2020-2021学年河南省实验中学八年级（下）第一次月考数学试卷(1)

这是一份2020-2021学年河南省实验中学八年级（下）第一次月考数学试卷(1)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年河南省实验中学八年级（下）第一次月考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）不等式2x+3＜﹣1的解集是（　　）
A．x＞2 B．x＜﹣2 C．x＜1 D．x＞﹣2
2．（3分）已知△ABC≌△DEF，∠A＝∠B＝30°，则∠E的度数是（　　）
A．30° B．120° C．60° D．90°
3．（3分）已知a＜1，则下列不等式正确的是（　　）
A．a＞2﹣a B．2＜2+a C．a＜2a D．a＜a+2
4．（3分）已知a＜b，则的解集是（　　）
A．x＜b B．x＞a C．a＜x＜b D．无解
5．（3分）下列说法正确的有（　　）
①两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；
②一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等；
③两边分别相等的两个直角三角形全等；
④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（3分）已知关于不等式2＜（1﹣a）x的解集为x＜，则a的取值范围是（　　）
A．a＞1 B．a＞0 C．a＜0 D．a＜1
7．（3分）元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的（　　）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点 D．三边垂直平分线的交点
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＞BC，BE＝BC，∠ABE＝∠BCD，则图中一定是等腰三角形的有（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
9．（3分）已知整数a使得不等式组的解集为x＞﹣3，且使得一次函数y＝（a+6）x+3的图象不经过第四象限，则满足条件的整数a的和为（　　）
A．﹣18 B．﹣9 C．﹣15 D．﹣12
10．（3分）如图，四边形ABCD中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝137°，∠BCD＝43°，则∠ADB的度数为（　　）

A．54° B．50° C．47° D．46°
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）不等式3x﹣7＜0的非负整数解是　 　．
12．（3分）已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝4，则Rt△ABC的面积为　 　．
13．（3分）要用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角，应先假设　 　．
14．（3分）我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．类似地，适合二元一次不等式的一对未知数的值叫做这个二元一次不等式的一个解．对于二元一次不等式x+2y≤6，它的正整数解有　 　个．
15．（3分）如图，ABCD是一张长方形纸片，且AD＝2AB＝8，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在BC上（如图中的点A′）折痕交于点G，则BG＝　 　．

三、解答题（共75分）
16．（10分）解下列不等式（组），并把它们的解集分别表示在数轴上；
（1）解不等式：﹣＜4；
（2）解不等式组：．
17．（8分）阅读下列材料并完成相应的任务：
工人师傅有一块不规则的模板，他已经在模板上画出了一条裁割线AB，现根据木板的情况，需要通过AB上一点C，作AB的垂线，进行裁割，但手头没有直角尺，怎么办呢？

方法一：取卷尺在AB上量出CD＝30cm，然而分别以D，C为圆心，以50cm与40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E，作直线CE，则∠DCE＝90°；
方法二：在绳子EF上割取任意长度a，一端记点P，另一端记为点Q，将P点与C点重合，按如图位置摆放，然后以Q为圆心，PQ的长为半径画弧，交AB于点R，连接RQ，并延长到点M使得QM＝QR，连接CM，则∠MCR＝90°．
任务：（1）方法一依据的数学原理是 　 　．
（2）利用方法2，证明∠MCR＝90°；
（3）不用直角尺，你还有什么方法作出垂线吗？
尺规作图：请在木板上，过点C作出AB的垂线L（保留作图痕迹，不写作法）．
18．（8分）请举例说明不等式的基本性质与等式的基本性质的区别
19．（9分）如图，已知BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE与CD相交于点F，FD＝FE．
（1）求证：AD＝AE；
（2）已知AC＝5，FE＝1，求四边形ABFC的面积．

20．（9分）请你用学习一次函数时积累的经验和方法研究函数y＝|2x﹣1|的图象和性质，并解决问题．
（1）根据函数表达式，填空m＝　 　，n＝　 　；
x
…
﹣2
﹣1
0

1
2
3
…
y
…
5
m
1
0
n
3
5
…
（2）利用（1）中表格画出函数y＝|2x﹣1|的图象．
（3）观察图象，当x　 　时，y随x的增大而减小；
（4）利用图象，直接写出不等式|2x﹣1|＜x+1的解集．

