2020-2021学年河南省郑州市中原区桐柏一中八年级（下）第一次月考数学试卷(1)

这是一份2020-2021学年河南省郑州市中原区桐柏一中八年级（下）第一次月考数学试卷(1)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年河南省郑州市中原区桐柏一中八年级（下）第一次月考数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）在下列四个汽车标志图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC．工程人员这种操作方法的依据是（　　）

A．等边对等角
B．垂线段最短
C．等腰三角形“三线合一”
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
3．（3分）若ab＜0，且a＜b，下列解不等式正确的是（　　）
A．由ax＜b，得x＜ B．由（a﹣b）x＞2，得x＞
C．由bx＜a，得x＞ D．由（b﹣a）x＜2，得x＜
4．（3分）如图，△ABC经过一定的平移得到△A′B′C′，如果△ABC上的点P的坐标为（a，b），那么这个点在△A′B′C′上的对应点P′的坐标为（　　）

A．（a﹣2，b﹣3） B．（a﹣3，b﹣2） C．（a+3，b+2） D．（a+2，b+3）
5．（3分）如果不等式组无解，那么m的取值范围是（　　）
A．m＞7 B．m≥7 C．m＜7 D．m≤7
6．（3分）把一些书分给几名同学，若（　　）；若每人分11本，则不够．依题意，设有x名同学可列不等式7（x+9）＜11x．
A．每人分7本，则可多分9个人
B．每人分7本，则剩余9本
C．每人分9本，则剩余7本
D．其中一个人分7本，则其他同学每人可分9本
7．（3分）如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE．若AD＝8，则PE的最小值为（　　）

A．8 B．6 C．5 D．4
8．（3分）若关于x的一元一次不等式组恰有3个整数解，那么a的取值范围是（　　）
A．﹣2＜a＜1 B．﹣3＜a≤﹣2 C．﹣3≤a＜﹣2 D．﹣3＜a＜﹣2
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A'BC′，连接A'C，则A'C的长为（　　）

A．6 B．4+2 C．4+3 D．2+3
10．（3分）在平面直角坐标系中，把△ABC先沿x轴翻折，再向右平移3个单位得到△A1B1C1现把这两步操作规定为一种变换．如图，已知等边△ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，1）、（3，1），把三角形连续经过2022次这种变换得到△A2022B2022C2022，则点A2022的坐标是（　　）

A．（6065，） B．（6065，）
C．（6068，） D．（6068，）
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）如图，在Rt△ABC中．∠ACB＝90°．∠A＝50°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AB于点D，连接CD．那么∠ACD的度数是　 　．

12．（3分）如图，直线y＝﹣x+m与y＝x+3的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m≥x+3＞0的解集为　 　．

13．（3分）三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是　 　．

14．（3分）如图，把直角梯形ABCD沿射线AD方向平移到梯形EFGH，HG＝24，MG＝8，MC＝6，则阴影部分的面积是　 　．

15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝10，D是BC的中点，E是AC上一动点，将△CDE沿DE折叠到△C'DE，连接AC'，当△AEC'是直角三角形时，CE的长为　 　．

三、解答题（本大题共7小题，共75分）
16．（8分）解不等式组把它的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解．
17．（10分）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若AB＝3cm，求△CMN的周长．
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．

18．（10分）如图，已知△ABC三个顶点坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（4，4）．
（1）请按要求画图：
①画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
②画出△ABC绕着原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2．
（2）请写出直线B1C1与直线B2C2的交点坐标．

19．（10分）如果一个一元一次方程的根是某个一元一次不等式的解，则称该一元一次方程为该不等式的子方程，这个根在数轴上对应的点称为该不等式的子点．
（1）在方程①x+1＝0；②x﹣（3x+1）＝﹣5；③3x﹣1＝0中，不等式的子方程有：　 　（填序号）．
（2）如图，M、N都是关于x的不等式组的子点，求m的取值范围．
（3）不等式4x﹣m＜0的所有子方程的根中有且只有3个正整数，求m的取值范围．

