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北师大版高中数学选择性必修第一册双曲线的简单几何性质学案含解析
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专题05 双曲线的简单几何性质
要点一 双曲线的几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
性质
图形
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
性质
范围
或，y∈R
或，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：远点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段，长：；虚轴：线段，
长：2b；半实轴长：，半虚轴长：b
离心率
e＝∈
渐近线
y＝±x
y＝±x
【方法技巧】
(1)双曲线的范围说明双曲线是非封闭曲线，而椭圆则是封闭曲线．
(2)当|x|无限增大时，|y|也无限增大，即双曲线的各支是向外无限延展的．
(3)双曲线的渐近线决定了双曲线的形状．由双曲线的对称性可知，当双曲线的两支向外无限延伸时，双曲线与两条渐近线无限接近，但永远不会相交．
(4)双曲线形状与e的关系．
由于＝＝ ＝，因此e越大，渐近线的斜率的绝对值就越大，双曲线的开口就越大．
要点二 等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是，离心率为.
【答疑解惑】
教材P126思考
通过比较例5与椭圆一节中的例6可以发现．动点到定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，若这个常数大于0小于1，则动点的轨迹是椭圆；若这个常数大于1，则动点的轨迹是双曲线．
看大小，焦点随着大的跑”．
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔．( )
(2)以y＝±2x为渐近线的双曲线有2条．( )
(3)方程－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.( )
(4)离心率e越大，双曲线－＝1的渐近线的斜率绝对值越大．( )
【答案】（1）√（2）×（3）×（4）×
2．实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是( )
A．x2－＝1
B．y2－＝1
C.－＝1或－＝1
D．x2－＝1或y2－＝1
【答案】D
【解析】由题意知2a＝2,2b＝4∴a＝1，b＝2，∴a2＝1，b2＝4又双曲线的焦点位置不确定，故选D.
3．双曲线－y2＝1的渐近线方程是( )
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±x
【答案】B
【解析】由双曲线方程得：a＝，b＝1，∴渐近线方程为：y＝±x＝±x.故选B.
4．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是________．
【答案】
【解析】由题意知渐近线与x轴的夹角θ＝∴＝tan＝1∴e＝＝
题型一 由双曲线的几何性质求其标准方程
1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1 C.－y2＝1 D．x2－＝1
【答案】D
【解析】不妨设点A在第一象限，由题意可知c＝2，点A的坐标为(1，)，所以＝，又c2＝a2＋b2，所以a2＝1，b2＝3，故所求双曲线的方程为x2－＝1，故选D.
2．焦点为(0,6)，且与双曲线－y2＝1有相同的渐近线的双曲线方程是________．
【答案】－＝1
【解析】由－y2＝1，得双曲线的渐近线为y＝±x.设双曲线方程为：－y2＝λ(λ<0)，∴－＝1，∴－λ－2λ＝36，∴λ＝－12.
故双曲线方程为－＝1.
3．过点(2,0)，与双曲线－＝1离心率相等的双曲线方程为________．
【答案】－y2＝1
【解析】当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1；
当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－<0(舍去)．综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
4．与椭圆＋＝1有公共焦点，离心率为的双曲线方程为________.
【答案】－＝1
【解析】方法一 由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，即c＝3且焦点在x轴上．
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
因为e＝＝，所以a＝2，则b2＝c2－a2＝5，故所求双曲线的标准方程为－＝1.
方法二 因为椭圆焦点在x轴上，所以可设双曲线的标准方程为－＝1(16<λ<25)．
因为e＝，所以＝－1，解得λ＝21.故所求双曲线的标准方程为－＝1.
【方法技巧】
由几何性质求双曲线标准方程的解题思路
1．由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．
2．常见双曲线方程的设法
(1)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0，m>0，n>0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A>0，B>0)．
(2)与双曲线－＝1或－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ或－＝λ(λ≠0)．
(3)与双曲线－＝1(a>0，b>0)离心率相等的双曲线系方程可设为－＝λ(λ>0)或－＝λ(λ>0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置．
(4)与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的双曲线系方程可设为－＝1(b2<λ
探究1 利用方程求解几何性质
【例1】(多选)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，则能使双曲线C的方程为－＝1的是( )
A．离心率为 B．双曲线过点(5，)
C．渐近线方程为3x±4y＝0 D．实轴长为4
【答案】ABC
【解析】双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)．
可得c＝5，如果离心率为：.可得a＝4，则b＝3，所以，双曲线C的方程为－＝1，所以A正确；
c＝5，双曲线过点，可得解得a＝4，b＝3，所以双曲线C的方程为－＝1，所以B正确；
c＝5，渐近线方程为3x±4y＝0，可得＝，a2＋b2＝25，
解得a＝4，b＝3，所以双曲线C的方程为－＝1，所以C正确；
c＝5，实轴长为4，可得a＝2，b＝，所以双曲线C的方程为－＝1，所以D不正确；故选ABC.