21．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，连接DE．
（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由．
（2）若AC＝5，BC＝7，PA＝2，求线段DE的长．

22．（10分）“地摊经济”成为社会关注的热门话题，小明从市场得知信息：

甲商品
乙商品
进价（元/件）
65
5
售价（元/件）
90
10
小明计划购进甲、乙商品共100件进行销售，设小明购进甲商品x件，甲、乙商品全部销售完后获得利润为y元．
（1）求出y与x之间的函数关系式．
（2）小明用不超过3500元资金一次性购进甲、乙两种商品，求x的取值范围．
（3）在（2）的条件下，若要求甲，乙商品全部销售完后获得的利润不少于1450元，请说明小明有哪些可行的进货方案，并计算哪种进货方案的利润最大，最大利润是多少？
23．（11分）如图，在△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上，连接BE，AD，点M，N分别是线段BE，AD上的动点，完成以下问题：
（1）发现问题：当BM＝BE，AN＝AD时，△CMN的形状是 　 　．
（2）探讨问题：将（1）中的换成（n＞0），（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请举出反例．
（3）应有新知：在（2）的条件下，若AB＝6，CD＝2，在M，N运动过程中，请直接写出△CMN面积的最小值．


2020-2021学年河南省实验中学八年级（下）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）不等式2x+3＜﹣1的解集是（　　）
A．x＞2 B．x＜﹣2 C．x＜1 D．x＞﹣2
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：移项，得：2x＜﹣1﹣3，
合并同类项，得：2x＜﹣4，
系数化为1，得：x＜﹣2，
故选：B．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
2．（3分）已知△ABC≌△DEF，∠A＝∠B＝30°，则∠E的度数是（　　）
A．30° B．120° C．60° D．90°
【分析】根据全等三角形的性质得出∠D＝∠E＝∠A＝∠B＝30°，求出即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝∠B＝30°，
∴∠D＝∠E＝∠A＝∠B＝30°，
则∠E的度数是30°．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
3．（3分）已知a＜1，则下列不等式正确的是（　　）
A．a＞2﹣a B．2＜2+a C．a＜2a D．a＜a+2
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可．
【解答】解：A、∵a＜1，
∴2﹣a＞1，
∴a＜2﹣a，故本选项不合题意；
B、a＜1，当a＜0时，2＞2+a，故本选项不合题意；
C、a＜1，当a＜0时，a＞2a，故本选项不合题意；
D、∵a＜1，
∴a＜a+2，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
4．（3分）已知a＜b，则的解集是（　　）
A．x＜b B．x＞a C．a＜x＜b D．无解
【分析】直接用口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）求解即可．
【解答】解：因为a＜b，
所以的解集是a＜x＜b．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的解集，解题的关键是注意字母的取值范围，以及不等式号的方向的确定
5．（3分）下列说法正确的有（　　）
①两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；
②一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等；
③两边分别相等的两个直角三角形全等；
④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据直角三角形全等的判定方法逐条判定即可得到结论，
【解答】解：①两个锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等，故该说法错误；
②如图，已知：∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，AM＝BM，DN＝EN，CM＝FN，
求证：△ABC≌△DEF，
证明：∵∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，CM＝FN，
∴Rt△BCM≌Rt△EFN（HL），
∴BM＝EN
∵AM＝BM，DN＝EN，
∴AB＝DE，
∴Rt△ABC≌Rt△EFN（SAS），
故一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等的说法正确；
③两对应边分别相等的两个直角三角形全等，如果是一个直角三角形的两条直角边和另一个直角三角形的一条直角边和一条斜边分别相等，这两个直角三角形不全等，故该说法错误；
④一个锐角和一条边分别对应相等的两个直角三角形不一定全等，如果一个直角三角形的一条直角边和另一个直角三角形的一条斜边相等，这两个直角三角形不全等，故该说法错误；
故选：A．