20．（12分）已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．
（1）如图1，求证：DE＝AD+BE；
（2）如图2，点O为AB的中点，连接OD，OE．请判断△ODE的形状？并说明理由．

21．（12分）近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂家购进了A、B两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息见下表：
A型销售数量（台）
B型销售数量（台）
总利润（元）
5
10
2000
10
5
2500
（1）每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售利润分别是多少？
（2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，请你设计相应的进货方案；
（3）已知A型空气净化器的净化能力为300m3/小时，B型空气净化器的净化能力为200m3/小时，某长方体室内活动场地的总面积为200m2，室内墙高3m，该场地负责人计划购买5台空气净化器每天花费30分钟将室内空气净化一新，若不考虑空气对流等因素，至少要购买A型空气净化器多少台？
22．（13分）【问题背景】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，BE，点P为DC的中点．
【观察猜想】观察图1，猜想线段AP与BE的数量关系是　 　，位置关系是　 　．
（2）【拓展探究】把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明：否则写出新的结论并说明理由．
（3）【问题解决】把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE＝4，BC＝8，请直接写出线段AP长的取值范围．


2020-2021学年河南省郑州市中原区桐柏一中八年级（下）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）在下列四个汽车标志图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（3分）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC．工程人员这种操作方法的依据是（　　）

A．等边对等角
B．垂线段最短
C．等腰三角形“三线合一”
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝AC，BE＝CE，
∴AE⊥BC，
故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
3．（3分）若ab＜0，且a＜b，下列解不等式正确的是（　　）
A．由ax＜b，得x＜ B．由（a﹣b）x＞2，得x＞
C．由bx＜a，得x＞ D．由（b﹣a）x＜2，得x＜
【分析】先求出a，b的大小关系，再运用不等式的基本性质判定．
【解答】解：∵ab＜0，且a＜b，
∴a＜0＜b．
A、由ax＜b，得x＞，故A选项错误；
B、由（a﹣b）x＞2，得x＜，故B选项错误；
C、由bx＜a，得x＜），故C选项错误；
D、由（b﹣a）x＜2，得x＜，故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是确定x系数的正负值．
4．（3分）如图，△ABC经过一定的平移得到△A′B′C′，如果△ABC上的点P的坐标为（a，b），那么这个点在△A′B′C′上的对应点P′的坐标为（　　）

A．（a﹣2，b﹣3） B．（a﹣3，b﹣2） C．（a+3，b+2） D．（a+2，b+3）
【分析】根据点B的平移规律，让点P的坐标也做相应变化即可．
【解答】解：点B的坐标为（﹣2，0），点B′的坐标为（1，2）；
横坐标增加了1﹣（﹣2）＝3；纵坐标增加了2﹣0＝2；
∵△ABC上点P的坐标为（a，b），
∴点P的横坐标为a+3，纵坐标为b+2，
∴点P变换后的对应点P′的坐标为（a+3，b+2），
故选：C．
【点评】考查了坐标与图形性质，解决本题的关键是根据已知对应点找到各对应点之间的变化规律．
5．（3分）如果不等式组无解，那么m的取值范围是（　　）
A．m＞7 B．m≥7 C．m＜7 D．m≤7
【分析】根据已知不等式组无解，利用不等式组取解集的方法判断即可确定出m的范围．
【解答】解：∵不等式组无解，
∴m≥7，
故选：B．
【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．
6．（3分）把一些书分给几名同学，若（　　）；若每人分11本，则不够．依题意，设有x名同学可列不等式7（x+9）＜11x．
A．每人分7本，则可多分9个人
B．每人分7本，则剩余9本
C．每人分9本，则剩余7本
D．其中一个人分7本，则其他同学每人可分9本
【分析】根据不等式表示的意义解答即可．
【解答】解：由不等式7（x+9）＜11x，可得：把一些书分给几名同学，若每人分7本，则可多分9个人；若每人分11本，则不够；
故选：A．
【点评】本题考查根据实际问题列不等式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
7．（3分）如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE．若AD＝8，则PE的最小值为（　　）