【方法技巧】
已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，然后由标准方程确定焦点所在的坐标轴，找准a和b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．注意与椭圆的相关几何性质进行比较．
探究2 求双曲线的离心率
【例2】(1)设a>1，则双曲线－＝1的离心率e的取值范围是( )
A．(，2) B．(，) C．(2,5) D．(2，)
(2)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )
A. B. C. D.
(3)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________.
【答案】(1)B （2）D
【解析】(1)由题意得，双曲线的离心率e2＝2＝＝1＋2，因为是减函数，所以当a>1时，0<<1，所以2
∴－2＝－·4，∴a＝2b.
方法一 设b＝k，则a＝2k，c＝k，∴e＝＝＝.
方法二 e2＝＋1＝＋1＝，故e＝.
(3)不妨设焦点F(c,0)，虚轴的端点B(0，b)，则kFB＝－.又渐近线的斜率为±，所以由直线垂直得－·＝－1(斜率为－的直线显然不符合)，即b2＝ac.
又c2－a2＝b2，故c2－a2＝ac，两边同除以a2，得方程e2－e－1＝0，解得e＝(负值舍去)．
【方法技巧】
求双曲线的离心率或其取值范围的思路
1．求解双曲线的离心率一般有两种方法．
(1)由条件寻找a，c所满足的等式，常用的公式变形为e＝＝＝，其中a>0，b>0.
(2)依据条件列出含a，c的齐次方程，利用e＝转化为含e或e2的方程，解方程即可，注意依据e>1对所得解进行取舍．
2．求双曲线离心率的取值范围，关键是根据条件得到不等关系，并想办法转化为关于a，b，c的不等关系，结合c2＝a2＋b2和＝e得到关于e的不等式，然后求解．在建立不等式求e时，经常用到结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c－a.
双曲线的离心率常以渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．
探究3 求双曲线的渐近线
【例3】(1)已知椭圆E：＋＝1与双曲线C：－y2＝1(a>0)有共同的焦点，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x
(2)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是________.
【答案】(1)B (2)y＝±x
【解析】(1)椭圆E的焦点为F1(2,0)，F2(－2,0)，所以双曲线C的焦点为F1(2,0)，F2(－2,0)，
则在双曲线C中：c＝2，b＝1，a＝＝，所以双曲线C的渐近线方程为：y＝±x＝±x.故选B.
(2)由题意知：32－＝1，解得b＝.所以双曲线的渐近线方程是y＝±bx＝±x.
【方法技巧】
由双曲线的标准方程求它的渐近线方程时，可以把双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a>0，b>0)中等号右边的“1”改成“0”，然后分解因式即可得到渐近线的方程±＝0或±＝0.
【变式训练】
1. (多选)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1，则( )
A．实轴长为2
B．渐近线方程为y＝±x
C．离心率为2
D．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3
【答案】BC
【解析】(1)由双曲线的方程可得，a2＝4，b2＝12，c2＝a2＋b2＝16，所以a＝2，b＝2，c＝4；
所以实轴长2a＝4，离心率＝2，渐近线方程为y＝±x＝±x，所以A不正确；B，C正确；
因为准线方程为x＝＝1，设渐近线y＝x与渐近线的交点为A，两个方程联立可得A(1，)，另一条渐近线的方程为：x＋y＝0，所以A到它的距离为d＝＝，所以D不正确．
(2)已知F为双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F向双曲线E的一条渐近线引垂线，垂足为A，且交另一条渐近线于点B，若|OF|＝|FB|，则双曲线E的离心率是________．
【答案】
【解析】双曲线E：－＝1的渐近方程为y＝±x，若|OF|＝|FB|，可得在直角三角形OAB中，由∠AOF＝∠BOF＝∠ABO＝30°，
可得＝tan30°＝，∴＝＝1＋＝1＋＝，∴e＝.