【点评】本题主要考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握全等三角形判定方法是解决问题的关键．
6．（3分）已知关于不等式2＜（1﹣a）x的解集为x＜，则a的取值范围是（　　）
A．a＞1 B．a＞0 C．a＜0 D．a＜1
【分析】因为不等式的两边同时除以1﹣a，不等号的方向发生了改变，所以1﹣a＜0，再根据不等式的基本性质便可求出不等式的解集．
【解答】解：由题意可得1﹣a＜0，
移项得﹣a＜﹣1，
化系数为1得a＞1．
故选：A．
【点评】本题考查了同学们解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
7．（3分）元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的（　　）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点 D．三边垂直平分线的交点
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边垂直平分线的交点上．
【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最合适．
故选：D．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用，想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＞BC，BE＝BC，∠ABE＝∠BCD，则图中一定是等腰三角形的有（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据AB＝AC，BE＝BC可得两个等腰三角形，再利用外角的性质可得∠A＝∠ECD和∠EFC＝∠CEF，进而可得答案．
【解答】解：

∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵BE＝BC，
∴△BEC是等腰三角形，
∴∠BEC＝∠BCE．
∵∠BEC＝∠A+∠ABE，∠BCE＝∠ECD+∠BCD，
而∠ABE＝∠BCD，
∴∠A＝∠ECD，
∴△ACD是等腰三角形；
∵△BEC是等腰三角形和△ABC是等腰三角形，∠ACB＝∠BCE，
∴∠A＝∠CBE．
∴∠EFC＝∠CEF，
∴△CEF是等腰三角形．
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的判定，利用等角对等边进行判定是解题关键．
9．（3分）已知整数a使得不等式组的解集为x＞﹣3，且使得一次函数y＝（a+6）x+3的图象不经过第四象限，则满足条件的整数a的和为（　　）
A．﹣18 B．﹣9 C．﹣15 D．﹣12
【分析】直接解不等式，进而得出a的取值范围，再利用一次函数的性质得出a的取值范围进而得出符合题意的值．
【解答】解：∵不等式组的解集为x＞﹣3，
∴的解集为x＞﹣3，
∴a≤﹣3，
∵一次函数y＝（a+6）x+3的图象不经过第四象限，
∴a+6＞0，
解得：a＞﹣6，
∴﹣6＜a≤﹣3，
∴整数a的值为：﹣5，﹣4，﹣3，和为﹣12．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确得出a的取值范围是解题关键．
10．（3分）如图，四边形ABCD中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝137°，∠BCD＝43°，则∠ADB的度数为（　　）

A．54° B．50° C．47° D．46°
【分析】过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，依据角平分线的性质，即可得到DE＝DF，再根据三角形外角性质，根据角平分线的定义，即可得到∠ADB＝∠DBE﹣∠BAD＝（∠CBE﹣∠BAC）＝∠ACB．
【解答】解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DF＝DE，
又∵∠ACD＝137°，∠BCD＝43°，
∴∠ACB＝94°，∠DCF＝43°，
∴CD平分∠BCF，
又∵DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，
∴DF＝DG，
∴DE＝DG，
∴BD平分∠CBE，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC，
∴∠ADB＝∠DBE﹣∠BAD＝（∠CBE﹣∠BAC）＝∠ACB＝（∠ACD﹣∠BCD）＝×（137°﹣43°）＝47°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了角平分线的判定和性质，解题时注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）不等式3x﹣7＜0的非负整数解是　0，1，2　．
【分析】先根据不等式的基本性质求出x的取值范围，再根据x的取值范围求出符合条件的x的非负整数解即可．
【解答】解：3x﹣7＜0，
移项得3x＜7，
系数化为1得x＜，
故原不等式的非负整数解为：0，1，2．
故答案为：0，1，2．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
12．（3分）已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝4，则Rt△ABC的面积为　4　．
【分析】由勾股定理求出AB的长，利用面积公式求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，
∴AB2+AC2＝16，
∵AB＝AC，
∴AB2＝8，
∵AB＞0，
∴AB＝2，
∴S△ABC＝＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查直角三角形的勾股定理以及三角形的面积，求出直角边是关键，属于基础题．
13．（3分）要用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角，应先假设　等腰三角形的两底都是直角或钝角　．
【分析】熟记反证法的步骤，直接得出题设的反面即可．
【解答】解：要用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角，应先假设等腰三角形的两底都是直角或钝角．
故答案为：等腰三角形的两底都是直角或钝角．
【点评】此题主要考查了反证法，正确掌握反证法的一般步骤是解题关键．
14．（3分）我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．类似地，适合二元一次不等式的一对未知数的值叫做这个二元一次不等式的一个解．对于二元一次不等式x+2y≤6，它的正整数解有　6　个．
【分析】先把y作为常数，解不等式得x≤6﹣2y，根据x，y是正整数，得6﹣2y＞0，求出y的正整数值，再分情况进行讨论即可．
【解答】解：x+2y≤6，
x≤6﹣2y，
∵x，y是正整数，
∴6﹣2y＞0，
解得0＜y＜3，即y只能取1，2，
∴不等式x+2y≤6的正整数解有，，，，，，共6个．
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，求出y的整数值是解答本题的关键．
15．（3分）如图，ABCD是一张长方形纸片，且AD＝2AB＝8，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在BC上（如图中的点A′）折痕交于点G，则BG＝　8﹣12　．

