北师大版高中数学选择性必修第一册圆与圆的位置关系学案含解析

 专题11 圆与圆的位置关系
要点　圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含.
1．几何法：
位置
关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示





d与r1、
r2的关系
d＞r1＋r2
d=r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d=|r1－r2|
d3＋2
【解析】由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为(a,0)，和(0，b)，1，因为两圆相离，所以>＋1，
即a2＋b2>3＋2.
7．（2020·伊美区第二中学高二期末）若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝________.
【答案】1
【解析】两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4⇒y＝，又a>0，结合图象(图略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知＝ ＝1⇒a＝1.
8．（2020·西藏山南二中高三月考）过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是________．
【答案】x2＋y2－3x＋y－1＝0
【解析】设圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0，则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圆心代入l：2x＋4y－1＝0的方程，可得λ＝，所以所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.
9．（2020·四川高二期末）求与圆C：x2＋y2－2x＝0外切且与直线l：x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
【解析】圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，
圆心C(1,0)，半径为1.
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
由题意可知解得
所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4.
10．（2020·福建莆田一中高二期中）已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＝0.
(1)当m＝1时，判断圆C1和圆C2的位置关系；
(2)是否存在实数m，使得圆C1和圆C2内含？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)当m＝1时，圆C1的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C1(1，－2)，半径长为r1＝3，
圆C2的方程为(x＋1)2＋y2＝1，圆心为C2(－1,0)，半径长为r2＝1，
两圆的圆心距d＝ ＝2，
又r1＋r2＝3＋1＝4，r1－r2＝3－1＝2，
所以r1－r2＜d＜r1＋r2，所以圆C1和圆C2相交．
(2)不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含．理由如下：
圆C1的方程可化为(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆心C1的坐标为(m，－2)，半径为3.
假设存在实数m，使得圆C1和圆C2内含，
则圆心距d＝＜3－1，
即(m＋1)2＜0，此不等式无解．
故不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含．

11．（2020·全国高二课时练习）圆x2＋y2－2x＋F＝0和圆x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直线方程是x－y＋1＝0，则(　　)
A．E＝－4，F＝8 B．E＝4，F＝－8
C．E＝－4，F＝－8 D．E＝4，F＝8
【答案】C
【解析】由题意联立两圆方程得4x＋Ey－4－F＝0，则＝－1，＝1，解得E＝－4，F＝－8，故选C.
12．（2020·四川省绵阳南山中学高二期中（文））若圆平分圆的周长，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．16 D．20
【答案】A
【解析】两圆方程相减得，，此为相交弦所在直线方程，
圆的标准方程是，圆心为，
∴，，
∵，
∴，当且仅当即时等号成立．
故选：A．
13.（多选）（2020·河北承德第一中学高二月考）圆与圆，下列说法正确的是（ ）
A．对于任意的，圆与圆始终相切
B．对于任意的，圆与圆始终有四条公切线
C．当时，圆被直线截得的弦长为
D．P，Q分别为圆与圆上的动点，则的最大值为4
【答案】ACD
【解析】由已知，，等于两圆半径之和，两圆始终相切，A正确，B错误；
时，，到已知直线的距离为，则弦长为，C正确；
由于，∴，共线时最大值．D正确．故选：ACD．
14．（2020·江苏西安交大苏州附中高二期中）已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2,1)．
(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O1与圆O2交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
【解析】(1)设圆O1、圆O2的半径分别为r1，r2，
∵两圆外切，∴|O1O2|＝r1＋r2，
∴r2＝|O1O2|－r1＝ －2＝2(－1)，
∴圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝12－8.
(2)由题意，设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，
圆O1，O2的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程，为4x＋4y＋r－8＝0.
∴圆心O1(0，－1)到直线AB的距离为＝＝，解得r＝4或20.
∴圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.

15．（2020·厦门市松柏中学高二其他模拟）已知圆与圆关于直线对称，且点，在圆上，
（1）判断圆与圆的位置关系；
（2）设为圆上任意一点，.，与不共线，为的平分线，且交于，求证与的面积之比为定值.
【解析】（1）由于点，关于直线对称点，，
故圆的方程为：.
把点，在圆上，可得，
故圆的方程为：.
可得圆，，，
根据，故两圆相离.
（2）设，
则，
.
设点，
则.
；
；
，，即