题型三 直线与双曲线的位置关系
【例4】(1)直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A，B，则实数k的取值范围为________．
(2)双曲线的中心在原点，一个焦点坐标为F(，0)，直线y＝x－1与双曲线相交于M，N两点，线段MN中点的横坐标为－，则双曲线的方程为________．
【答案】(1)(－2，－) (2)－＝1
【解析】(1)联立方程组得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0
则解得－2
设双曲线的方程为－＝1(a>0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则
－＝1 ①，
－＝1 ②. ①－②得＝，即
＝·，所以＝，解得a2＝2，故双曲线的方程为－＝1.
【方法技巧】
解决有关直线与双曲线的位置关系的问题时，还要关注直线交于双曲线两支中哪一支的问题，从而确定变量x和y的隐含范围.
直线与双曲线的位置关系的判断方法
1．代数法
将直线方程与双曲线方程联立，方程组的解的组数就是直线与双曲线交点的个数．联立得方程组，消去x或y中的一个后，得到的形如二次方程的式子中，要注意x2项或y2项的系数是否为零，否则容易漏解．
2．数形结合法
判断直线与双曲线的交点情况时，可以根据双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系，确定直线与双曲线的位置关系．
与双曲线有关的中点弦问题的解题思路
与椭圆的中点弦问题一样，求解与双曲线有关的中点弦问题也是利用点差法及设而不求的思想．另外，需注意：过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线中，则不能确定这样的直线是否存在，要注意检验．
【变式训练】
1.设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点，则双曲线C的离心率e的取值范围为( )
A. (， ) B．(，＋∞) C. (，＋∞) D. (，)∪(，＋∞)
(2)已知双曲线－y2＝1，则过点A(3，－1)，且被点A平分的双曲线的弦MN所在直线方程是________．
【答案】(1)D （2）3x＋4y－5＝0.
【解析】(1)由得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0
则解得a2∈(0,1)∪(1,2)
又e＝，∴a2＝
从而e∈∪(，＋∞)，故选D.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则两式相减得＝y－y
所以＝.
因为点A平分弦MN，所以x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2.
所以kMN＝＝＝－.
所以双曲线的弦MN所在直线的方程为y＋1＝－(x－3)，即3x＋4y－5＝0.
易错辨析 忽略对焦点所在轴的讨论致误
【例5】已知双曲线的渐近线方程是y＝±x，焦距为2，求双曲线的标准方程．
【解析】当双曲线的焦点在x轴上时，由
解得所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
当双曲线的焦点在y轴上时，由
解得所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
【易错警示】
易错原因
纠错心得
误认为焦点一定在x轴上，得到答案：－＝1，而漏掉焦点在y轴上的情况.
当题目条件没有明确双曲线的焦点所在轴时，应分两种情况进行讨论．同时注意两种情况下，渐近线方程是有区别的：焦点在x轴上时，渐近线方程为y＝±x；焦点在y轴上时，渐近线方程为y＝±x.
1．（2021·福建省武平县第一中学高二月考）双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )
A．2 B．2
C．4 D．4
【答案】C
【解析】双曲线方程可变形为－＝1，所以a2＝4，a＝2，从而2a＝4，故选C.
2．（2021·江苏省响水中学高二期中）如果椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，那么双曲线－＝1的离心率为( )
A. B.
C. D．2
【答案】A
【解析】由已知椭圆的离心率为，得＝，∴a2＝4b2.∴e2＝＝＝.∴双曲线的离心率e＝.
3．（2021·全国高二课时练习）若双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为( )
A．y2－x2＝96 B．y2－x2＝160
C．y2－x2＝80 D．y2－x2＝24
【答案】D
【解析】设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±4)，所以λ<0，且－2λ＝(4)2，得λ＝－24.故选D.
4．（2021·宁夏长庆高级中学高二期中（文））设双曲线(，)，离心率，右焦点，方程的两个实数根分别为，，则点与圆的位置关系（ ）
A．在圆外 B．在圆 C．在圆内 D．不确定
【答案】C
【解析】因为双曲线(，)的离心率
所以，所以
所以，即点在圆的内部,故选：C
5．(多选)（2021山东省潍坊一中高二期中考试）已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则( )
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
C．点P的横坐标为±1
D．△PF1F2的面积为
【答案】ACD
【解析】等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确．由双曲线的方程可知|F1F2|＝2，所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误．点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上，不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上，所以解得|x0|＝1，则点P的横坐标为±1，故C正确．由上述分析可得△PF1F2的面积为×2×1＝，故D正确．故选A、C、D.