【分析】根据AD＝2AB翻折推出∠DA′C＝30°，在Rt△A′DC中利用30°性质求出A′C，再在Rt△BGA′中，求出A′G．根据BG＝AB﹣AG解决问题．
【解答】解：∵AD＝2AB，AB＝CD，
∴AD＝2CD，
∴A′D＝2CD，
∵∠C＝90°，
∴∠DA′C＝30°，
∵∠GA′D＝90°，
∴∠BA′G＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∠BGA′＝30°，
在Rt△A′CD中，A′C＝＝4，
∴BA′＝BC﹣CA′＝8﹣4，
∴A′G＝AG＝2BA′＝16﹣8，
∴BG＝AB﹣AG＝4﹣（16﹣8）＝8﹣12．
故答案为：8﹣12．
【点评】本题考查的是图形的翻折变换，涉及到勾股定理及矩形的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键
三、解答题（共75分）
16．（10分）解下列不等式（组），并把它们的解集分别表示在数轴上；
（1）解不等式：﹣＜4；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1，再在数轴上表示出来即可；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在数轴上表示出来即可．
【解答】解：（1）原不等式变化为﹣（2x﹣2）＜12，
∴2x﹣2＞﹣12，
∴x＞﹣5，
在数轴上表示为：
；
（2）原不等式组转化为，
化简为，
∴不等式组的解集为：﹣1＜x≤5．
在数轴上表示为：
．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17．（8分）阅读下列材料并完成相应的任务：
工人师傅有一块不规则的模板，他已经在模板上画出了一条裁割线AB，现根据木板的情况，需要通过AB上一点C，作AB的垂线，进行裁割，但手头没有直角尺，怎么办呢？

方法一：取卷尺在AB上量出CD＝30cm，然而分别以D，C为圆心，以50cm与40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E，作直线CE，则∠DCE＝90°；
方法二：在绳子EF上割取任意长度a，一端记点P，另一端记为点Q，将P点与C点重合，按如图位置摆放，然后以Q为圆心，PQ的长为半径画弧，交AB于点R，连接RQ，并延长到点M使得QM＝QR，连接CM，则∠MCR＝90°．
任务：（1）方法一依据的数学原理是 　勾股定理的逆定理　．
（2）利用方法2，证明∠MCR＝90°；
（3）不用直角尺，你还有什么方法作出垂线吗？
尺规作图：请在木板上，过点C作出AB的垂线L（保留作图痕迹，不写作法）．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理求解即可．
（2）证明∠QCR+∠QCM＝90°可得结论．
（3）利用尺规作出图形即可．
【解答】解：（1）∵CD＝30，DE＝50，CE＝40，
∴CD2+CE2＝302+402＝502＝DE2，
∴∠DCE＝90°，
故“办法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理；
故答案为：勾股定理的逆定理．

