高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第二章 圆锥曲线3 抛物线3.1 抛物线及其标准方程导学案

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第二章 圆锥曲线3 抛物线3.1 抛物线及其标准方程导学案，共16页。学案主要包含了方法技巧，基础自测，变式训练，易错提醒等内容，欢迎下载使用。

要点一 抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
【方法技巧】
(1)抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F叫做抛物线的焦点；一条定直线l叫做抛物线的准线；一个定值，即点M到点F的距离和它到直线l的距离之比等于1.
(2)注意定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．
例如，到点F(0,1)与到直线l：x＋y－1＝0的距离相等的点的轨迹方程为x－y＋1＝0，轨迹是一条直线．
要点二 抛物线的标准方程
【方法技巧】
1.只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式．
2．标准方程的特征：等号的一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一个变量的一次单项式．
3．焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，通常又可以写成y＝ax2，这与以前所学习的二次函数的解析式一致，但需要注意由方程y＝ax2求焦点坐标和准线方程时，必须先将抛物线的方程化成标准形式．
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离．( )
(2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线．( )
(3)只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式．( )
(4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，也可以写成y＝ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的．( )
【答案】（1）√（2）×（3）√（4）√
2．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是( )
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【解析】由y2＝8x得p＝4，即焦点到准线的距离为4.故选C.
3．抛物线x＝4y2的准线方程是( )
A．y＝eq \f(1,2) B．y＝－1 C．x＝－eq \f(1,16) D．x＝eq \f(1,8)
【答案】C
【解析】由x＝4y2得y2＝eq \f(1,4)x，故准线方程为x＝－eq \f(1,16).故选C.
4．已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的点M(m，－2)到焦点的距离为4，则m＝________.
【答案】±4
【解析】由已知，可设抛物线方程为x2＝－2py.由抛物线定义有2＋eq \f(p,2)＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y.将(m，－2)代入上式，得m2＝16.∴m＝±4.
题型一 求抛物线的标准方程
探究1 直接法求抛物线方程
【例1】(1)顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是( )
A．x2＝±3y B．y2＝±6x C．x2＝±12y D．x2＝±6y
(2)准线方程为y＝eq \f(2,3)的抛物线的标准方程是________.
【答案】(1)C (2)x2＝－eq \f(8,3)y
【解析】(1)由已知得eq \f(p,2)＝3，p＝6.∴抛物线的标准方程是x2＝±12y.
(2)由题意知eq \f(p,2)＝eq \f(2,3)，所以p＝eq \f(4,3)，所以抛物线的标准方程是x2＝－eq \f(8,3)y.
【方法技巧】
在抛物线方程的类型已确定的前提下，由于标准方程中只有一个参数p，所以只需一个条件就可以确定抛物线的方程．
探究2 待定系数法求抛物线方程
【例2】 (1)顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－4x B．x2＝4y C．y2＝－4x或x2＝4y D．y2＝4x或x2＝－4y
(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线标准方程为________.
【答案】(1)C (2)x2＝10y或x2＝－10y
【解析】(1)设抛物线方程为y2＝－2p1x(p1>0)或x2＝2p2y(p2>0)，把(－4,4)代入得16＝8p1或16＝8p2，即p1＝2或p2＝2.
故抛物线的标准方程为y2＝－4x或x2＝4y.故选C.
(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.
【方法技巧】
根据焦点所在的坐标轴，抛物线方程可统一为两类：(1)焦点在x轴上的抛物线的标准方程可以设为y2＝mx(m≠0)，m>0时焦点在x轴的正半轴上，m<0时焦点在x轴的负半轴上；(2)焦点在y轴上的抛物线的标准方程可以设为x2＝my(m≠0)，m>0时焦点在y轴的正半轴上，m<0时焦点在y轴的负半轴上．
探究3 用定义法求与抛物线有关的轨迹方程
【例3】已知圆C的方程为x2＋y2－10x＝0，求与y轴相切且与圆C外切的动圆圆心P的轨迹方程．
【解析】设点P的坐标为(x，y)，动圆的半径为R，
∵动圆P与y轴相切，∴R＝|x|.