6．（2021·沭阳县修远中学高二月考）已知点(2,3)在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．
【答案】2
【解析】由题意知－＝1，c2＝a2＋b2＝4，解得a＝1,所以e＝＝2.
7．（2021·江苏马坝高中高二月考）设双曲线C经过点(2,2)，且与－x2＝1具有相同的渐近线，则C的方程为________，渐近线方程为________．
【答案】－＝1 y＝±2x
【解析】设双曲线C的方程为－x2＝λ.将点(2,2)的坐标代入，得λ＝－3，∴双曲线C的方程为－＝1.令－x2＝0，得y＝±2x，即渐近线方程为y＝±2x.
8．（2021·江苏启东中学高二期中）已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为________．
【答案】
【解析】如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|PA|最小，最小值为a＋c＝＋2＝.
9．（2021·甘肃省武威第一中学高二期中）已知双曲线E与双曲线－＝1共渐近线，且过点A(2，－3)．若双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M的标准方程．
【解析】由题意，设双曲线E的方程为－＝t(t≠0)．
∵点A(2，－3)在双曲线E上，∴－＝t，
∴t＝－，∴双曲线E的标准方程为－＝1.
又双曲线M与双曲线E互为共轭双曲线，
∴双曲线M的标准方程为－＝1.
10（（2021·江西南昌市·南昌十中高二期中（文））已知双曲线.
（1）求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程；
（2）若直线与双曲线交于A、B两点，且A、B的中点坐标为（1，1），求直线的斜率.
【解析】（1）因为所求双曲线与双曲线有共同的渐近线，
所以设所求双曲线方程为，代入，得，
所以所求双曲线方程为；
（2）设，因为、在双曲线上，
所以，（1）-（2）得，
因为A、B的中点坐标为（1，1），即，
所以.
11．（2021·河北承德第一中学高二月考）已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【答案】B
【解析】设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有
两式作差得＝＝＝，
又AB的斜率是＝1，
所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，
所以双曲线标准方程是－＝1.
12.（多选）（2021·东湖区·江西师大附中高二期中（理））定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线，以下关于共轭双曲线的结论正确的有（ ）
A.与共轭的双曲线是；
B.互为共轭的双曲线渐近线不相同；
C.互为共轭的双曲线的离心率为，则；
D.互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上．
【答案】ABCD
【解析】根据共轭双曲线的定义可知，与共轭的双曲线是，故A正确；
由双曲线的方程可得，的渐近线方程均为，B正确
由双曲线方程可得，，所以，
上式整理得，根据、都是大于1的正数，得，
两边约去，得，时等号成立，故C正确；
的焦点坐标为，的焦点为，
4个焦点在以原点为圆心，以为半径的圆上，D正确.，故选ABCD。
13．（2021·怀仁市第一中学校云东校区高二月考）已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是_____________________．
【答案】 [2，＋∞)
【解析】由题意，知≥，则≥3，所以c2－a2≥3a2，
即c2≥4a2，所以e2＝≥4，所以e≥2.
14．（2021·四川省绵阳南山中学高二期中）若双曲线E：－y2＝1(a＞0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若|AB|＝6，求k的值．
【解析】(1)由得故双曲线E的方程为x2－y2＝1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.①
∵直线与双曲线右支交于A，B两点，故
即
∴1＜k＜.
(2)由①得x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝·
＝2＝6，
整理得28k4－55k2＋25＝0，
∴k2＝或k2＝.
又1＜k＜，∴k＝.
15．（2021·邯郸市永年区第一中学高二期末）双曲线C的中心在原点，右焦点为F，渐近线方程为y＝±x.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设直线l：y＝kx＋1与双曲线C交于A，B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点？
【解析】(1)设双曲线的方程是－＝1(a＞0，b＞0)，则c＝，＝.又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝1，a2＝.
∴双曲线的方程是3x2－y2＝1.
(2)由得(3－k2)x2－2kx－2＝0.
由Δ＞0，且3－k2≠0，得－＜k＜，且k≠±.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB.
∴x1x2＋y1y2＝0.
又∵x1＋x2＝，x1x2＝，
∴y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝1，
∴＋1＝0，解得k＝±1.