（2）由作图方法可知，QR＝QC，QM＝QC，
∴∠QCR＝∠QRC，∠QCM＝∠QMC，
∵∠MRC+∠QCM+∠QCR+∠QMC＝180°，
∴2（∠QCR+∠QCM）＝180°，
∴∠QCR+∠QCM＝90°，即∠RCM＝90°；，

（3）如图③所示，直线PC即为所求（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）．

【点评】本题考查作图﹣应用设计作图，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．（8分）请举例说明不等式的基本性质与等式的基本性质的区别
【分析】不等式的基本性质和等式的基本性质的主要区别在于同时乘以或除以同一个负数，并举例说明即可．
【解答】解：不等式的基本性质和等式的基本性质的主要区别在于同时乘以或除以同一个负数．
等式左右两边同时乘以或除以同一个负数，等式仍然成立．
例如：在等式x＝y的左右两边同时乘以﹣3，得﹣3x＝﹣3y．
不等式左右两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向要改变．
例如：在不等式x＜y的左右两边同时乘以﹣3，得﹣3x＞﹣3y．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质和等式的基本性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：不等式的基本性质和等式的基本性质的主要区别在于同时乘以或除以同一个负数．
19．（9分）如图，已知BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE与CD相交于点F，FD＝FE．
（1）求证：AD＝AE；
（2）已知AC＝5，FE＝1，求四边形ABFC的面积．

【分析】（1）连接AF，由HL证得Rt△ADF≌Rt△AEF，即可得出结论；
（2）由ASA证得△BDF≌△CEF，得出S△BDF＝S△CEF，由Rt△ADF≌Rt△AEF，得出S△ADF＝S△AEF，则S四边形ABFC＝2S△ACF，再由三角形面积公式即可得出结果．
【解答】（1）证明：连接AF，如图所示：
∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠ADF＝∠AEF＝90°，
在Rt△ADF和Rt△AEF中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△AEF（HL），
∴AD＝AE；
（2）解：∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠BDF＝∠CEF＝90°，
在△BDF和△CEF中，
，
∴△BDF≌△CEF（ASA），
∴S△BDF＝S△CEF，
∵Rt△ADF≌Rt△AEF，
∴S△ADF＝S△AEF，
∴S四边形ABFC＝2（S△AEF+S△CEF）＝2S△ACF＝2×AC•FE＝2××5×1＝5．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积的计算等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
20．（9分）请你用学习一次函数时积累的经验和方法研究函数y＝|2x﹣1|的图象和性质，并解决问题．
（1）根据函数表达式，填空m＝　3　，n＝　1　；
x
…
﹣2
﹣1
0

1
2
3
…
y
…
5
m
1
0
n
3
5
…
（2）利用（1）中表格画出函数y＝|2x﹣1|的图象．
（3）观察图象，当x　＜　时，y随x的增大而减小；
（4）利用图象，直接写出不等式|2x﹣1|＜x+1的解集．

【分析】（1）根据函数y＝|2x﹣1|，可以计算出当x＝﹣1和x＝1对应的函数值，从而可以将表格补充完整；
（2）根据（1）中表格的数据，可以画出相应的函数图象；
（3）根据函数图象，可以直接写出y随x的增大而减小时x的取值范围；
（4）根据函数图象，可以直接写出不等式|2x﹣1|＜x+1的解集．
【解答】解：（1）∵y＝|2x﹣1|，
∴当x＝﹣1时，y＝3，当x＝1时，y＝1，
故答案为：3，1；
（2）函数图象如图所示；

（3）由图象可得，
当x＜时，y随x的增大而减小，
故答案为：＜；
（4）画出函数y＝x+1的图象，

由图象可得，
不等式|2x﹣1|＜x+1的解集是0＜x＜2．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，连接DE．
（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由．
（2）若AC＝5，BC＝7，PA＝2，求线段DE的长．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠PDA，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝ED，于是得到结论；
（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝7﹣x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）DE⊥DP，
理由如下：∵PD＝PA，
∴∠A＝∠PDA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，
∴∠B＝∠EDB，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠PDA+∠EDB＝90°，
∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，
∴DE⊥DP；

（2）连接PE，

设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝7﹣x，
∵∠C＝∠PDE＝90°，
∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，
∴32+（7﹣x）2＝22+x2，
解得：x＝，则DE＝．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线解题的关键．
22．（10分）“地摊经济”成为社会关注的热门话题，小明从市场得知信息：