A．8 B．6 C．5 D．4
【分析】当PE⊥BC时，PE值最小，根据角平分线性质得出PE＝AE，DE＝PE，再求出PE长即可．
【解答】解：当PE⊥BC时，PE值最小，
∵AB∥CD，AD过点E，且与AB互相垂直，
∴AD⊥CD，
∵BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，
∴PE＝AE，PE＝DE，
即PE＝AD，
∵AD＝8，
∴PE＝4，
即PE的最小值是4，
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线性质和垂线段最短，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
8．（3分）若关于x的一元一次不等式组恰有3个整数解，那么a的取值范围是（　　）
A．﹣2＜a＜1 B．﹣3＜a≤﹣2 C．﹣3≤a＜﹣2 D．﹣3＜a＜﹣2
【分析】先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知得出答案即可．
【解答】解：解不等式3﹣2x＞2，得：x＜，
解不等式x﹣a＞0，得：x＞a，
则不等式组的解集为a＜x＜，
∵不等式组恰有3个整数解，
∴不等式组的整数解为﹣2、﹣1、0，
则﹣3≤a＜﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于a的不等式组．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A'BC′，连接A'C，则A'C的长为（　　）

A．6 B．4+2 C．4+3 D．2+3
【分析】连接CC′，A′C交BC于O点，如图，利用旋转的性质得BC＝BC′＝6，∠CBC′＝60°，A′B＝AB＝AC＝A′C′＝5，则可判断△BCC′为等边三角形，接着利用线段垂直平分线定理的逆定理说明A′C垂直平分BC'，则BO＝BC′＝3，然后利用勾股定理计算出A′O，CO，即可求解．
【解答】解：连接CC′，A′C交BC于O点，如图，
∵△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′，
∴BC＝BC′＝6，∠CBC′＝60°，A′B＝AB＝AC＝A′C′＝5，
∴△BCC′为等边三角形，
∴CB＝CB′，
而A′B＝A′C′，
∴A′C垂直平分BC'，
∴BO＝BC′＝3，
∴A'O＝＝4
CO＝＝3
∴A'C＝A'O+CO＝4+3
故选：C．

【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，解决本题的关键是证明△BCC′为等边三角形和A′C⊥BC′．
10．（3分）在平面直角坐标系中，把△ABC先沿x轴翻折，再向右平移3个单位得到△A1B1C1现把这两步操作规定为一种变换．如图，已知等边△ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，1）、（3，1），把三角形连续经过2022次这种变换得到△A2022B2022C2022，则点A2022的坐标是（　　）

A．（6065，） B．（6065，）
C．（6068，） D．（6068，）
【分析】根据轴对称判断出点A2022在x轴上方，然后求出点A2022纵坐标，再根据平移的距离求出点A2022的横坐标，最后写出即可．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，B、C的坐标分别是（1，1）、（3，1），
BC＝3﹣1＝2，
∴点A到x轴的距离为1+2×＝+1，横坐标为2，
∴A（2，+1），
第2022次变换后A2022在x轴上方，
所以，点A2022的纵坐标为+1，
横坐标为2+2022×3＝6068，
所以，点C的对应点C′的坐标是（6068，+1）．
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，等边三角形的性质，读懂题目信息，确定出连续2022次这样的变换得到A2022在x轴上方是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）如图，在Rt△ABC中．∠ACB＝90°．∠A＝50°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AB于点D，连接CD．那么∠ACD的度数是　20°　．

【分析】根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝40°，
∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，
故答案为：20°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的理解题意是解题的关键．
12．（3分）如图，直线y＝﹣x+m与y＝x+3的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m≥x+3＞0的解集为　﹣3＜x≤﹣2　．