故当k＝±1时，以AB为直径的圆过原点．
要点一 双曲线的几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
性质
图形
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
性质
范围
或，y∈R
或，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：远点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段，长：；虚轴：线段，
长：2b；半实轴长：，半虚轴长：b
离心率
e＝∈
渐近线
y＝±x
y＝±x
【方法技巧】
(1)双曲线的范围说明双曲线是非封闭曲线，而椭圆则是封闭曲线．
(2)当|x|无限增大时，|y|也无限增大，即双曲线的各支是向外无限延展的．
(3)双曲线的渐近线决定了双曲线的形状．由双曲线的对称性可知，当双曲线的两支向外无限延伸时，双曲线与两条渐近线无限接近，但永远不会相交．
(4)双曲线形状与e的关系．
由于＝＝ ＝，因此e越大，渐近线的斜率的绝对值就越大，双曲线的开口就越大．
要点二 等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是，离心率为.
【答疑解惑】
教材P126思考
通过比较例5与椭圆一节中的例6可以发现．动点到定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，若这个常数大于0小于1，则动点的轨迹是椭圆；若这个常数大于1，则动点的轨迹是双曲线．
看大小，焦点随着大的跑”．
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔．( )
(2)以y＝±2x为渐近线的双曲线有2条．( )
(3)方程－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.( )
(4)离心率e越大，双曲线－＝1的渐近线的斜率绝对值越大．( )
【答案】（1）√（2）×（3）×（4）×
2．实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是( )
A．x2－＝1
B．y2－＝1
C.－＝1或－＝1
D．x2－＝1或y2－＝1
【答案】D
【解析】由题意知2a＝2,2b＝4∴a＝1，b＝2，∴a2＝1，b2＝4又双曲线的焦点位置不确定，故选D.
3．双曲线－y2＝1的渐近线方程是( )
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±x
【答案】B
【解析】由双曲线方程得：a＝，b＝1，∴渐近线方程为：y＝±x＝±x.故选B.
4．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是________．
【答案】
【解析】由题意知渐近线与x轴的夹角θ＝∴＝tan＝1∴e＝＝
题型一 由双曲线的几何性质求其标准方程
1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1 C.－y2＝1 D．x2－＝1
【答案】D
【解析】不妨设点A在第一象限，由题意可知c＝2，点A的坐标为(1，)，所以＝，又c2＝a2＋b2，所以a2＝1，b2＝3，故所求双曲线的方程为x2－＝1，故选D.
2．焦点为(0,6)，且与双曲线－y2＝1有相同的渐近线的双曲线方程是________．
【答案】－＝1
【解析】由－y2＝1，得双曲线的渐近线为y＝±x.设双曲线方程为：－y2＝λ(λ<0)，∴－＝1，∴－λ－2λ＝36，∴λ＝－12.
故双曲线方程为－＝1.
3．过点(2,0)，与双曲线－＝1离心率相等的双曲线方程为________．
【答案】－y2＝1
【解析】当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1；
当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－<0(舍去)．综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
4．与椭圆＋＝1有公共焦点，离心率为的双曲线方程为________.
【答案】－＝1
【解析】方法一 由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，即c＝3且焦点在x轴上．
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
因为e＝＝，所以a＝2，则b2＝c2－a2＝5，故所求双曲线的标准方程为－＝1.
方法二 因为椭圆焦点在x轴上，所以可设双曲线的标准方程为－＝1(16<λ<25)．
因为e＝，所以＝－1，解得λ＝21.故所求双曲线的标准方程为－＝1.
【方法技巧】
由几何性质求双曲线标准方程的解题思路
1．由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．
2．常见双曲线方程的设法
(1)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0，m>0，n>0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A>0，B>0)．
(2)与双曲线－＝1或－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ或－＝λ(λ≠0)．
(3)与双曲线－＝1(a>0，b>0)离心率相等的双曲线系方程可设为－＝λ(λ>0)或－＝λ(λ>0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置．
(4)与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的双曲线系方程可设为－＝1(b2<λ
探究1 利用方程求解几何性质
【例1】(多选)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，则能使双曲线C的方程为－＝1的是( )
A．离心率为 B．双曲线过点(5，)
C．渐近线方程为3x±4y＝0 D．实轴长为4
【答案】ABC
【解析】双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)．
可得c＝5，如果离心率为：.可得a＝4，则b＝3，所以，双曲线C的方程为－＝1，所以A正确；
c＝5，双曲线过点，可得解得a＝4，b＝3，所以双曲线C的方程为－＝1，所以B正确；
c＝5，渐近线方程为3x±4y＝0，可得＝，a2＋b2＝25，
解得a＝4，b＝3，所以双曲线C的方程为－＝1，所以C正确；
c＝5，实轴长为4，可得a＝2，b＝，所以双曲线C的方程为－＝1，所以D不正确；故选ABC.