∵动圆与定圆C：(x－5)2＋y2＝25外切，
∴|PC|＝R＋5，
∴|PC|＝|x|＋5，
当点P在y轴右侧时，x>0，
则|PC|＝x＋5，
∴点P的轨迹是以(5,0)为焦点的抛物线，则圆心P的轨迹方程为y2＝20x(x>0)；
当点P在y轴左侧时，x<0，则|PC|＝－x＋5，此时点P的轨迹是x轴的负半轴，即方程为y＝0(x<0)．
∴点P的轨迹方程为y2＝20x(x>0)或y＝0(x<0)．
【方法技巧】
若动圆P与定圆C外切且与定值线l相切，则：(1)当定圆与定直线相切时，轨迹为抛物线和一条射线(除去切点)；(2)当定圆与定直线相离时，轨迹是一条抛物线．
【变式训练】
1.已知抛物线的焦点坐标是(－1,0)，则抛物线的标准方程是( )
A．x2＝4y B．x2＝－4y C．y2＝4x D．y2＝－4x
【答案】D
【解析】由题意知抛物线的焦点在x轴负半轴上，且eq \f(p,2)＝1，得p＝2所以抛物线的标准方程为y2＝－4x.故选D.
2.准线与直线x＝1的距离为3的抛物线的标准方程是________．
【答案】y2＝8x或y2＝－16x
【解析】由准线平行于y轴，可设抛物线的方程为y2＝mx(m≠0)．
当m>0时，2p＝m，所以p＝eq \f(m,2)，抛物线的准线方程为x＝－eq \f(m,4)，依题意得1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(m,4)))＝3，所以m＝8，所以抛物线的方程为y2＝8x；当m<0时，2p＝－m，所以p＝－eq \f(m,2)，抛物线的准线方程为x＝－eq \f(m,4)，依题意得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1＋\f(m,4)))＝3，所以m＝8或m＝－16，显然m＝8不合题意，所以m＝－16，所以抛物线的方程为y2＝－16x.
综上，抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－16x.
题型二 抛物线定义的应用
【例4】(1)已知抛物线y2＝4x，F为其焦点，抛物线上两点A、B满足|AF|＋|BF|＝8，则线段AB的中点到y轴的距离等于( )
A．2 B．3 C．4 D．6
(2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为________.
【答案】(1)B (2)eq \f(\r(17),2)
【解析】(1)抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程x＝－1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝8，
解得x1＋x2＝6，
∴线段AB的中点横坐标为3，
∴线段AB的中点到y轴的距离为3，故选B.
(2)由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可得，
∴点P到准线x＝－eq \f(1,2)的距离d＝|PF|，
易知点A(0,2)在抛物线y2＝2x的外部，
连接AF，交y2＝2x于点P′，
欲使所求距离之和最小，只需A，P′，F共线，
∴其最小值为|AF|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(1,2)))2＋2－02)＝eq \f(\r(17),2)
【方法技巧】
抛物线定义的两种应用
1．实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．
2．解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
【变式训练】
(1)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则点M到y轴的距离是________．
(2)(多填题)已知点P是抛物线y2＝4x上的动点，F(1,0)，A(4,3)，则|PA|－|PF|的最大值为________；最小值为________．
【答案】(1)9 (2)3eq \r(2)，－3eq \r(2)
【解析】(1)设点M坐标为(xM，yM)，抛物线y2＝4x的准线为直线x＝－1，由抛物线的定义知xM＋1＝10，即xM＝9.
(2)可判断A，F都在抛物线的内侧，∴||PA|－|PF||≤|FA|，即－|FA|≤|PA|－|PF|≤|FA|，而|AF|＝3eq \r(2)，∴|PA|－|PF|的最大值是3eq \r(2)，最小值是－3eq \r(2).
题型三 抛物线的实际应用
【例5】河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高eq \f(3,4)米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
【分析】建系→设方程→求抛物线方程→解决实际问题．
【解析】如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意，将B(4，－5)代入方程得p＝eq \f(8,5)，∴抛物线方程为x2＝－eq \f(16,5)y.
∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航．
设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，
由22＝－eq \f(16,5)yA，得yA＝－eq \f(5,4).
又知船露出水面上部分为eq \f(3,4)米，设水面与抛物线拱顶相距为h，则h＝|yA|＋eq \f(3,4)＝2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航．
【方法技巧】
求抛物线实际应用的五个步骤
1．建立适当的坐标系．
2．设出合适的抛物线标准方程．
3．通过计算求出抛物线的标准方程．
4．求出需要求出的量．
5．还原到实际问题中，从而解决实际问题．
【变式训练】
1.如图是抛物线型拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，若水面下降0.42米后，则水面宽为( )
A．2.2米 B．4.4米 C．2.4米 D．4米
【答案】B
【解析】如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，将A(2，－2)代入x2＝my，得m＝－2，
∴x2＝－2y，代入B(x0，－2.42)得x0＝2.2，
故水面宽为4.4 m，故选B.
易错辨析 忽略抛物线标准方程的特征致误
【例6】若抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值是________．
【答案】－eq \f(1,8)
【解析】把抛物线方程 y＝ax2化为标准方程得x2＝eq \f(1,a)y，所以－eq \f(1,4a)＝2，解得a＝－eq \f(1,8).