【分析】解不等式x+3＞0，可得出x＞﹣3，再根据两函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标即可得出不等式﹣x+m＞x+3的解集，结合二者即可得出结论．
【解答】解：∵x+3＞0，
∴x＞﹣3；
观察函数图象，发现：
当x＜﹣2时，直线y＝﹣x+m的图象在y＝x+3的图象的上方，
∴不等式﹣x+m≥x+3的解为x≤﹣2．
综上可知：不等式﹣x+m≥x+3＞0的解集为﹣3＜x≤﹣2．
故答案为﹣3＜x≤﹣2．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是根据函数图象的上下位置关系解不等式﹣x+m＞x+3．本题属于基础题，难度不大，解集该题型题目时，根据函数图象的上下位置关键解不等式是关键．
13．（3分）三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是　15﹣5　．

【分析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝45°，进而可得出答案．
【解答】解：过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10 ，
∵AB∥CF，
∴BM＝BC×sin30°＝＝5，
CM＝BC×cos30°＝15，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝5 ，
∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5 ．
故答案是：15﹣5．

【点评】本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．
14．（3分）如图，把直角梯形ABCD沿射线AD方向平移到梯形EFGH，HG＝24，MG＝8，MC＝6，则阴影部分的面积是　168　．

【分析】根据平移的性质可知梯形EFGH≌梯形ABCD，那么GH＝CD，BC＝FG，观察可知梯形EFMD是两个梯形的公共部分，那么阴影部分的面积就等于梯形MGHD，再根据梯形的面积计算公式计算即可．
【解答】解：∵直角梯形EFGH是由直角梯形ABCD平移得到的，
∴梯形EFGH≌梯形ABCD，
∴GH＝CD，BC＝FG，
∵梯形EFMD是两个梯形的公共部分，
∴S梯形ABCD﹣S梯形EFMD＝S梯形EFGH﹣S梯形EFMD，
∴S阴影＝S梯形MGHD＝（DM+GH）•GM＝（24﹣6+24）×8＝168．
故答案为：168．

【点评】本题考查了直角梯形，图形的平移，解题的关键是知道平移前后的两个图形全等．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝10，D是BC的中点，E是AC上一动点，将△CDE沿DE折叠到△C'DE，连接AC'，当△AEC'是直角三角形时，CE的长为　或5　．

【分析】分两种情形：如图1中，当∠EC′A＝90°时，如图2中，当∠AEC′＝90°时，分别求解即可．
【解答】解：如图1中，当∠EC′A＝90°时，

∵∠C＝∠DC′E＝90°，
∴∠DC′E+∠EC′A＝180°，
∴D，C′，A共线，
∵CD＝DB＝5，AC＝12，
∴AD＝＝＝13，
设CE＝EC′＝x，则AE＝12﹣x，
在Rt△AEC′中，则有（12﹣x）2＝x2+（13﹣5）2
解得x＝，
∴CE＝．
如图2中，当∠AEC′＝90°时，∠CED＝∠DEC′＝45°，

∵∠C＝90°，
∴∠CDE＝∠CDE＝45°，
∴CD＝CE＝5，
综上所述，满足条件的CE的值为或5．
【点评】本题考查翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共7小题，共75分）
16．（8分）解不等式组把它的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解．
【分析】求出不等式组的解集，表示在数轴上，确定出非负整数解即可．
【解答】解：，
由①得：x≥﹣1，
由②得：x＜3，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3，
在数轴上表示，如图所示，

则其非负整数解为0，1，2．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（10分）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若AB＝3cm，求△CMN的周长．
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．

【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AM＝CM，BN＝CN，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形内角和定理求出∠MNF+∠NMF，进而求出∠A+∠B，结合图形计算即可．
【解答】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB＝3（cm）；
（2）∵∠MFN＝70°，
∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°，
∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°，
∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°，
∵AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，
∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×70°＝40°．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
18．（10分）如图，已知△ABC三个顶点坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（4，4）．
（1）请按要求画图：
①画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
②画出△ABC绕着原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2．
（2）请写出直线B1C1与直线B2C2的交点坐标．

【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据旋转角度，旋转方向，分别找到A、B、C的对应点，顺次连接可得△A2B2C2；
（3）由图形可知交点坐标；
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；