【方法技巧】
已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，然后由标准方程确定焦点所在的坐标轴，找准a和b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．注意与椭圆的相关几何性质进行比较．
探究2 求双曲线的离心率
【例2】(1)设a>1，则双曲线－＝1的离心率e的取值范围是( )
A．(，2) B．(，) C．(2,5) D．(2，)
(2)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )
A. B. C. D.
(3)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________.
【答案】(1)B （2）D
【解析】(1)由题意得，双曲线的离心率e2＝2＝＝1＋2，因为是减函数，所以当a>1时，0<<1，所以2
∴－2＝－·4，∴a＝2b.
方法一 设b＝k，则a＝2k，c＝k，∴e＝＝＝.
方法二 e2＝＋1＝＋1＝，故e＝.
(3)不妨设焦点F(c,0)，虚轴的端点B(0，b)，则kFB＝－.又渐近线的斜率为±，所以由直线垂直得－·＝－1(斜率为－的直线显然不符合)，即b2＝ac.
又c2－a2＝b2，故c2－a2＝ac，两边同除以a2，得方程e2－e－1＝0，解得e＝(负值舍去)．
【方法技巧】
求双曲线的离心率或其取值范围的思路
1．求解双曲线的离心率一般有两种方法．
(1)由条件寻找a，c所满足的等式，常用的公式变形为e＝＝＝，其中a>0，b>0.
(2)依据条件列出含a，c的齐次方程，利用e＝转化为含e或e2的方程，解方程即可，注意依据e>1对所得解进行取舍．
2．求双曲线离心率的取值范围，关键是根据条件得到不等关系，并想办法转化为关于a，b，c的不等关系，结合c2＝a2＋b2和＝e得到关于e的不等式，然后求解．在建立不等式求e时，经常用到结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c－a.
双曲线的离心率常以渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．
探究3 求双曲线的渐近线
【例3】(1)已知椭圆E：＋＝1与双曲线C：－y2＝1(a>0)有共同的焦点，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x
(2)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是________.
【答案】(1)B (2)y＝±x
【解析】(1)椭圆E的焦点为F1(2,0)，F2(－2,0)，所以双曲线C的焦点为F1(2,0)，F2(－2,0)，
则在双曲线C中：c＝2，b＝1，a＝＝，所以双曲线C的渐近线方程为：y＝±x＝±x.故选B.
(2)由题意知：32－＝1，解得b＝.所以双曲线的渐近线方程是y＝±bx＝±x.
【方法技巧】
由双曲线的标准方程求它的渐近线方程时，可以把双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a>0，b>0)中等号右边的“1”改成“0”，然后分解因式即可得到渐近线的方程±＝0或±＝0.
【变式训练】
1. (多选)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1，则( )
A．实轴长为2
B．渐近线方程为y＝±x
C．离心率为2
D．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3
【答案】BC
【解析】(1)由双曲线的方程可得，a2＝4，b2＝12，c2＝a2＋b2＝16，所以a＝2，b＝2，c＝4；
所以实轴长2a＝4，离心率＝2，渐近线方程为y＝±x＝±x，所以A不正确；B，C正确；
因为准线方程为x＝＝1，设渐近线y＝x与渐近线的交点为A，两个方程联立可得A(1，)，另一条渐近线的方程为：x＋y＝0，所以A到它的距离为d＝＝，所以D不正确．
(2)已知F为双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F向双曲线E的一条渐近线引垂线，垂足为A，且交另一条渐近线于点B，若|OF|＝|FB|，则双曲线E的离心率是________．
【答案】
【解析】双曲线E：－＝1的渐近方程为y＝±x，若|OF|＝|FB|，可得在直角三角形OAB中，由∠AOF＝∠BOF＝∠ABO＝30°，
可得＝tan30°＝，∴＝＝1＋＝1＋＝，∴e＝.