甲商品
乙商品
进价（元/件）
65
5
售价（元/件）
90
10
小明计划购进甲、乙商品共100件进行销售，设小明购进甲商品x件，甲、乙商品全部销售完后获得利润为y元．
（1）求出y与x之间的函数关系式．
（2）小明用不超过3500元资金一次性购进甲、乙两种商品，求x的取值范围．
（3）在（2）的条件下，若要求甲，乙商品全部销售完后获得的利润不少于1450元，请说明小明有哪些可行的进货方案，并计算哪种进货方案的利润最大，最大利润是多少？
【分析】（1）由y＝甲商品利润+乙商品利润，可得解析式；
（2）由用不超过3500元资金一次性购进甲，乙两种商品，列出不等式组，即可求解；
（3）由获得的利润不少于1450元，列出不等式可求x的范围，由一次函数的性质可求解．
【解答】解：（1）由题意可得：y＝（90﹣65）x+（10﹣5）（100﹣x）＝20x+500；
（2）由题意可得：65x+5（100﹣x）≤3500，
解得：x≤50，
又∵x≥0，
∴0≤x≤50；
（3）由题意可得：（90﹣65）x+（10﹣5）（100﹣x）≥1450，
解得：x≥47.5，
∴47.5≤x≤50，
又∵x为整数，
∴x＝48，49，50，
∴进货方案有：甲商品进48件，乙商品进52件；甲商品进49件，乙商品进51件；甲商品进50件，乙商品进50件；
∵y＝20x+500，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝50时，有最大利润．
∴当甲商品进50件，乙商品进50件，利润有最大值．
∴利润最大值为20×50+500＝1500（元）．
答：进货方案有：甲商品进48件，乙商品进52件；甲商品进49件，乙商品进51件；甲商品进50件，乙商品进50件；甲商品进50件，乙商品进50件利润最大，最大利润是1500元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是本题的关键．
23．（11分）如图，在△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上，连接BE，AD，点M，N分别是线段BE，AD上的动点，完成以下问题：
（1）发现问题：当BM＝BE，AN＝AD时，△CMN的形状是 　等边三角形　．
（2）探讨问题：将（1）中的换成（n＞0），（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请举出反例．
（3）应有新知：在（2）的条件下，若AB＝6，CD＝2，在M，N运动过程中，请直接写出△CMN面积的最小值．

【分析】（1）根据等边三角形的性质得出BC＝AC，EC＝CD，进而利用SAS证明△BCE与△ACD全等，△MBC和△NAC全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（2）同（1）的方法解答即可；
（3）过点C作CM′⊥BE，CN′⊥AD，此时△MCN的面积最小，过A点作BC的垂线，可得AD＝2，利用勾股定理CM′＝CN′＝，即可求解．
【解答】解：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，
∴BC＝AC，EC＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°，
∴∠BCA+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，
在△BCE与△ACD中，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴∠MBC＝∠NAC，BE＝AD，
∵BM＝BE，AN＝AD，
∴BM＝AN，
在△MBC与△NAC中，
∴△MBC≌△NAC（SAS），
∴MC＝NC，∠BCM＝∠ACN，
∵∠BCM+∠MCA＝60°，
∴∠NCA+∠MCA＝60°，
∴∠MCN＝60°，
∴△MCN是等边三角形．
故答案为：等边三角形；
（2）成立．
∵△ABC和△ECD都是等边三角形，
∴BC＝AC，EC＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°，
∴∠BCA+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，
即∠BCE＝∠ACD，
在△BCE与△ACD中，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴∠MBC＝∠NAC，BE＝AD，
∵BM＝BE，AN＝AD，
∴BM＝AN，
在△MBC与△NAC中，
∴△MBC≌△NAC（SAS），
∴MC＝NC，∠BCM＝∠ACN，
∵∠BCM+∠MCA＝60°，
∴∠NCA+∠MCA＝60°，
∴∠MCN＝60°，
∴△MCN是等边三角形；
（3）过点C作CM′⊥BE，CN′⊥AD，此时△MCN的面积最小，过A点作BC的垂线，

∵AB＝6，CD＝2，
∴GD＝GC+CD＝3+2＝5，AG＝3，
∴AD＝＝2，
设AN′为x，由（2）条件得BM′同为x，
在Rt△BCM′中，CM2＝BC2﹣BM2＝36﹣x2，
在Rt△CN′D中，CN2＝CD2﹣DN2＝4﹣（2﹣x）2，
∵CM′＝CN′可得x＝，即M′N′＝，
在Rt△BCM′中，利用勾股定理可得CM′＝CN′＝，
∴S△MCN＝S△M′CN′＝CM′•CM′＝．
【点评】本题考查三角形综合题，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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