北师大版高中数学选择性必修第一册3-4-2用向量方法讨论立体几何中的位置关系课件

第三章内容索引自主预习 新知导学合作探究 释疑解惑自主预习 新知导学一、空间中平行、垂直关系的向量表示1.空间中平行、垂直关系的向量表示设向量l,m分别是直线l,m的方向向量,n1,n2分别是平面α,β的法向量,则表3-4-1 2.(1)若直线l的方向向量为m,平面α的法向量为n,则可能使l∥α的是(　　).A.m=(1,0,0),n=(-2,0,0)B.m=(1,3,5),n=(1,0,1)C.m=(0,2,1),n=(-1,0,-1)D.m=(1,-1,3),n=(0,3,1)(2)若平面α,β的法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则(　　).A.α∥β B.α⊥βC.α,β相交但不垂直 D.以上均不正确解析:(1)A中,m·n=-2≠0,所以排除A;B中,m·n=1+5=6≠0,所以排除B;C中,m·n=-1,所以排除C;D中,m·n=0,所以m⊥n,可能使l∥α.(2)因为n1与n2不是平行向量,且n1·n2≠0,所以α,β相交但不垂直.答案:(1)D　(2)C二、三垂线定理1.(1)三垂线定理:若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影 垂直,则它也和这条斜线垂直.(2)三垂线定理的逆定理:若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在这个平面内的 投影 垂直.2.如图3-4-5,PA垂直于☉O所在平面,AB为圆的直径,C为圆上的任意一点(不同于点A,B),则图中有　　　　　个直角三角形. 解析:有4个,分别是△PAB,△PAC,△ACB,△PCB.答案:4图3-4-5 合作探究 释疑解惑【例1】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是棱BB1,DD1的中点.求证:FC1∥平面ADE.答图3-4-4 (变问法)在本例条件下,求证:平面ADE∥平面B1C1F. 答图3-4-5 证明线、面平行问题的方法(1)用向量法证明线面平行:①证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内;②证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内;③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内.(2)利用空间向量证明面面平行,通常证明两平面的法向量平行.【例2】 如图如图3-4-6,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1⊥平面A1BD.图3-4-6 证明:如答图3-4-6,取BC的中点O,连接AO.因为△ABC为正三角形,所以AO⊥BC.因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,平面ABC∩平面BCC1B1=BC,所以AO⊥平面BCC1B1.由题意知四边形BCC1B1为正方形,取B1C1的中点O1,连接OO1,则OB,OO1,OA两两垂直.答图3-4-6 (变条件)若本例增加条件:E,F分别是BC,BB1的中点,求证:EF⊥平面ADE.证明:取B1C1的中点N,连接EN.由题意得EB,EN,EA两两垂直.以E为原点,EB,EN,EA所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系E-xyz,如答图3-4-7,,则A(0,0, ),D(-1,1,0),E(0,0,0),F(1,1,0),所以答图3-4-7 用向量法证明空间中垂直关系的方法(1)证明线线垂直,只需证两直线的方向向量垂直.设直线l1,l2的方向向量分别为a,b,则要证l1⊥l2,只需证a⊥b,即a·b=0.(2)证明线面垂直①证明直线的方向向量与平面的法向量平行.②证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直.(3)证明面面垂直:可证两平面的法向量相互垂直.【例3】 如图3-4-7,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接BD1,AC,CB1,B1A,求证:BD1⊥平面AB1C.图3-4-7 证明:如答图3-4-8,连接BD,A1B.∵DD1⊥平面ABCD,∴BD是斜线D1B在平面ABCD内的投影.∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,即AC垂直于斜线D1B在平面ABCD内的投影BD.∴AC⊥BD1.同理可证AB1⊥BD1.又AB1∩AC=A,AB1,AC⊂平面AB1C,∴BD1⊥平面AB1C.答图3-4-8 关于用三垂线定理证明空间两直线垂直问题,关键是找出或作出平面的垂线,至于投影则是由垂足和斜足来确定的.证明a⊥b(线线垂直)的一个程序:一垂、二投、三证.即第一,找或作平面垂线.第二,找投影,这时a,b便成平面内的一条直线与平面的一条斜线.第三,证明直线a与投影垂直,从而得出a与b垂直.