题型三 直线与双曲线的位置关系
【例4】(1)直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A，B，则实数k的取值范围为________．
(2)双曲线的中心在原点，一个焦点坐标为F(，0)，直线y＝x－1与双曲线相交于M，N两点，线段MN中点的横坐标为－，则双曲线的方程为________．
【答案】(1)(－2，－) (2)－＝1
【解析】(1)联立方程组得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0
则解得－2
设双曲线的方程为－＝1(a>0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则
－＝1 ①，
－＝1 ②. ①－②得＝，即
＝·，所以＝，解得a2＝2，故双曲线的方程为－＝1.
【方法技巧】
解决有关直线与双曲线的位置关系的问题时，还要关注直线交于双曲线两支中哪一支的问题，从而确定变量x和y的隐含范围.
直线与双曲线的位置关系的判断方法
1．代数法
将直线方程与双曲线方程联立，方程组的解的组数就是直线与双曲线交点的个数．联立得方程组，消去x或y中的一个后，得到的形如二次方程的式子中，要注意x2项或y2项的系数是否为零，否则容易漏解．
2．数形结合法
判断直线与双曲线的交点情况时，可以根据双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系，确定直线与双曲线的位置关系．
与双曲线有关的中点弦问题的解题思路
与椭圆的中点弦问题一样，求解与双曲线有关的中点弦问题也是利用点差法及设而不求的思想．另外，需注意：过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线中，则不能确定这样的直线是否存在，要注意检验．
【变式训练】
1.设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点，则双曲线C的离心率e的取值范围为( )
A. (， ) B．(，＋∞) C. (，＋∞) D. (，)∪(，＋∞)
(2)已知双曲线－y2＝1，则过点A(3，－1)，且被点A平分的双曲线的弦MN所在直线方程是________．
【答案】(1)D （2）3x＋4y－5＝0.
【解析】(1)由得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0
则解得a2∈(0,1)∪(1,2)
又e＝，∴a2＝
从而e∈∪(，＋∞)，故选D.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则两式相减得＝y－y
所以＝.
因为点A平分弦MN，所以x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2.
所以kMN＝＝＝－.
所以双曲线的弦MN所在直线的方程为y＋1＝－(x－3)，即3x＋4y－5＝0.
易错辨析 忽略对焦点所在轴的讨论致误
【例5】已知双曲线的渐近线方程是y＝±x，焦距为2，求双曲线的标准方程．
【解析】当双曲线的焦点在x轴上时，由
解得所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
当双曲线的焦点在y轴上时，由
解得所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
【易错警示】
易错原因
纠错心得
误认为焦点一定在x轴上，得到答案：－＝1，而漏掉焦点在y轴上的情况.
当题目条件没有明确双曲线的焦点所在轴时，应分两种情况进行讨论．同时注意两种情况下，渐近线方程是有区别的：焦点在x轴上时，渐近线方程为y＝±x；焦点在y轴上时，渐近线方程为y＝±x.
1．（2021·福建省武平县第一中学高二月考）双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )
A．2 B．2
C．4 D．4
【答案】C
【解析】双曲线方程可变形为－＝1，所以a2＝4，a＝2，从而2a＝4，故选C.
2．（2021·江苏省响水中学高二期中）如果椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，那么双曲线－＝1的离心率为( )
A. B.
C. D．2
【答案】A
【解析】由已知椭圆的离心率为，得＝，∴a2＝4b2.∴e2＝＝＝.∴双曲线的离心率e＝.
3．（2021·全国高二课时练习）若双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为( )
A．y2－x2＝96 B．y2－x2＝160
C．y2－x2＝80 D．y2－x2＝24
【答案】D
【解析】设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±4)，所以λ<0，且－2λ＝(4)2，得λ＝－24.故选D.
4．（2021·宁夏长庆高级中学高二期中（文））设双曲线(，)，离心率，右焦点，方程的两个实数根分别为，，则点与圆的位置关系（ ）
A．在圆外 B．在圆 C．在圆内 D．不确定
【答案】C
【解析】因为双曲线(，)的离心率
所以，所以
所以，即点在圆的内部,故选：C
5．(多选)（2021山东省潍坊一中高二期中考试）已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则( )
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
C．点P的横坐标为±1
D．△PF1F2的面积为
【答案】ACD
【解析】等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确．由双曲线的方程可知|F1F2|＝2，所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误．点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上，不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上，所以解得|x0|＝1，则点P的横坐标为±1，故C正确．由上述分析可得△PF1F2的面积为×2×1＝，故D正确．故选A、C、D.
