北师大版高中数学选择性必修第一册3-2第1课时从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算课件

第三章内容索引自主预习 新知导学合作探究 释疑解惑自主预习 新知导学一、空间向量1.空间向量的有关概念(1)定义:与平面向量类似,在空间中,我们把具有 大小 和 方向 的量叫作空间向量.(2)长度:向量的大小叫作向量的长度或模.(3)表示法(4)自由向量:数学中所研究的向量,与向量的起点无关,称为自由向量.(5)特殊向量:表3-2-1 2.在长方体ABCD-A'B'C'D'的棱所在的向量中,与向量 的模相等的向量至少有(　　).A.0个 B.3个 C.7个 D.9个答案:C 二、空间向量的加减法上述求两个空间向量和的法则,叫作向量求和的三角形法则. 图3-2-1 (2)向量求和的平行四边形法则: 图3-2-2 (3)与平面向量的加法满足的运算律类似,空间向量的加法也满足如下的运算律:①交换律　a+b=b+a;②结合律　(a+b)+c= a+(b+c) .(4)空间向量的减法:与平面向量类似,空间向量a与b的差也可定义为a+(-b),记作 a-b ,其中-b是b的相反向量.答案:0 三、空间向量的数乘运算1.空间向量的数乘运算(1)定义:与平面向量类似,实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个 向量 ,记作λa.求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算.(2)向量λa的长度和方向满足:①|λa|= |λ||a| ;②当λ>0时,向量λa与向量a方向 相同 ;当λ<0时,向量λa与向量a方向 相反 ;当λ=0时,λa=0.对于任意一个非零向量a,当 表示与向量a同方向的单位向量.(3)空间向量的数乘运算满足如下的结合律和分配律:①λ(μa)=(λμ)a;②(λ+μ)a=λa+μa;③λ(a+b)=λa+λb.其中λ∈R,μ∈R.(4)定理:空间两个向量a,b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ,使得a=λb .通常把这个定理称为共线向量基本定理.(也称“一维向量基本定理”)2. 若非零空间向量e1,e2不共线,则使向量2ke1-e2与e1+2(k+1)e2共线的实数k的值为　　　　　. 解析:由题意知,2ke1-e2≠0,且e1+2(k+1)e2≠0.若向量2ke1-e2与e1+2(k+1)e2共线,则存在实数λ,使得2ke1-e2=λ[e1+2(k+1)e2]成立.∵非零空间向量e1,e2不共线.合作探究 释疑解惑【例1】 给出下列命题:①若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同;②若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;③在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有 ;④若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p;⑤空间中任意两个模为1的向量必相等.其中正确的个数为(　　).A.4 B.3 C.2 D.1解析:当两个空间向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两个向量相等时,不一定满足起点相同,终点也相同,故①错误;根据相等向量的定义,要保证两向量相等,不仅模要相等,而且方向还要相同,但②中向量a与b的方向不一定相同,故②错误;根据正方体的性质,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,向量 的方向相同,模也相等,所以 ,故③正确;命题④显然正确;空间中任意两个模为1的向量长度相等,但方向不一定相同,故⑤错误.答案:C空间向量概念问题的注意点(1)空间向量的概念与平面向量的概念相类似,平面向量的其他相关概念,如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.(2)在空间向量中,平行向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致,两个向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等;两个向量互为相反向量的充要条件是这两个向量的模相等、方向相反.图3-2-3 解决空间向量线性运算问题的方法进行向量的线性运算,实质上是在正确运用数乘运算律的基础上进行向量求和,即通过作出向量,运用平行四边形法则或三角形法则求和.运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中.【例3】 如图3-2-4,点E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,其中E,H分别是AB,BC的中点,F,G是三等分点,且CF=2FB,CG=2GD.求证: 为共线向量.图3-2-4 1.判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ,使a=λb成立,或充分利用空间向量的运算法则,结合具体图形,通过化简、计算得出a=λb,从而得到a∥b.2.共线向量定理还可用来判定两直线平行、证明三点共线.在证明两直线平行时,先取两直线的方向向量,通过证明此两向量共线来判定两直线平行.当两共线的有向线段有公共点时,两直线即为同一直线,即此时三点共线.