（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；

（3）由图形可知：交点坐标为（﹣1，﹣4）．

【点评】此题主要考查了平移变换以及旋转变换，得出对应点位置是解题关键．
19．（10分）如果一个一元一次方程的根是某个一元一次不等式的解，则称该一元一次方程为该不等式的子方程，这个根在数轴上对应的点称为该不等式的子点．
（1）在方程①x+1＝0；②x﹣（3x+1）＝﹣5；③3x﹣1＝0中，不等式的子方程有：　②③　（填序号）．
（2）如图，M、N都是关于x的不等式组的子点，求m的取值范围．
（3）不等式4x﹣m＜0的所有子方程的根中有且只有3个正整数，求m的取值范围．

【分析】（1）求出三个方程的解，并解不等式求出其解集，根据新定义了的答案；
（2）解不等式组得出m＜x≤m+5，再根据“子点”的概念得出，解之即可；
（3）解不等式得出x＜，再根据子方程的概念可得3＜≤4，解之即可．
【解答】解：（1）方程①x+1＝0的解为x＝﹣，方程②x﹣（3x+1）＝﹣5的解为x＝2，方程③3x﹣1＝0的解为x＝，
解不等式得x＞，
∴不等式的子方程有②③，
故答案为：②③；

（2）解不等式组，得m＜x≤m+5，
由题意可得，
解得﹣3≤m＜1，
∴m的取值范围为﹣3≤m＜1；

（3）解不等式，得x＜，
由题意可得3＜≤4，
解得：12＜m≤16，
∴m的取值范围为12＜m≤16．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．（12分）已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．
（1）如图1，求证：DE＝AD+BE；
（2）如图2，点O为AB的中点，连接OD，OE．请判断△ODE的形状？并说明理由．

【分析】（1）根据条件可以得出∠E＝∠ADC＝90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE＝DC，AD＝CE；
（2）如图2，连接OC，由等腰直角三角形的性质可得AO＝BO＝CO，∠CAB＝∠CBA＝45°，CO⊥AB，由“SAS”可证△DCO≌△EBO，△ADO≌△CEO，可得EO＝DO，∠EOB＝∠DOC，∠AOD＝∠COE，可证△DOE是等腰直角三角形．
【解答】（1）证明：如图1，

∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°．
∵∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE＝DC，AD＝CE．
∴DE＝DC+CE＝AD+BE，即DE＝AD+BE；

（2）△DOE等腰直角三角形，
理由如下：如图2，连接OC，

∵AC＝BC，∠ACB＝90°，点O是AB中点，
∴AO＝BO＝CO，∠CAB＝∠CBA＝45°，CO⊥AB，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠BOC+∠BEC+∠ECO+∠EBO＝360°，
∴∠EBO+∠ECO＝180°，且∠DCO+∠ECO＝180°，
∴∠DCO＝∠EBO，且DC＝BE，CO＝BO，
∴△DCO≌△EBO（SAS），
∴EO＝DO，∠EOB＝∠DOC，
同理可证：△ADO≌△CEO，
∴∠AOD＝∠COE，
∵∠AOD+∠DOC＝90°，
∴∠DOC+∠COE＝90°，
∴∠DOE＝90°，且DO＝OE，
∴△DOE是等腰直角三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，添加恰当辅助线是本题的关键．
21．（12分）近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂家购进了A、B两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息见下表：
A型销售数量（台）
B型销售数量（台）
总利润（元）
5
10
2000
10
5
2500
（1）每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售利润分别是多少？
（2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，请你设计相应的进货方案；
（3）已知A型空气净化器的净化能力为300m3/小时，B型空气净化器的净化能力为200m3/小时，某长方体室内活动场地的总面积为200m2，室内墙高3m，该场地负责人计划购买5台空气净化器每天花费30分钟将室内空气净化一新，若不考虑空气对流等因素，至少要购买A型空气净化器多少台？
【分析】（1）设每台A型空气净化器的销售利润为x元，每台B型空气净化器的销售利润为y元，根据表格中的数据，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A型空气净化器m台，则购进B型空气净化器（100﹣m）台，根据B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设销售完这100台空气净化器后的总利润为w元，根据总利润＝单件利润×购进数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题；
（3）设应购买A型空气净化器a台，则购买B型空气净化器（5﹣a）台，根据两种空气净化器的净化能力结合活动场地的体积，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，取其内的最小正整数即可．
【解答】解：（1）设每台A型空气净化器的销售利润为x元，每台B型空气净化器的销售利润为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每台A型空气净化器的销售利润为200元，每台B型空气净化器的销售利润为100元．