6．（2021·沭阳县修远中学高二月考）已知点(2,3)在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．
【答案】2
【解析】由题意知－＝1，c2＝a2＋b2＝4，解得a＝1,所以e＝＝2.
7．（2021·江苏马坝高中高二月考）设双曲线C经过点(2,2)，且与－x2＝1具有相同的渐近线，则C的方程为________，渐近线方程为________．
【答案】－＝1 y＝±2x
【解析】设双曲线C的方程为－x2＝λ.将点(2,2)的坐标代入，得λ＝－3，∴双曲线C的方程为－＝1.令－x2＝0，得y＝±2x，即渐近线方程为y＝±2x.
8．（2021·江苏启东中学高二期中）已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为________．
【答案】
【解析】如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|PA|最小，最小值为a＋c＝＋2＝.
9．（2021·甘肃省武威第一中学高二期中）已知双曲线E与双曲线－＝1共渐近线，且过点A(2，－3)．若双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M的标准方程．
【解析】由题意，设双曲线E的方程为－＝t(t≠0)．
∵点A(2，－3)在双曲线E上，∴－＝t，
∴t＝－，∴双曲线E的标准方程为－＝1.
又双曲线M与双曲线E互为共轭双曲线，
∴双曲线M的标准方程为－＝1.
10（（2021·江西南昌市·南昌十中高二期中（文））已知双曲线.
（1）求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程；
（2）若直线与双曲线交于A、B两点，且A、B的中点坐标为（1，1），求直线的斜率.
【解析】（1）因为所求双曲线与双曲线有共同的渐近线，
所以设所求双曲线方程为，代入，得，
所以所求双曲线方程为；
（2）设，因为、在双曲线上，
所以，（1）-（2）得，
因为A、B的中点坐标为（1，1），即，
所以.
11．（2021·河北承德第一中学高二月考）已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【答案】B
【解析】设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有
两式作差得＝＝＝，
又AB的斜率是＝1，
所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，
所以双曲线标准方程是－＝1.
12.（多选）（2021·东湖区·江西师大附中高二期中（理））定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线，以下关于共轭双曲线的结论正确的有（ ）
A.与共轭的双曲线是；
B.互为共轭的双曲线渐近线不相同；
C.互为共轭的双曲线的离心率为，则；
D.互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上．
【答案】ABCD
【解析】根据共轭双曲线的定义可知，与共轭的双曲线是，故A正确；
由双曲线的方程可得，的渐近线方程均为，B正确
由双曲线方程可得，，所以，
上式整理得，根据、都是大于1的正数，得，
两边约去，得，时等号成立，故C正确；
的焦点坐标为，的焦点为，
4个焦点在以原点为圆心，以为半径的圆上，D正确.，故选ABCD。
13．（2021·怀仁市第一中学校云东校区高二月考）已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是_____________________．
【答案】 [2，＋∞)
【解析】由题意，知≥，则≥3，所以c2－a2≥3a2，
即c2≥4a2，所以e2＝≥4，所以e≥2.
14．（2021·四川省绵阳南山中学高二期中）若双曲线E：－y2＝1(a＞0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若|AB|＝6，求k的值．
【解析】(1)由得故双曲线E的方程为x2－y2＝1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.①
∵直线与双曲线右支交于A，B两点，故
即
∴1＜k＜.
(2)由①得x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝·
＝2＝6，
整理得28k4－55k2＋25＝0，
∴k2＝或k2＝.
又1＜k＜，∴k＝.
15．（2021·邯郸市永年区第一中学高二期末）双曲线C的中心在原点，右焦点为F，渐近线方程为y＝±x.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设直线l：y＝kx＋1与双曲线C交于A，B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点？
【解析】(1)设双曲线的方程是－＝1(a＞0，b＞0)，则c＝，＝.又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝1，a2＝.
∴双曲线的方程是3x2－y2＝1.
(2)由得(3－k2)x2－2kx－2＝0.
由Δ＞0，且3－k2≠0，得－＜k＜，且k≠±.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB.
∴x1x2＋y1y2＝0.
又∵x1＋x2＝，x1x2＝，
∴y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝1，
∴＋1＝0，解得k＝±1.
故当k＝±1时，以AB为直径的圆过原点．
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