为直线l1:3x-4y+ =0,求点P到直线l1的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值.答图2-3-3 抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化.根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化,从而简化某些问题.(2)解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时,往往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线解决最值问题.因考虑问题不全面而致误【典例】 抛物线上一点(-5,-2 )到焦点F(x,0)的距离是6,则抛物线的标准方程是(　　).A.y2=-2x,y2=-18xB.y2=-4x,y2=-36xC.y2=-4xD.y2=-18x,y2=-36xx=-9,则F(-1,0)或F(-9,0).若F(-1,0),则p=2,方程为y2=-4x;若F(-9,0),则p=18,方程为y2=-36x.故选B.答案:B以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:上述解法的错误在于忘记检验是否符合抛物线的定义.由已知求出F(-1,0)或F(-9,0),只说明这两点到点(-5,-2 )的距离为6,并不代表点(-5,-2 )一定在以F(-1,0)或F(-9,0)为焦点的抛物线上.整理得x2+10x+9=0,即(x+1)(x+9)=0,解得x=-1或x=-9.则F(-1,0)或F(-9,0).若F(-1,0),则p=2,y2=-4x;若F(-9,0),则p=18,y2=-36x.显然,若抛物线的方程为y2=-36x,则它的准线方程为x=9.由抛物线的定义,点(-5,-2 )到直线x=9的距离应该是6,而点(-5,-2 )到直线x=9的距离为14,矛盾.故所求抛物线的标准方程为y2=-4x.答案:C1.求抛物线的标准方程,常用待定系数法.用待定系数法求抛物线标准方程时,一定要先确定焦点位置与开口方向,如果开口方向不确定时,可设所求抛物线方程为y2=ax(a≠0),或者x2=ay(a≠0).2.应用分类讨论的思想解题时,应注意验证分类的结果是否都符合题意.