北师大版高中数学选择性必修第一册6-1-3全概率公式课件

1.3 全概率公式 在上节计算按对银行储蓄卡密码的概率时，我们首先把一个复杂事件表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率，下面我们再看一个求复杂事件概率的问题.1.条件概率3.概率的乘法公式1.了解全概率公式和贝叶斯公式的概念.2.掌握利用全概率公式和贝叶斯公式求概率的方法.3.能利用全概率公式和贝叶斯公式解决生活中一些简单的实际问题.1.通过对全概率公式和贝叶斯公式概念的学习，体会数学抽象素养.2.借助全概率公式和贝叶斯公式求解概率，提升数学运算和逻辑推理素养.素养要求课标要求探究点 全概率公式如图,有三个箱子，分别编号为1,2,3,其中1号箱装有1个红球和4个白 球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同.某人先从三箱中任取一箱，再从中任意摸出一球,求取得红球的概率.问题1  按照某种标准,将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并,再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率.【规律方法】某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录 有如表的数据：设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志.在仓库中随机地取一只元件,求它是次品的概率.问题2分析 设事件Bi表示“所取到的产品是由第i家元件制造厂提供的”(i=1,2,3),事件A 表示“取到的是一件次品”.其中B1,B2,B3两两互斥,A发生总是伴随着 B1,B2,B3 之一同时发生.即A=B1A∪B2A ∪ B3A,且B1A,B2A,B3A两两互斥.运用互斥事件概率的加法公式和乘法公式，得 P(A) =P(B1A) +P(B2A) +P(B3A) =F(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)-P(B3)F(A|B3) =0.15×0.02+ 0.80×0.01+0.05×0.03 =0.0125.因此，在仓库中随机地取一只元件，它是次品的概率为0.0125.从上述两个问题可以看出，某一事件A的发生有各种可能的原因，如问题1中摸得的红球有三种来源:可能取自1号箱，也可能取自2号箱或3号箱；问题2中取到的次品可能产自第1家元件制造厂，也可能产自第2家元件制造厂或第3家元件制造厂.若A是由原因 Bi(Bi=1,2,…n)所引起，则A发生的概率是P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi),由于每一个原因都 可能导致A发生，且各原因涵盖所有可能的情形并彼此互斥,故事件A发生的概率是各原 因引起A发生概率的总和，即【规律方法】设Ω是试验E的样本空间，B1，B2，…,Bn为样本空间的一组事件，若(1)BiBj=Ø，其中i≠j(i,j=1,2,…,n),(2)B1∪B2∪…∪Bn=Ω则称B1,B2,…Bn为样本空间的一个划分.条件(1)表示每次试验B1,B2,…Bn中只能发生一个；条件(2)表示每次试验B1,B2,…Bn必有发生一个.全概率公式例6 釆购员要购买某种电器元件一包(10个).他的采购方法是:从一包中随机抽查 3个，如这3个元件都是好的，他才买下这一包.假定含有4个次品的包数占30%,而其余包中各含1个次品，求采购员随机挑选一包拒绝购买的概率.解 设事件B1表示“取到的是含有4个次品的包。事件B2表示“取到的是含有1个次品的包”，事件A表示“采购员拒绝购买”.则B1，B2构成样本空间的一个划分，且P(B1)= ,P(B2)= .又由古典概型计算概率的公式，可知从而由全概率公式，可知因此，釆购员随机挑选一包拒绝购买的概率为 .例7 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞机被一人击中且击落的概率为0.2,被两人击中且击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率.解 设事件A表示“飞机被击落”，事件Bi表示“飞机被i人击中”(i=0,1,2,3)，则B0，构成样本空间的一个划分，且依题意，P(A|B0)=0，P(A|B1)=0.2,P(A|B2)=0.6, P(A|B3) = 1.再设事件Hi表示“飞机被第i人击中”i=1，2，3).由全概率公式，可知则同理因此,飞机被击落的概率为0.458.运用全概率公式的一般步骤如下：（1）求出样本空间Ω的一个划分B1，B2，…，Bn；（2）求P(Bi）(i=l，2，…，n)；（3）求P(A|Bi） （i=l，2，…,n)；（4）求目标事件的概率P(A).可以形象地把全概率公式看成“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系.【规律方法】在实际中，还有一类问题是“已知结果求原因".这类问题更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生的可能性大小.例8 如图,有三个箱子，分别编号为1，2，3，其中 1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同.某人先从三箱中任取一箱,再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率以及该球取自几号箱的可能性最大.解设事件Bi表示“球取自i号箱”(i=1，2，3)，事件A表示“取得红球”.由全概率公式，可得P(A) = P(B1)F(A|B1)+F(B2)F(A|B2)+F(B3)P(A|B3)再由条件概率知，因此，该球是取自1号箱的概率为 ,该球取自3号箱的可能性最大.【抽象概括】 设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(A)>0,P(Bi)>0（i=l,2,…，n),则 称上式为贝叶斯(Bayes)公式.该公式于1763年由贝叶斯给出.它是在观察到事件人已发生的条件下，寻找导致人发生的每个原因的概率,贝叶斯公式的思想就是“执果溯因" .1. 设两个独立事件A和B都不发生的概率为 ，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是(　　)A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．DA3. 设甲、乙两人独立地解出某一道数学题的概率相同，已知该题被甲或乙解出的概率为0.36，则甲独立解出此题的概率为________．解 只有甲解出的概率为x(1-x)，只有乙解出的概率为x(1-x)，甲和乙都解出的概率为x2．由题意得，x(1-x)＋x(1-x)＋x2＝0.36．解方程得，x＝0.2或x＝1.8(舍去)，即甲独立解出的概率为0.2． 0.2