北师大版高中数学选择性必修第一册2-3-2抛物线的简单几何性质课件

3.2 抛物线的简单几何性质一、温故知新(一) 圆锥曲线的统一定义 平面内，到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e的点的轨迹,当00)(2)开口向左y2 = -2px (p>0)(3)开口向上x2 = 2py (p>0)(4)开口向下x2 = -2py (p>0)当e>1时，是双曲线； 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合（或轨迹）叫作抛物线.这个定点F叫作抛物线的焦点,这条定直线l叫作抛物线的准线.|MF|=dd 为 M 到 l 的距离准线焦点d抛物线的定义：y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py标准方程、焦点、准线：1．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为(　　)A．2　　　　　　 B．3C．4 D．5解析：点A与抛物线焦点的距离就是点A与抛物线准线的距离，即4－(－1)＝5.答案：D答案：B一、抛物线的几何性质抛物线在y轴的右侧，开口向右；当x的值增大时，︱y︱也随之增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.1、范围抛物线y2 =2px（p>0）根据方程y2 = 2px(p>0)的结构特点，可以发现：若(x0,y0)满足方程y2 = 2px(p>0)，则(x0,-y0)也满足方程y2 = 2px(p>0)，所以抛物线y2 = 2px(p>0)是关于x轴对称的曲线.抛物线和它的对称轴的交点叫作抛物线的顶点。在方程y2 = 2px （p>0）中，当y=0时,x=0, 因此，抛物线的顶点就是坐标原点（0，0）.注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。３、顶点 抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率，用e表示.由抛物线的定义可知e=1.5、开口方向抛物线y2 =2px（p>0）的开口方向向右+X，x轴正半轴，向右-X，x轴负半轴，向左+y，y轴正半轴，向上-y，y轴负半轴，向下特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1;思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.P越大开口越大x轴x轴y轴y轴练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上） 开口向右开口向左开口向上开口向下（二）归纳：抛物线的几何性质y2 = 2px（p>0）y2 = -2px（p>0）x2 = 2py（p>0）x2 = -2py（p>0）x≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry ≤ 0x∈RFABy2=2px2p过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径，利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.|AB|=2p2p越大，抛物线张口越大.P越大,开口越开阔 1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是 . 2、一个正三角形的三个顶点，都在抛物线 上，其中一个顶点为坐标原点，则这个三角形的面积为 。课堂练习：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。|PF|=x0+p/2焦半径公式：Fx0p/2焦半径及焦半径公式抛物线上一点到焦点的距离P(x0，y0)在y2=2px上， P(x0，y0)在y2=-2px上,P(x0，y0)在x2=2py上,P(x0，y0)在x2=-2py上,归纳: (1)、抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线； (2)、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; (3)、抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； (4)、抛物线的离心率e是确定的为１, ⑸、抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大.例题|AB|＝8 法1：解出交点坐标；计算弦长(运算量一般较大); 法2：设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般); 法3：焦半径公式。解法一:由已知得抛物线的焦点为F(1,0),所以直线AB的方程为y=x-1焦点弦公式：练习:1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线的标准方程_________.2.过抛物线 的焦点,作倾斜角为的直线,则被抛物线截得的弦长为_________3.垂直于x轴的直线交抛物线y2=4x于A、B,且|AB|=4 ,求直线AB的方程. y2 = 8xX=3令y=0,得到焦点坐标例5.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个点在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个正三角形的边长.例6.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(P>0),O为抛物线的顶点,OA⊥OB,则ΔAOB的面积为( )A. 8p2 B. 4p2 C. 2p2 D. p2 五、归纳总结抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;抛物线的离心率是确定的，等于１；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大.1、范围：2、对称性：3、顶点：4、离心率：5、通径：6、光学性质：从焦点出发的光线，通过抛物线反射就变成了平行光束.