【易错提醒】
1．（2021·福建省仙游县枫亭中学高二期末）设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．4 B．6
C．8D．12
【答案】B
【解析】由抛物线的方程得eq \f(p,2)＝eq \f(4,2)＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.
2．（2021·陕西高新一中高三期中）若抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点与椭圆eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,5)＝1的上焦点重合，则该抛物线的准线方程为( )
A．y＝－1B．y＝1
C．y＝－2D．y＝2
【答案】C
【解析】∵椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,9)＝1的上焦点坐标为(0,2)，∴抛物线的焦点坐标为(0,2)，∴抛物线的准线方程为y＝－2，
故选C.
3．（2021·赣州市赣县第三中学高二月考）已知抛物线的焦点为F(a,0)(a＜0)，则抛物线的标准方程是( )
A．y2＝2axB．y2＝4ax
C．y2＝－2axD．y2＝－4ax
【答案】B
【解析】因为抛物线的焦点为F(a,0)(a＜0)，所以抛物线的标准方程为y2＝4ax，故选B.
4．（2021·安徽省怀宁县第二中学高二期中）已知F是抛物线y2＝4x的焦点，M，N是该抛物线上两点，|MF|＋|NF|＝8，则MN的中点到准线的距离为( )
A．5B．4
C．3D.eq \f(5,2)
【答案】B
【解析】∵F是抛物线y2＝4x的焦点，∴F(1,0)，准线方程为x＝－1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴|MF|＋|NF|＝x1＋1＋x2＋1＝8，解得x1＋x2＝6，
∴线段MN中点的横坐标为3，
∴线段MN的中点到准线的距离为3＋1＝4.
5.如图，已知P为抛物线y2=4x上的动点,过P分别作y轴与直线x-y+4=0的垂线,垂足分别为A,B,则|PA|+|PB|的最小值为 .
【答案】 QUOTE -1
【解析】抛物线的准线方程是x=-1,
又根据抛物线的几何性质知,
抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离,
所以|PA|+|PB|=|PF|+|PB|-1,
|PF|+|PB|的最小值就是点F到直线x-y+4=0的距离,
所以点F到直线的距离d= QUOTE = QUOTE ,
即|PA|+|PB|的最小值是 QUOTE -1.
6．（2021·瓦房店市高级中学高二月考）抛物线y＝12x2上的点到焦点的距离的最小值为________．
【答案】eq \f(1,48)
【解析】将方程化为标准形式是x2＝eq \f(1,12)y，因为2p＝eq \f(1,12)，所以p＝eq \f(1,24).故到焦点的距离最小值为eq \f(1,48).
7．（2021·深州长江中学高二期末）已知抛物线C：4x＋ay2＝0恰好经过圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心，则抛物线C的焦点坐标为_______，准线方程为________．
【答案】 (1,0) x＝－1
【解析】圆M的圆心为(1,2)，代入4x＋ay2＝0得a＝－1，将抛物线C的方程化为标准方程得y2＝4x，故焦点坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1.
8．（2021·河南高二月考）已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－eq \f(y2,a)＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________.
【答案】eq \f(1,4)
【解析】根据抛物线的定义得1＋eq \f(p,2)＝5，p＝8.不妨取M(1,4)，则AM的斜率为2，由已知得－eq \r(a)×2＝－1，故a＝eq \f(1,4).
9．根据下列条件写出抛物线的标准方程．
(1)焦点到准线的距离是5；
(2) 准线与直线x=1的距离为3.
【解析】设所求抛物线方程为y2=mx，
当m>0时,准线方程为x=- QUOTE =-2,所以m=8,此时抛物线方程为y2=8x,当m<0时,准线方程为x=- QUOTE =4,所以m=-16,此时抛物线方程为y2=-16x,所以所求抛物线方程为y2=8x或y2=-16x.