（2）设购进A型空气净化器m台，则购进B型空气净化器（100﹣m）台，
∵B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，
∴100﹣m≥2m，
解得：m≤．
设销售完这100台空气净化器后的总利润为w元，
根据题意得：w＝200m+100（100﹣m）＝100m+10000，
∴w的值随着m的增大而增大，
∴当m＝33时，w取最大值，最大值＝100×33+10000＝13300，此时100﹣m＝67．
答：为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A型空气净化器33台，购进B型空气净化器67台．

（3）设应购买A型空气净化器a台，则购买B型空气净化器（5﹣a）台，
根据题意得：[300a+200（5﹣a）]≥200×3，
解得：a≥2．
答：至少要购买A型空气净化器2台．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）根据总利润＝单件利润×购进数量，找出w关于m的函数关系式；（3）根据两种空气净化器的净化能力结合活动场地的体积，列出关于a的一元一次不等式．
22．（13分）【问题背景】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，BE，点P为DC的中点．
【观察猜想】观察图1，猜想线段AP与BE的数量关系是　AP＝BE　，位置关系是　PA⊥BE　．
（2）【拓展探究】把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明：否则写出新的结论并说明理由．
（3）【问题解决】把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE＝4，BC＝8，请直接写出线段AP长的取值范围．

【分析】（1）如图1中，设PA交BE于点O．证明△DAC≌△EAB（SAS），结合直角三角形斜边中线的性质即可解决问题．
（2）结论成立．如图2中，延长AP到J，使得PJ＝PA，连接JC．延长PA交BE于O．证明△EAB≌△JCA（SAS），即可解决问题．
（3）利用三角形的三边关系求出AJ的取值范围，即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，设PA交BE于点O．

∵AD＝AE，AC＝AB，∠DAC＝∠EAB，
∴△DAC≌△EAB（SAS），
∴BE＝CD，∠ACD＝∠ABE，
∵∠DAC＝90°，DP＝PC，
∴PA＝CD＝PC＝PD，
∴PA＝BE．∠C＝∠PAE，
∵∠CAP+∠BAO＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴PA⊥BE，
故答案为：AP＝BE，PA⊥BE．

（2）结论成立．
理由：如图2中，延长AP到J，使得PJ＝PA，连接JC．延长PA交BE于O．

∵PA＝PJ，PD＝PC，∠APD＝∠CPJ，
∴△APD≌△JPC（SAS），
∴AD＝CJ，∠ADP＝∠JCP，
∴AD∥CJ，
∴∠DAC+∠ACJ＝180°，
∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠EAB+∠DAC＝180°，
∴∠EAB＝∠ACJ，
∵AB＝AC，AE＝AD＝CJ，
∴△EAB≌△JCA（SAS），
∴BE＝AJ，∠CAJ＝∠ABE，
∵PA＝AJ，
∴PA＝BE，
∵∠CAJ+∠BAO＝90°，
∴∠ABE+∠BAO＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴PA⊥BE．

（3）∵△AED，△ABC都是等腰三角形，DE＝4，BC＝8，
∴AD＝AE＝2，AC＝AB＝4
由（2）可知CJ＝AD＝2，∵AC＝4，
∴4﹣2≤AJ≤4+2，
∴2≤AJ≤6，
∵AJ＝2AP，
∴≤PA≤3．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
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