10．（2021·江苏省姜堰第二中学高二期中）在平面直角坐标系xOy中，已知圆，动圆M与直线相切且与圆F外切．
（1）记圆心M的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；
（2）已知，曲线C上一点P满足，求的大小．
【解析】（1）设，圆M的半径为r．
由题意知，，M到直线l的距离为r．
方法一：
点M到点的距离等于M到定直线的距离，
根据抛物线的定义知，曲线C是以为焦点，为准线的抛物线．
故曲线C的方程为．
方法二：
因为，，，
所以，化简得，
故曲线C的方程为．
（2）方法一：设，由，
得，
又，解得，故，
所以，从而．
方法二：过点P向直线作垂线，垂足为Q．
由抛物线定义知，，所以，
在中，因为，
所以，
从而，故．
11.（2021·四川遂宁高三期末）阿基米德（公元前287年---212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号.抛物线上任意两点A、B处的切线交于点P，称△为“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线焦点F时，△具有以下特征：（1）P点必在抛物线的准线上；（2）△为直角三角形，且;（3）.若经过抛物线焦点的一条弦为AB，阿基米德三角形为△，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为（ ）
A．x-2y-1=0B．2x+y-2=0
C．x+2y-1=0D．2x-y-2=0
【答案】A
【解析】抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为（1，0），准线方程为：x＝﹣1，
线段AB经过抛物线y2＝4x焦点，由△PAB为“阿基米德三角形”，
可得P点必在抛物线的准线上，则点P（﹣1，4），直线PF的斜率为：＝﹣2，
又∵PF⊥AB，∴直线AB的斜率为，
∴直线AB的方程为：y﹣0＝，即x﹣2y﹣1＝0，故选：A．
12．(多选) （2021·石嘴山市第三中学高二期末）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直于l且交l于点Q，若∠PFx＝60°，则( )
A．△PQF为等边三角形B．|PQ|＝4
C．S△PQF＝4eq \r(3)D．xP＝4
【答案】ABC
【解析】如图，因PQ∥x轴，
∴∠QPF＝∠PFx＝60°，
由抛物线定义知|PQ|＝|PF|，
∴△PQF为等边三角形．
因F(1,0)，过F作FM⊥PQ，垂足为M.∴xM＝1，∴|MQ|＝2.
∴|PQ|＝4，∴S△PQF＝eq \f(1,2)×2eq \r(3)×4＝4eq \r(3)，xP＝3.
故选A、B、C.
13．（2021·江苏高二月考）对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)
【答案】②④
【解析】抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋eq \f(p,2)＝1＋eq \f(5,2)＝eq \f(7,2)≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．
14．（2021·全国高二课时练习）动圆P与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且与直线l：x＝1相切，求动圆圆心P的轨迹方程．
【解析】如图，设动圆圆心P(x，y)，过点P作PD⊥l于点D，
作直线l′：x＝2，过点P作PD′⊥l′于点D′，连接PA.
设圆A的半径为r，动圆P的半径为R，可知r＝1.
∵圆P与圆A外切，∴|PA|＝R＋r＝R＋1.
又∵圆P与直线l：x＝1相切，
∴|PD′|＝|PD|＋|DD′|＝R＋1.
∵|PA|＝|PD′|，即动点P到定点A与到定直线l′的距离相等，
∴点P的轨迹是以A为焦点，以l′为准线的抛物线．
设抛物线的方程为y2＝－2px(p＞0)，可知p＝4，
∴所求动圆圆心P的轨迹方程为y2＝－8x.
15．（2021·江西南昌二中高二月考）如图所示，A地在B地东偏北45°方向，相距2eq \r(2) km处，B地与东西走向的高铁线(近似看成直线)l相距4 km.已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计)，分别向A地、B地送电．
(1)试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路PQ所在曲线的方程；
(2)问变电房M应建在相对A地的什么位置(方位和距离)，才能使架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度．
【解析】(1)如图所示，以过点B且垂直于l(垂足为K)的直线为y轴，线段BK的中点O为原点，建立直角坐标系xOy，则B(0,2)，A(2,4)．
因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，所以PQ所在的曲线是以B(0,2)为焦点，l为准线的抛物线．设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，则p＝4，故曲线形公路PQ所在曲线的方程为x2＝8y.
(2)要使架设电路所用电线长度最短，即|MA|＋|MB|的值最小．
如图所示，过M作MH⊥l，垂足为H，依题意得|MB|＝|MH|，∴|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MH|，故当A，M，H三点共线时，|MA|＋|MH|取得最小值，即|MA|＋|MB|取得最小值，此时M.
故变电房M建在A地正南方向且与A地相距eq \f(7,2) km处时，所用电线长度最短，最短长度为6 km.
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
x＝－eq \f(p,2)
y2＝－2px(p>0)
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－p,2)，0))
x＝eq \f(p,2)
x2＝2py(p>0)
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
y＝－eq \f(p,2)
x2＝－2py(p>0)
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(－p,2)))
y＝eq \f(p,2)
易错原因
纠错心得
受二次函数的影响，误以为y＝ax2就是抛物线的标准方程，从而得到－eq \f(a,4)＝2，即a＝－8的错误结论.
根据抛物线方程求准线方程时，应先把抛物线的方程化为标准方程，即等式左端是二次项且系数是1，等式右端是一次项，这样才能准确写出抛物线的准线方程.